国中数学/根号

边长为 $2$ 的正方形，我们可以很轻易地回答面积为 $4$ 。

可是反过来问，面积为 $2$ 的正方形，它的边长为何呢？

有面积为2的正方形吗？

拿出一张边长为 $2$ 厘米的色纸，以垂直边长的方向对折再对折两次，将色纸打开如下图(点击可以放大)中间。两条折痕的交点为红点，将四个角往中间红点折，形成下图最右边的四边形 $ABCD$ 。

利用折纸制作面积为

2

的正方形(使用Geogebra制作)

请实际自己操作，你将能更加体会。

讨论

四边形 $ABCD$ 为正方形。原因是什么呢？^{[注 1]}
四边形 $ABCD$ 的面积是多少平方厘米呢？^{[注 2]}

结论

有面积为 $2$ 平方厘米的正方形。可是它的边长是多少厘米呢？

面积为2的正方形，边长是多少厘米呢?

讨论

用尺量量看，面积为 $2$ 平方厘米的正方形，它的边长大约为多少厘米？^{[注 3]}

算算看，这个数的平方是否为 $2$ 呢？
面积为 $2$ 平方厘米的正方形，它的边长介于哪两个一位小数厘米之间？^{[注 4]}

利用计算机算算看，在 $1.41$ 到 $1.49$ 之间有没有一个数的平方是 $2$ ？

如果没有，则面积为 $2$ 平方厘米的正方形，它的边长介于哪两个两位小数厘米之间？^{[注 5]}

利用计算机算算看，在 $1.411$ 到 $1.419$ 之间有没有一个数的平方是 $2$ ？

如果没有，则面积为 $2$ 平方厘米的正方形，它的边长介于哪两个三位小数厘米之间？^{[注 6]}
有没有一个有限小数的平方刚好是 $2$ ？^{[注 7]}

结论

我们无法使用一个有限小数表示面积为 $2$ 的正方形边长。所以我们需要引进一个新的东西—“根号”来帮助我们表示这样的边长。

根号

在国中的阶段，我们利用正方形的边长与面积来了解根号的意义^{[注 8]}。

我们定义一个面积为 $a$ 的正方形，它的边长为 ${\sqrt {a}}$ 。

如面积为 $2$ 的正方形，它的边长为 ${\sqrt {2}}$ 。

面积不可能为负数或0，不过我们特别定义 ${\sqrt {0}}=0$ 。

重要概念： ${\color {red}{\sqrt {a}}\geq 0}$ ，而且 ${\color {red}a\geq 0}$

用这样的概念，面积为 $4$ 的正方形，它的边长为 ${\sqrt {4}}$ ，但是面积为 $4$ 的正方形，它的边长本身就是 $2$ ，所以事实上 ${\sqrt {4}}=2$ 。

同样的，面积为 $x^{2}($ 其中 $x>0)$ 的正方形，它的边长为 ${\sqrt {x^{2}}}$ ，但是面积为 $x^{2}$ 的正方形，它的边长本身就是 $x$ ，而 $0^{2}=0$ ，所以 ${\sqrt {0}}={\sqrt {0^{2}}}=0$ ，事实上

 ${\sqrt {x^{2}}}=x(x\geq 0)\cdots (1)$

反过来说，边长为 ${\sqrt {a}}$ 的正方形，它的面积为 $a$ 。

如边长为 ${\sqrt {3}}$ 的正方形，它的面积为 $3$ 。

又因为正方形的面积公式为边长的平方， $({\sqrt {0}})^{2}=0^{2}=0$ ，所以我们得到：

 $({\sqrt {a}})^{2}=a(a\geq 0)\cdots (2)$

例题

例题 $1.$ 面积为 $1.7$ 的正方形，它的边长为多少？

解：面積為 $1.7$ 的正方形，它的邊長為 ${\color {red}{\sqrt {1.7}}}$ 。

例题 $2.$ 边长为 ${\sqrt {(-5)^{2}}}$ 的正方形，它的面积为多少？

解：邊長為 ${\sqrt {(-5)^{2}}}$ 的正方形，它的面積為 ${\color {red}(-5)^{2}}=25$ 。

注意：在例题 $2.$ 中，边长为 ${\sqrt {(-5)^{2}}}$ 的正方形，它的面积为 $25$ ，但是面积为 $25$ 的正方形实际的边长为 $5$ ，所以 ${\sqrt {(-5)^{2}}}=5$ 。也就是说，在第 $(1)$ 式中，若 $x<0$ ，它的结果会是 $x$ 的相反数 $-x$ ，即

 ${\sqrt {x^{2}}}=-x(x<0)\cdots (3)$

习题

习题 $1.$ 面积为 ${\frac {15}{13}}$ 的正方形，它的边长为多少？^{[答案 1]}

习题 $2.$ 边长为 ${\sqrt {3.9}}$ 的正方形，它的面积为多少？^{[答案 2]}

完全平方数与开根号

在之前提到，面积为 $x^{2}($ 其中 $x>0)$ 的正方形，它的边长为 ${\sqrt {x^{2}}}=x$ 。所以有一些特殊的情况是可以计算根号的值：

當 ${\sqrt {a}}$ 的 $a$ 是某一個數的平方時。

当 $a$ 是某一个整数的平方时，我们称 $a$ 为完全平方数。

前21个完全平方数如下表：

$n$	0	1	2	3	4	5
$n^{2}$	0	1	4	9	16	25
$n$	6	7	8	9	10
$n^{2}$	36	49	64	81	100
$n$	11	12	13	14	15
$n^{2}$	121	144	169	196	225
$n$	16	17	18	19	20
$n^{2}$	256	289	324	361	400

计算出 ${\sqrt {a}}$ 的过程称作 $a$ 开根号。如 $9$ 开根号可以得到 ${\sqrt {9}}={\sqrt {3^{2}}}=3$ 。

在这里要再次提醒：开根号的答案必定为正数。

例题

例题 $3.$ 计算 ${\sqrt {\frac {144}{25}}}$ 之值。

解： ${\sqrt {\frac {144}{25}}}={\sqrt {\frac {12^{2}}{5^{2}}}}={\sqrt {({\frac {12}{5}})^{2}}}={\frac {12}{5}}$ 。

例题 $4.$ 计算 ${\sqrt {0.0289}}$ 之值。

解： ${\sqrt {0.0289}}={\sqrt {\frac {289}{10000}}}={\sqrt {\frac {17^{2}}{100^{2}}}}={\sqrt {({\frac {17}{100}})^{2}}}={\frac {17}{100}}$ 。

习题

习题 $3.$ 计算 ${\sqrt {\frac {361}{169}}}$ 之值。^{[答案 3]}

习题 $4.$ 计算 ${\sqrt {0.81}}$ 之值。^{[答案 4]}

问题与讨论

设 $a$ 是一个正数，则 $a$ 与 ${\sqrt {a}}$ 何者比较大？

当 $a={\frac {9}{4}}$ 时，是 $a$ 比较大还是 ${\sqrt {a}}$ 比较大？
当 $a={\frac {1}{4}}$ 时，是 $a$ 比较大还是 ${\sqrt {a}}$ 比较大？
当 $a=1.44$ 时，是 $a$ 比较大还是 ${\sqrt {a}}$ 比较大？
当 $a=0.04$ 时，是 $a$ 比较大还是 ${\sqrt {a}}$ 比较大？

平方根

对于一个数 $a$ ，存在一个数 $x$ 满足 $x^{2}=a$ ，则我们称 $x$ 为 $a$ 的平方根。

如： $24^{2}=576$ ，所以 $24$ 是 $576$ 的平方根。

检查一个数是不是另一数的平方根

要检查 $x$ 是不是 $a$ 的平方根，只要实际计算 $x^{2}(=x\times x)$ 是否等于 $a$ 即可。

例题 $5.$ 检验 $-24$ 是否为 $576$ 的平方根。

解： $(-24)^{2}=(-24)\times (-24)=576$ ，所以 $-24$ 是 $576$ 的平方根。

习题

习题 $5.$ 检验 $0.2$ 是否为 $0.4$ 的平方根。^{[答案 5]}

习题 $6.$ 检验 $1{\frac {2}{3}}$ 是否为 $1{\frac {4}{9}}$ 的平方根。^{[答案 6]}

平方根的性质

因为对于一个正数 $a$ ， $({\sqrt {a}})^{2}=a$ 且 $(-{\sqrt {a}})^{2}=a$ ，所以正数 $a$ 有两个平方根 ${\color {red}{\sqrt {a}}}$ 与 ${\color {blue}-{\sqrt {a}}}$ ，其中 ${\color {red}{\sqrt {a}}}$ 称作 $a$ 的正平方根， ${\color {blue}-{\sqrt {a}}}$ 称作 $a$ 的负平方根，两数互为相反数。
- 特别的， $a$ 的两个平方根可以记录为 ${\color {red}\pm {\sqrt {a}}}$ 。
$0$ 只有一个平方根 $0$ 。
负数的平方根在国中阶段是不存在的^{[注 9]}。

习题

习题 $7.$ 是非题，下列叙述是否正确？^{[答案 7]}

因为没有一个整数、分数或小数的平方为 $15$ ，所以 $15$ 没有平方根。
${\sqrt {81}}$ 的平方根为 $\pm 9$ 。
$0.4$ 的平方根为 $\pm 0.2$ 。
如果 $a$ 是 $17$ 的平方根，则 $-a$ 也是 $17$ 的平方根。

利用计算机计算根号

在许多计算机上有一个按钮“ ${\sqrt {}}$ ”可以计算根号的近似值。要计算“ ${\sqrt {a}}$ ”的值有部分的计算机要依序输入“ ${\sqrt {}}$ ”→“ $a$ ”，也有依序输入“ $a$ ”→“ ${\sqrt {}}$ ”或“ $a$ ”→“ $=$ ”→“ ${\sqrt {}}$ ”的，你应该要依据自己的计算机性能而使用。