高中数学/复数

学习本节前请确保您对向量有了解。

基础知识

复数的引入

我们知道，在实数范围内，方程 $x^{2}+1=0$ 无解。也就是说，负实数不能求平方根。

但如果我们硬要写出这个方程的根，那么我们会得到

$x={\sqrt {-1}}$

回顾已有的数集扩充过程，可以看到，每次扩充都与实际需求密切相关。例如，为了解决正方形对角线的度量，以及 $x^{2}-2=0$这样的方程在有理数集中无解的问题，人们把有理数集扩充到了实数集。数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律。那么，为了解这个方程，我们也要引入一种新的数。

为此，我们引入一个数 $\mathrm {i}$，使得 $\mathrm {i} ^{2}=-1$，那么上面的这个方程的解就可以写成

$x=i$

下一步，我们希望数 $\mathrm {i}$ 和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律。

因此，把实数 $b$ 与 $\mathrm {i}$ 相乘记作 $b\mathrm {i}$ ；把实数 $a$ 与 $b\mathrm {i}$ 相加，结果记作 $a+b\mathrm {i}$ 。这样，所有我们已经讨论过的数都可以写成 $a+b\mathrm {i}$ 的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中。

复数的定义和分类

定义 1： 形如 $a+b\mathrm {i} (a,b\in \mathbb {R} )$ 的数为复数，其中 $\mathrm {i}$ 叫做虚数单位，一切复数构成的集合叫做复数集，用字母 $\mathbb {C}$ 表示。

像这样，用 $z=a+b\mathrm {i} (a,b\in \mathbb {R} )$ 的形式表示复数 $z$，就叫做复数的代数形式。其中 $a$ 叫做 $z$ 的实部，$b$ 叫做 $z$ 的虚部。

如果 $a=0$，那么这个复数就被叫做纯虚数。

我们已经定义的概念有如右图所示的关系。

复数关系图

复数的几何意义

实数和数轴上的点一一对应，自然地，我们也希望将这样的几何意义拓宽到复数去。

首先，我们说 $z_{1}=a+b\mathrm {i}$ 和 $z_{2}=c+d\mathrm {i}$ 相等，当且仅当 $a=b$ 且 $c=d$。这是十分自然的一个定义。

进而，我们就可以用惟一的有序实数对 $\left(a,b\right)$ 来表示复数，而这样的实数对又和平面直角坐标系中的点一一对应。这样，我们就在 复数 $z=a+b\mathrm {i}$ 和点 $\left(a,b\right)$ 之间建立了一一对应关系。

同时，我们又知道，向量的坐标表示也是一个有序实数对，因此我们也能在复数和向量之间建立一一对应关系。也就是说，复数 $z=a+b\mathrm {i}$ 和点 $Z(a,b)$，和向量 ${\overrightarrow {OZ}}$ 之间，都有一一对应关系。

因此，我们可以把向量的模的概念，即 $|{\overrightarrow {OZ}}|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$，迁移到复数来。

定义 2: 复数 $z=a+b\mathrm {i}$ 的 模 为 $|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

拓展知识

习题

题目

基础习题

1. 计算：${\frac {3+4\mathrm {i} }{7-2\mathrm {i} }}$