国中数学/根号
边长为的正方形,我们可以很轻易地回答面积为。
可是反过来问,面积为的正方形,它的边长为何呢?
有面积为2的正方形吗?
编辑拿出一张边长为 公分的色纸,以垂直边长的方向对折再对折两次,将色纸打开如下图(点击可以放大)中间。两条折痕的交点为红点,将四个角往中间红点折,形成下图最右边的四边形 。
请实际自己操作,你将能更加体会。
讨论
编辑结论
编辑有面积为 平方公分的正方形。可是它的边长是多少公分呢?
面积为2的正方形,边长是多少公分呢?
编辑讨论
编辑用尺量量看,面积为 平方公分的正方形,它的边长大约为多少公分?[注 3]
利用计算机算算看,在 到 之间有没有一个数的平方是 ?
- 如果没有,则面积为 平方公分的正方形,它的边长介于哪两个两位小数公分之间?[注 5]
利用计算机算算看,在 到 之间有没有一个数的平方是 ?
结论
编辑我们无法使用一个有限小数表示面积为 的正方形边长。所以我们需要引进一个新的东西—“根号”来帮助我们表示这样的边长。
根号
编辑在国中的阶段,我们利用正方形的边长与面积来了解根号的意义[注 8]。
我们定义一个面积为 的正方形,它的边长为 。
如面积为 的正方形,它的边长为 。
面积不可能为负数或0,不过我们特别定义 。
重要概念: ,而且
用这样的概念,面积为 的正方形,它的边长为 ,但是面积为 的正方形,它的边长本身就是 ,所以事实上 。
同样的,面积为 其中 的正方形,它的边长为 ,但是面积为 的正方形,它的边长本身就是 ,而 ,所以 ,事实上
反过来说,边长为 的正方形,它的面积为 。
如边长为 的正方形,它的面积为 。
又因为正方形的面积公式为边长的平方, ,所以我们得到:
例题
编辑例题 面积为 的正方形,它的边长为多少?
解:面積為 的正方形,它的邊長為 。
例题 边长为 的正方形,它的面积为多少?
解:邊長為 的正方形,它的面積為 。
- 注意:在例题 中,边长为 的正方形,它的面积为 ,但是面积为 的正方形实际的边长为 ,所以 。也就是说,在第 式中,若 ,它的结果会是 的相反数 ,即
习题
编辑习题 面积为 的正方形,它的边长为多少?[答案 1]
习题 边长为 的正方形,它的面积为多少?[答案 2]
完全平方数与开根号
编辑在之前提到,面积为 其中 的正方形,它的边长为 。所以有一些特殊的情况是可以计算根号的值:
當 的 是某一個數的平方時。
当 是某一个整数的平方时,我们称 为完全平方数。
前21个完全平方数如下表:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | |
6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ||
36 | 49 | 64 | 81 | 100 | ||
11 | 12 | 13 | 14 | 15 | ||
121 | 144 | 169 | 196 | 225 | ||
16 | 17 | 18 | 19 | 20 | ||
256 | 289 | 324 | 361 | 400 |
计算出 的过程称作 开根号。如 开根号可以得到 。
在这里要再次提醒:开根号的答案必定为正数。
例题
编辑例题 计算 之值。
解: 。
例题 计算 之值。
解: 。
习题
编辑习题 计算 之值。[答案 3]
习题 计算 之值。[答案 4]
问题与讨论
编辑设 是一个正数,则 与 何者比较大?
- 当 时,是 比较大还是 比较大?
- 当 时,是 比较大还是 比较大?
- 当 时,是 比较大还是 比较大?
- 当 时,是 比较大还是 比较大?
平方根
编辑对于一个数 ,存在一个数 满足 ,则我们称 为 的平方根。
如: ,所以 是 的平方根。
检查一个数是不是另一数的平方根
编辑要检查 是不是 的平方根,只要实际计算 是否等于 即可。
例题 检验 是否为 的平方根。
解: ,所以 是 的平方根。
习题
编辑习题 检验 是否为 的平方根。[答案 5]
习题 检验 是否为 的平方根。[答案 6]
平方根的性质
编辑- 因为对于一个正数 , 且 ,所以正数 有两个平方根 与 ,其中 称作 的正平方根, 称作 的负平方根,两数互为相反数。
- 特别的, 的两个平方根可以记录为 。
- 只有一个平方根 。
- 负数的平方根在国中阶段是不存在的[注 9]。
习题
编辑习题 是非题,下列叙述是否正确?[答案 7]
- 因为没有一个整数、分数或小数的平方为 ,所以 没有平方根。
- 的平方根为 。
- 的平方根为 。
- 如果 是 的平方根,则 也是 的平方根。
利用计算机计算根号
编辑在许多计算机上有一个按钮“ ”可以计算根号的近似值。要计算“ ”的值有部分的计算机要依序输入“ ”→“ ”,也有依序输入“ ”→“ ”或“ ”→“ ”→“ ”的,你应该要依据自己的计算机性能而使用。
如计算“ ”依序按下“ ”→“ ”→“ ”→“ ”就可以得到近似值 。