我们知道，在实数范围内，方程 
无解。也就是说，负实数不能求平方根。
但如果我们硬要写出这个方程的根，那么我们会得到
回顾已有的数集扩充过程，可以看到，每次扩充都与实际需求密切相关。例如，为了解决正方形对角线的度量，以及 
这样的方程在有理数集中无解的问题，人们把有理数集扩充到了实数集。数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律。那么，为了解这个方程，我们也要引入一种新的数。
为此，我们引入一个数 
，使得 
，那么上面的这个方程的解就可以写成
下一步，我们希望数 和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律。
因此，把实数 
与 相乘记作 
；把实数 
与 相加，结果记作 
。这样，所有我们已经讨论过的数都可以写成 的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中。
定义 1： 形如
的数为
复数，其中
叫做
虚数单位，一切复数构成的集合叫做
复数集，用字母
表示。
像这样，用 
的形式表示复数 
，就叫做复数的代数形式。其中 叫做 的实部， 叫做 的虚部。
如果 
，那么这个复数就被叫做纯虚数。
我们已经定义的概念有如右图所示的关系。
复数关系图
实数和数轴上的点一一对应，自然地，我们也希望将这样的几何意义拓宽到复数去。
首先，我们说 
和 
相等，当且仅当 
且 
。这是十分自然的一个定义。
进而，我们就可以用惟一的有序实数对 
来表示复数，而这样的实数对又和平面直角坐标系中的点一一对应。这样，我们就在 复数 
和点 之间建立了一一对应关系。
同时，我们又知道，向量的坐标表示也是一个有序实数对，因此我们也能在复数和向量之间建立一一对应关系。也就是说，复数 和点 
，和向量 
之间，都有一一对应关系。
因此，我们可以把向量的模的概念，即 
，迁移到复数来。
定义 2: 复数
的
模 为
- 计算：
