边长为的正方形,我们可以很轻易地回答面积为

可是反过来问,面积为的正方形,它的边长为何呢?

有面积为2的正方形吗?

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拿出一张边长为 公分的色纸,以垂直边长的方向对折再对折两次,将色纸打开如下图(点击可以放大)中间。两条折痕的交点为红点,将四个角往中间红点折,形成下图最右边的四边形 

 
利用折纸制作面积为 的正方形(使用Geogebra制作)


请实际自己操作,你将能更加体会。

讨论

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  1. 四边形 为正方形。原因是什么呢?[注 1]
  2. 四边形 的面积是多少平方公分呢?[注 2]

结论

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有面积为 平方公分的正方形。可是它的边长是多少公分呢?

面积为2的正方形,边长是多少公分呢?

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讨论

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用尺量量看,面积为 平方公分的正方形,它的边长大约为多少公分?[注 3]

  • 算算看,这个数的平方是否为 呢?
  • 面积为 平方公分的正方形,它的边长介于哪两个一位小数公分之间?[注 4]

利用计算机算算看,在  之间有没有一个数的平方是 

  • 如果没有,则面积为 平方公分的正方形,它的边长介于哪两个两位小数公分之间?[注 5]

利用计算机算算看,在  之间有没有一个数的平方是 

  • 如果没有,则面积为 平方公分的正方形,它的边长介于哪两个三位小数公分之间?[注 6]
  • 有没有一个有限小数的平方刚好是 [注 7]

结论

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我们无法使用一个有限小数表示面积为 的正方形边长。所以我们需要引进一个新的东西—“根号”来帮助我们表示这样的边长。

根号

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在国中的阶段,我们利用正方形的边长与面积来了解根号的意义[注 8]

我们定义一个面积为 的正方形,它的边长为 

如面积为 的正方形,它的边长为 

面积不可能为负数或0,不过我们特别定义 

重要概念: ,而且 

用这样的概念,面积为 的正方形,它的边长为 ,但是面积为 的正方形,它的边长本身就是 ,所以事实上 

同样的,面积为 其中 的正方形,它的边长为 ,但是面积为 的正方形,它的边长本身就是 ,而 ,所以 ,事实上

 

反过来说,边长为 的正方形,它的面积为 

如边长为 的正方形,它的面积为 

又因为正方形的面积公式为边长的平方, ,所以我们得到:

 

例题

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例题 面积为 的正方形,它的边长为多少?

解:面積為 的正方形,它的邊長為 

例题 边长为 的正方形,它的面积为多少?

解:邊長為 的正方形,它的面積為 
  • 注意:在例题 中,边长为 的正方形,它的面积为 ,但是面积为 的正方形实际的边长为 ,所以 。也就是说,在第 式中,若 ,它的结果会是 相反数 ,即
 

习题

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习题 面积为 的正方形,它的边长为多少?[答案 1]

习题 边长为 的正方形,它的面积为多少?[答案 2]

完全平方数与开根号

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在之前提到,面积为 其中 的正方形,它的边长为 。所以有一些特殊的情况是可以计算根号的值:

  是某一個數的平方時。

 是某一个整数的平方时,我们称 完全平方数

前21个完全平方数如下表:

  0 1 2 3 4 5
  0 1 4 9 16 25
  6 7 8 9 10
  36 49 64 81 100
  11 12 13 14 15
  121 144 169 196 225
  16 17 18 19 20
  256 289 324 361 400

计算出 的过程称作 开根号。如 开根号可以得到 

在这里要再次提醒:开根号的答案必定为正数

例题

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例题 计算 之值。

解: 

例题 计算 之值。

解: 

习题

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习题 计算 之值。[答案 3]

习题 计算 之值。[答案 4]

问题与讨论

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 是一个正数,则  何者比较大?

  1.  时,是 比较大还是 比较大?
  2.  时,是 比较大还是 比较大?
  3.  时,是 比较大还是 比较大?
  4.  时,是 比较大还是 比较大?

平方根

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对于一个数 ,存在一个数 满足 ,则我们称  平方根

如: ,所以  的平方根。

检查一个数是不是另一数的平方根

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要检查 是不是 的平方根,只要实际计算 是否等于 即可。

例题 检验 是否为 的平方根。

解: ,所以  的平方根。

习题

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习题 检验 是否为 的平方根。[答案 5]

习题 检验 是否为 的平方根。[答案 6]

平方根的性质

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  1. 因为对于一个正数   ,所以正数 有两个平方根  ,其中 称作 正平方根 称作 负平方根,两数互为相反数
    • 特别的, 的两个平方根可以记录为 
  2.  只有一个平方根 
  3. 负数的平方根在国中阶段是不存在[注 9]

习题

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习题 是非题,下列叙述是否正确?[答案 7]

  1. 因为没有一个整数、分数或小数的平方为 ,所以 没有平方根。
  2.  的平方根为 
  3.  的平方根为 
  4. 如果  的平方根,则 也是 的平方根。

利用计算机计算根号

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在许多计算机上有一个按钮“ ”可以计算根号的近似值。要计算“ ”的值有部分的计算机要依序输入“ ”→“ ”,也有依序输入“ ”→“ ”或“ ”→“ ”→“ ”的,你应该要依据自己的计算机性能而使用。

如计算“ ”依序按下“ ”→“ ”→“ ”→“ ”就可以得到近似值 

注解

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  1.  个角都是直角,而且 个边长都是边长为 公分的正方形之对角线,所以是正方形。
  2.  平方公分。
  3. 大约 公分或 公分。
  4.   公分之间。
  5.   公分之间。
  6.   公分之间。
  7. 没有。
  8. 国中只学二次方根。多次方根请见高中数学指数单元学习。
  9. 复数的世界里,负数的平方根是存在的。

习题答案

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  1.  
  2.  
  3.  
  4.   
  5. 不是
  6. 不是
  7. 1、2、3为错误的,4是正确的。

参见

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