高中數學/複數

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基礎知識

複數的引入

我們知道，在實數範圍內，方程 $x^{2}+1=0$ 無解。也就是說，負實數不能求平方根。

但如果我們硬要寫出這個方程的根，那麼我們會得到

$x={\sqrt {-1}}$

回顧已有的數集擴充過程，可以看到，每次擴充都與實際需求密切相關。例如，為了解決正方形對角線的度量，以及 $x^{2}-2=0$ 這樣的方程在有理數集中無解的問題，人們把有理數集擴充到了實數集。數集擴充後，在實數集中規定的加法運算、乘法運算，與原來在有理數集中規定的加法運算、乘法運算協調一致，並且加法和乘法都滿足交換律和結合律，乘法對加法滿足分配律。那麼，為了解這個方程，我們也要引入一種新的數。

為此，我們引入一個數 $\mathrm {i}$ ，使得 $\mathrm {i} ^{2}=-1$ ，那麼上面的這個方程的解就可以寫成

$x=i$

下一步，我們希望數 $\mathrm {i}$ 和實數之間仍然能像實數那樣進行加法和乘法運算，並希望加法和乘法都滿足交換律、結合律，以及乘法對加法滿足分配律。

因此，把實數 $b$ 與 $\mathrm {i}$ 相乘記作 $b\mathrm {i}$ ；把實數 $a$ 與 $b\mathrm {i}$ 相加，結果記作 $a+b\mathrm {i}$ 。這樣，所有我們已經討論過的數都可以寫成 $a+b\mathrm {i}$ 的形式，從而這些數都在擴充後的新數集中。