高中數學/複數

學習本節前請確保您對向量有了解。

基礎知識

複數的引入

我們知道，在實數範圍內，方程 $x^{2}+1=0$ 無解。也就是說，負實數不能求平方根。

但如果我們硬要寫出這個方程的根，那麼我們會得到

$x={\sqrt {-1}}$

回顧已有的數集擴充過程，可以看到，每次擴充都與實際需求密切相關。例如，為了解決正方形對角線的度量，以及 $x^{2}-2=0$這樣的方程在有理數集中無解的問題，人們把有理數集擴充到了實數集。數集擴充後，在實數集中規定的加法運算、乘法運算，與原來在有理數集中規定的加法運算、乘法運算協調一致，並且加法和乘法都滿足交換律和結合律，乘法對加法滿足分配律。那麼，為了解這個方程，我們也要引入一種新的數。

為此，我們引入一個數 $\mathrm {i}$，使得 $\mathrm {i} ^{2}=-1$，那麼上面的這個方程的解就可以寫成

$x=i$

下一步，我們希望數 $\mathrm {i}$ 和實數之間仍然能像實數那樣進行加法和乘法運算，並希望加法和乘法都滿足交換律、結合律，以及乘法對加法滿足分配律。

因此，把實數 $b$ 與 $\mathrm {i}$ 相乘記作 $b\mathrm {i}$ ；把實數 $a$ 與 $b\mathrm {i}$ 相加，結果記作 $a+b\mathrm {i}$ 。這樣，所有我們已經討論過的數都可以寫成 $a+b\mathrm {i}$ 的形式，從而這些數都在擴充後的新數集中。

複數的定義和分類

定義 1： 形如 $a+b\mathrm {i} (a,b\in \mathbb {R} )$ 的數為複數，其中 $\mathrm {i}$ 叫做虛數單位，一切複數構成的集合叫做複數集，用字母 $\mathbb {C}$ 表示。

像這樣，用 $z=a+b\mathrm {i} (a,b\in \mathbb {R} )$ 的形式表示複數 $z$，就叫做複數的代數形式。其中 $a$ 叫做 $z$ 的實部，$b$ 叫做 $z$ 的虛部。

如果 $a=0$，那麼這個複數就被叫做純虛數。

我們已經定義的概念有如右圖所示的關係。

複數關係圖

複數的幾何意義

實數和數軸上的點一一對應，自然地，我們也希望將這樣的幾何意義拓寬到複數去。

首先，我們說 $z_{1}=a+b\mathrm {i}$ 和 $z_{2}=c+d\mathrm {i}$ 相等，若且唯若 $a=b$ 且 $c=d$。這是十分自然的一個定義。

進而，我們就可以用惟一的有序實數對 $\left(a,b\right)$ 來表示複數，而這樣的實數對又和平面直角坐標系中的點一一對應。這樣，我們就在 複數 $z=a+b\mathrm {i}$ 和點 $\left(a,b\right)$ 之間建立了一一對應關係。

同時，我們又知道，向量的坐標表示也是一個有序實數對，因此我們也能在複數和向量之間建立一一對應關係。也就是說，複數 $z=a+b\mathrm {i}$ 和點 $Z(a,b)$，和向量 ${\overrightarrow {OZ}}$ 之間，都有一一對應關係。

因此，我們可以把向量的模的概念，即 $|{\overrightarrow {OZ}}|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$，遷移到複數來。

定義 2: 複數 $z=a+b\mathrm {i}$ 的 模 為 $|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

拓展知識

習題

題目

基礎習題

1. 計算：${\frac {3+4\mathrm {i} }{7-2\mathrm {i} }}$