高中数学


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开场白:谁适合阅读这本书编辑

本书是为中国大陆的普通高级中学学生设计的数学教程,以便于自学、知识扩展或课后复习。其他地区的学生或者其他人员也可通过此书以扩充知识面或了解更多知识。

书中会收录少量在一般普通高中考试大纲之外的实用知识,但会作出必要的说明,只供有需要的部分读者学习。如果您是急需速成学习或成绩铁定吊车尾的读者,大可以先放心跳过它们。

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如果您是一位急匆匆的读者,以上内容就是您所需要了解的全部。

高中数学的学习方法编辑

写给进入高中的差生编辑

成绩令人揪心的你终于勉强进入了高中。坏消息是这是一段比初中更加难熬的学习阶段,尤其是数学。您将会大概率遇到更多不知道做的题目,而且老师会不厌其烦地布置学渣如你根本写不完的习题作业。忧国忧民的您可能在较长一段时间内不再有机会好好为振兴国家的电竞事业而贡献余热,或是从头到尾看完一部爱得死去活来的肥皂剧了。最令人遗憾的是,如果您进入的是比较糟糕的高中,考试时可能连可以抄答案的靠谱同学都没有,其他同学日常聊的话题也多半是一些感情纠纷或江湖往事。学生成群约架和各种不健康的书籍、影视也可能充斥校园。如果您希望数学成绩能得到提高,或者至少使数学考试成绩不再那么难看,现在至少应该树立牺牲大部分娱乐时间、先把基础习题一个一个搞懂的决心。如果其中有明显难度的知识点一下子拿不下来,那就至少保证基础习题都要会做,而且保证会做的习题尽量少出错。出错的题要总结具体错误的类型,每过一段时间之后重新做一遍之前出错的问题。

如果您的初中数学基础特别烂,建议先复习一次函数、二次函数、三角函数的知识,至少把需要背熟的性质都背熟。好消息是以前学习的平面几何不再是高中的重点考察知识,这是一个可以重新开局的好机会,值得好好把握。

总结起来就是:

  • 要有定力,少受环境的影响
  • 先集中突破基础问题,一步一个脚印
  • 保证会做的习题少出错
  • 反复练习之前的有价值的错题

“张华考上了北京大学,李萍进了中等技术学校,我在百货公司当售货员:我们都有光明的前途。”

——《新华字典》1998年修订本第673页

写给基础好的读者编辑

高中所学的数学绝大部分内容是300年前或更早的数学,集合论、线性规划、导数等少数知识点是为了与大学数学衔接而加入的近代数学基础知识。它的本质还是停留在对离散的、直观的、特殊规律的学习,但是已经开始朝将知识点一般化的方向延伸。例如高中学习的余弦定理是对勾股定理的推广,向量是对数的高维抽象,解析几何拓展了对平面几何问题的研究思路。

撇去知识点细节,高中数学主要考察下列几个思想,这是高中数学解题思维的主线:

  • 待定系数法
  • 数形结合
  • 从特殊到一般,将规律从特定多个推广到任意多个
  • 换元与转化的思想

对于大多数资质一般、优质教育资源有限的人而言,数学是一门困难的学科,学习数学需要基于大量实践经验的方法总结。而且从高中数学开始,数学的学习难度会越来越大,答案或思路明显的问题会越来越少,时不时因遇到难题而发愁、学习感到吃力是很正常的。即使是专业的数学工作者也经常遇到令人困惑不解的数学难题,或是被同行更优秀的工作所震惊。遇到困难时,一定要及时调整心态,不必死磕过难的题,也不必整日以泪洗面。

不是所有的难题都值得做,做完题之后要总结所做的题出得好不好,尤其是自己通过做完这样一道题目到底能不能学到新东西。做习题不是为了与他人攀比,而是检测自己对于新知识的理解是否充分到位。对自己有启发性、自己特别容易出错的题目或考点要集中记下来。不应该纯粹为了竞争而学习数学,这里给出2位著名数学家的话作为寄语:

数学并不是一项竞赛活动。

——亚历山大·格罗滕迪克[1]

“数学的目标不是获得最高的排名、最高的分数或者最多的奖项,相反,最重要的目标是提升对数学的理解(不仅是为你自己,更为了你的同行、学生),以及促进数学的发展和应用。出于这个目的,数学欢迎任何想加入这个行列的人。”

——陶哲轩[2][3]

本书定位编辑

由于维基教科书是开放的读本,任何发现它存在明显瑕疵的有心人都可以为其添砖加瓦。但为了保持整本书风格和定位的统一,我们在此留给后来的编辑者们一些话,可做写作和取材时的参考。

我们认为,由于各国、甚至各地教材的内容都不完全统一,且每种教材都可能会频繁改版,加之教材可能会存在少量知识点的遗漏,所以维基教科书不适合按与特定版本教材章节严格对应的思路编写。我们希望通过这本书,提供一个普适的、能长期使用的、内容比一般教材更丰富的阅读选择。本书内容取材的大致原则如下:

  • 不必参考特定地区、特定版本教材或教辅的章节顺序编写,由浅入深、逻辑自洽即可。
  • 先突出容易最掌握的核心知识,并将基础知识点与拓展知识点用不同的子章节分开讲述。这样有不同层次阅读需要的人群可以各取所需。
  • 题量可以多一点,但是一定要合理分类。每一节都按主要知识点或技巧的不同类型,由浅入深分类讲解各种例题,逐渐加强对知识点的理解深度,方便读者对知识点各个击破。这样对任何知识点感觉存在不足的读者,都可以快速查漏补缺,或是有针对性地刷题提高。数学主张领悟通性通法,我们不主张通过题海战术学习数学,但是每个人针对自己的薄弱知识点刷题是值得的,所以习题一定要按知识点合理分类。
  • 对于经典例题提倡一题多解,但是除了有关集合、简易逻辑、函数、综合复习的章节外,应该尽量保持其余各个大章节的知识点独立性。一题多解的好处自不必说,尽量保持独立性是为了便于读者学习和查阅。读者如果是高中生,学校课程的学习顺序可能会发生变动,彼此独立的章节可以避免已学知识与未学知识的相互干扰。处于这样的理由,我们更建议将知识点跨领域的问题和一题多解的问题放在综合复习部分。也可以将可以一题多解的问题分散在不同章节,但只在其中每个章节介绍一种解法,并提及存在其它解法,最后在综合复习章节对它们进行集中对比和点评。
  • 我们不希望这变成一本应试指南。无论是学校考试和学科竞赛,都不应该成为学习数学的唯一动力。但我们也会考虑到部分读者的实际需要,用极少量篇幅适当介绍考试须知的内容。
  • 习题选题应以解答题和证明题为主,没必要地大量布置选择题、填空题。对于比较经典的选择题、填空题,能改写为问答题的也优先改写为问答题。理由是解答题和证明题可以锻炼读者的思维,选择题和判断题则有一些取巧的方法。我们不鼓励利用“排除法”、“带入选项验证”等取巧的方法学习数学,虽然它也不是毫无意义的。
  • 习题一定要有启发性,容易使大多数读者举一反三。过难的习题和过于特殊取巧的解法并不适合大多数读者。学习数学教育的目的是引导学习者发现解决大多数常见问题的普遍性规律,不是一味拘泥于各种特殊情况。真正的数学如同生活本身,它需要一定的常见技巧,但并非总是处处充满巧合与奇迹的。
  • 如果可以的话,简要说明知识点的由来以及知识点本身在高中以后的后续课程中到底有什么应用,强调数学学习的连贯性。对于许多读者来说,“为什么高中需要学习某某知识点”可能容易引起困惑。无论读者是出于好奇心,还是处于功利的目的,都有理由获得对于这类问题的解答。我们鼓励学习者思考和提出“学习这个除了应付考试还有什么用”这样的问题。此外,“要解决这种问题,以后是否还会学到更普适的方法”也是一个很好的问题,可以给读者一两句话介绍对于这样的问题我们已经了解到了什么程度、有什么进阶教程可以参考。
  • 如遇到容易理解偏差的词汇(例如“行”与“列”的含义在两岸三地可能是相反的),适当提及中西文表达差异与不同教程之间的术语差异。

贡献列表编辑

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参考资料编辑

  1. Martin Raussen; Christian Skau. Interview with Abel Laureate Pierre Deligne [采访阿贝尔奖得主皮埃尔• 德利涅] (pdf). Newsletter of the European Mathematical Society. 2013: 21 [2019-09-17]. (原始内容存档 (PDF)于2013-10-16) (英语). For Grothendieck it was very clear: he once told me that mathematics is not a competition sport. Mathematicians are different and some will want to be the first, especially if they are working on very specific and difficult questions. For me it's more important to create tools and to understand the general picture. 
  2. (简体中文)陶哲轩(2016年12月14日).Does One Have To Be A Genius To Do Maths?环球科学网.於2018年4月17日查閱.
  3. Dana C. Ernst, Angie Hodge, Stan Yoshinobu. What Is Inquiry-Based Learning? [什么是基于探知的学习?] (pdf). Notices of the AMS. 2017, 64 (6): 570–574 [2018年4月17日] (英语). The objective in mathematics is not to obtain the highest ranking, the highest "score", or the highest number of prizes and awards; instead, it is to increase understanding of mathematics (both for yourself, and for your colleagues and students), and to contribute to its development and applications. For these tasks, mathematics needs all the good people it can get.