国中数学/根号

边长为$2$的正方形，我们可以很轻易地回答面积为$4$。

可是反过来问，面积为$2$的正方形，它的边长为何呢？

有面积为2的正方形吗？

拿出一张边长为$2$公分的色纸，以垂直边长的方向对折再对折两次，将色纸打开如下图(点击可以放大)中间。两条折痕的交点为红点，将四个角往中间红点折，形成下图最右边的四边形$ABCD$。

利用折纸制作面积为$2$的正方形(使用Geogebra制作)

请实际自己操作，你将能更加体会。

讨论

1. 四边形$ABCD$为正方形。原因是什么呢？
2. 四边形$ABCD$的面积是多少平方公分呢？

结论

有面积为$2$平方公分的正方形。可是它的边长是多少公分呢？

面积为2的正方形，边长是多少公分呢?

讨论

用尺量量看，面积为$2$平方公分的正方形，它的边长大约为多少公分？

• 算算看，这个数的平方是否为$2$呢？
• 面积为$2$平方公分的正方形，它的边长介于哪两个一位小数公分之间？

利用计算机算算看，在$1.41$到$1.49$之间有没有一个数的平方是$2$？

• 如果没有，则面积为$2$平方公分的正方形，它的边长介于哪两个两位小数公分之间？

利用计算机算算看，在$1.411$到$1.419$之间有没有一个数的平方是$2$？

• 如果没有，则面积为$2$平方公分的正方形，它的边长介于哪两个三位小数公分之间？
• 有没有一个有限小数的平方刚好是$2$？

结论

我们无法使用一个有限小数表示面积为$2$的正方形边长。所以我们需要引进一个新的东西—“根号”来帮助我们表示这样的边长。

根号

在国中的阶段，我们利用正方形的边长与面积来了解根号的意义。

我们定义一个面积为$a$的正方形，它的边长为${\sqrt {a}}$。

如面积为$2$的正方形，它的边长为${\sqrt {2}}$。

面积不可能为负数或0，不过我们特别定义${\sqrt {0}}=0$。

重要概念：${\color {red}{\sqrt {a}}\geq 0}$，而且${\color {red}a\geq 0}$

用这样的概念，面积为$4$的正方形，它的边长为${\sqrt {4}}$，但是面积为$4$的正方形，它的边长本身就是$2$，所以事实上${\sqrt {4}}=2$。

同样的，面积为$x^{2}($其中$x>0)$的正方形，它的边长为${\sqrt {x^{2}}}$，但是面积为$x^{2}$的正方形，它的边长本身就是$x$，而$0^{2}=0$，所以${\sqrt {0}}={\sqrt {0^{2}}}=0$，事实上

${\sqrt {x^{2}}}=x(x\geq 0)\cdots (1)$

反过来说，边长为${\sqrt {a}}$的正方形，它的面积为$a$。

如边长为${\sqrt {3}}$的正方形，它的面积为$3$。

又因为正方形的面积公式为边长的平方，$({\sqrt {0}})^{2}=0^{2}=0$，所以我们得到：

$({\sqrt {a}})^{2}=a(a\geq 0)\cdots (2)$

例题

例题$1.$面积为$1.7$的正方形，它的边长为多少？

解：面積為$1.7$的正方形，它的邊長為${\color {red}{\sqrt {1.7}}}$。

例题$2.$边长为${\sqrt {(-5)^{2}}}$的正方形，它的面积为多少？

解：邊長為${\sqrt {(-5)^{2}}}$的正方形，它的面積為${\color {red}(-5)^{2}}=25$。

• 注意：在例题$2.$中，边长为${\sqrt {(-5)^{2}}}$的正方形，它的面积为$25$，但是面积为$25$的正方形实际的边长为$5$，所以${\sqrt {(-5)^{2}}}=5$。也就是说，在第$(1)$式中，若$x<0$，它的结果会是$x$的相反数$-x$，即

${\sqrt {x^{2}}}=-x(x<0)\cdots (3)$

习题

习题$1.$面积为${\frac {15}{13}}$的正方形，它的边长为多少？

习题$2.$边长为${\sqrt {3.9}}$的正方形，它的面积为多少？

完全平方数与开根号

在之前提到，面积为$x^{2}($其中$x>0)$的正方形，它的边长为${\sqrt {x^{2}}}=x$。所以有一些特殊的情况是可以计算根号的值：

當${\sqrt {a}}$的$a$是某一個數的平方時。

当$a$是某一个整数的平方时，我们称$a$为完全平方数。

前21个完全平方数如下表：

$n$	0	1	2	3	4	5
$n^{2}$	0	1	4	9	16	25
$n$	6	7	8	9	10
$n^{2}$	36	49	64	81	100
$n$	11	12	13	14	15
$n^{2}$	121	144	169	196	225
$n$	16	17	18	19	20
$n^{2}$	256	289	324	361	400

计算出${\sqrt {a}}$的过程称作$a$开根号。如$9$开根号可以得到${\sqrt {9}}={\sqrt {3^{2}}}=3$。

在这里要再次提醒：开根号的答案必定为正数。

例题

例题$3.$计算${\sqrt {\frac {144}{25}}}$之值。

解：${\sqrt {\frac {144}{25}}}={\sqrt {\frac {12^{2}}{5^{2}}}}={\sqrt {({\frac {12}{5}})^{2}}}={\frac {12}{5}}$。

例题$4.$计算${\sqrt {0.0289}}$之值。

解：${\sqrt {0.0289}}={\sqrt {\frac {289}{10000}}}={\sqrt {\frac {17^{2}}{100^{2}}}}={\sqrt {({\frac {17}{100}})^{2}}}={\frac {17}{100}}$。

习题

习题$3.$计算${\sqrt {\frac {361}{169}}}$之值。

习题$4.$计算${\sqrt {0.81}}$之值。

问题与讨论

设$a$是一个正数，则$a$与${\sqrt {a}}$何者比较大？

1. 当$a={\frac {9}{4}}$时，是$a$比较大还是${\sqrt {a}}$比较大？
2. 当$a={\frac {1}{4}}$时，是$a$比较大还是${\sqrt {a}}$比较大？
3. 当$a=1.44$时，是$a$比较大还是${\sqrt {a}}$比较大？
4. 当$a=0.04$时，是$a$比较大还是${\sqrt {a}}$比较大？

平方根

对于一个数$a$，存在一个数$x$满足$x^{2}=a$，则我们称$x$为$a$的平方根。

如：$24^{2}=576$，所以$24$是$576$的平方根。

检查一个数是不是另一数的平方根

要检查$x$是不是$a$的平方根，只要实际计算$x^{2}(=x\times x)$是否等于$a$即可。

例题$5.$检验$-24$是否为$576$的平方根。

解：$(-24)^{2}=(-24)\times (-24)=576$，所以$-24$是$576$的平方根。

习题

习题$5.$检验$0.2$是否为$0.4$的平方根。

习题$6.$检验$1{\frac {2}{3}}$是否为$1{\frac {4}{9}}$的平方根。

平方根的性质

1. 因为对于一个正数$a$，$({\sqrt {a}})^{2}=a$且$(-{\sqrt {a}})^{2}=a$，所以正数$a$有两个平方根${\color {red}{\sqrt {a}}}$与${\color {blue}-{\sqrt {a}}}$，其中${\color {red}{\sqrt {a}}}$称作$a$的正平方根，${\color {blue}-{\sqrt {a}}}$称作$a$的负平方根，两数互为相反数。
   • 特别的，$a$的两个平方根可以记录为${\color {red}\pm {\sqrt {a}}}$。
2. $0$只有一个平方根$0$。
3. 负数的平方根在国中阶段是不存在的。

习题

习题$7.$是非题，下列叙述是否正确？

1. 因为没有一个整数、分数或小数的平方为$15$，所以$15$没有平方根。
2. ${\sqrt {81}}$的平方根为$\pm 9$。
3. $0.4$的平方根为$\pm 0.2$。
4. 如果$a$是$17$的平方根，则$-a$也是$17$的平方根。

利用计算机计算根号

在许多计算机上有一个按钮“${\sqrt {}}$”可以计算根号的近似值。要计算“${\sqrt {a}}$”的值有部分的计算机要依序输入“${\sqrt {}}$”→“$a$”，也有依序输入“$a$”→“${\sqrt {}}$”或“$a$”→“$=$”→“${\sqrt {}}$”的，你应该要依据自己的计算机性能而使用。

如计算“${\sqrt {\frac {4}{7}}}$”依序按下“${\sqrt {}}$”→“$4$”→“$\div$”→“$7$”就可以得到近似值$0.755928946$。

参见

• 根式
• 指数(高中数学)
• 复数(高中数学)