國中數學/根號

邊長為 $2$ 的正方形，我們可以很輕易地回答面積為 $4$ 。

可是反過來問，面積為 $2$ 的正方形，它的邊長為何呢？

有面積為2的正方形嗎？

拿出一張邊長為 $2$ 公分的色紙，以垂直邊長的方向對摺再對摺兩次，將色紙打開如下圖(點擊可以放大)中間。兩條摺痕的交點為紅點，將四個角往中間紅點摺，形成下圖最右邊的四邊形 $ABCD$ 。

利用摺紙製作面積為

2

的正方形(使用Geogebra製作)

請實際自己操作，你將能更加體會。

討論

四邊形 $ABCD$ 為正方形。原因是什麼呢？^{[註 1]}
四邊形 $ABCD$ 的面積是多少平方公分呢？^{[註 2]}

結論

有面積為 $2$ 平方公分的正方形。可是它的邊長是多少公分呢？

面積為2的正方形，邊長是多少公分呢?

討論

用尺量量看，面積為 $2$ 平方公分的正方形，它的邊長大約為多少公分？^{[註 3]}

算算看，這個數的平方是否為 $2$ 呢？
面積為 $2$ 平方公分的正方形，它的邊長介於哪兩個一位小數公分之間？^{[註 4]}

利用計算機算算看，在 $1.41$ 到 $1.49$ 之間有沒有一個數的平方是 $2$ ？

如果沒有，則面積為 $2$ 平方公分的正方形，它的邊長介於哪兩個兩位小數公分之間？^{[註 5]}

利用計算機算算看，在 $1.411$ 到 $1.419$ 之間有沒有一個數的平方是 $2$ ？

如果沒有，則面積為 $2$ 平方公分的正方形，它的邊長介於哪兩個三位小數公分之間？^{[註 6]}
有沒有一個有限小數的平方剛好是 $2$ ？^{[註 7]}

結論

我們無法使用一個有限小數表示面積為 $2$ 的正方形邊長。所以我們需要引進一個新的東西—「根號」來幫助我們表示這樣的邊長。

根號

在國中的階段，我們利用正方形的邊長與面積來了解根號的意義^{[註 8]}。

我們定義一個面積為 $a$ 的正方形，它的邊長為 ${\sqrt {a}}$ 。

如面積為 $2$ 的正方形，它的邊長為 ${\sqrt {2}}$ 。

面積不可能為負數或0，不過我們特別定義 ${\sqrt {0}}=0$ 。

重要概念： ${\color {red}{\sqrt {a}}\geq 0}$ ，而且 ${\color {red}a\geq 0}$

用這樣的概念，面積為 $4$ 的正方形，它的邊長為 ${\sqrt {4}}$ ，但是面積為 $4$ 的正方形，它的邊長本身就是 $2$ ，所以事實上 ${\sqrt {4}}=2$ 。

同樣的，面積為 $x^{2}($ 其中 $x>0)$ 的正方形，它的邊長為 ${\sqrt {x^{2}}}$ ，但是面積為 $x^{2}$ 的正方形，它的邊長本身就是 $x$ ，而 $0^{2}=0$ ，所以 ${\sqrt {0}}={\sqrt {0^{2}}}=0$ ，事實上

 ${\sqrt {x^{2}}}=x(x\geq 0)\cdots (1)$

反過來說，邊長為 ${\sqrt {a}}$ 的正方形，它的面積為 $a$ 。

如邊長為 ${\sqrt {3}}$ 的正方形，它的面積為 $3$ 。

又因為正方形的面積公式為邊長的平方， $({\sqrt {0}})^{2}=0^{2}=0$ ，所以我們得到：

 $({\sqrt {a}})^{2}=a(a\geq 0)\cdots (2)$

例題

例題 $1.$ 面積為 $1.7$ 的正方形，它的邊長為多少？

解：面積為 $1.7$ 的正方形，它的邊長為 ${\color {red}{\sqrt {1.7}}}$ 。

例題 $2.$ 邊長為 ${\sqrt {(-5)^{2}}}$ 的正方形，它的面積為多少？

解：邊長為 ${\sqrt {(-5)^{2}}}$ 的正方形，它的面積為 ${\color {red}(-5)^{2}}=25$ 。

注意：在例題 $2.$ 中，邊長為 ${\sqrt {(-5)^{2}}}$ 的正方形，它的面積為 $25$ ，但是面積為 $25$ 的正方形實際的邊長為 $5$ ，所以 ${\sqrt {(-5)^{2}}}=5$ 。也就是說，在第 $(1)$ 式中，若 $x<0$ ，它的結果會是 $x$ 的相反數 $-x$ ，即

 ${\sqrt {x^{2}}}=-x(x<0)\cdots (3)$

習題

習題 $1.$ 面積為 ${\frac {15}{13}}$ 的正方形，它的邊長為多少？^{[答案 1]}

習題 $2.$ 邊長為 ${\sqrt {3.9}}$ 的正方形，它的面積為多少？^{[答案 2]}

完全平方數與開根號

在之前提到，面積為 $x^{2}($ 其中 $x>0)$ 的正方形，它的邊長為 ${\sqrt {x^{2}}}=x$ 。所以有一些特殊的情況是可以計算根號的值：

當 ${\sqrt {a}}$ 的 $a$ 是某一個數的平方時。

當 $a$ 是某一個整數的平方時，我們稱 $a$ 為完全平方數。

前21個完全平方數如下表：

$n$	0	1	2	3	4	5
$n^{2}$	0	1	4	9	16	25
$n$	6	7	8	9	10
$n^{2}$	36	49	64	81	100
$n$	11	12	13	14	15
$n^{2}$	121	144	169	196	225
$n$	16	17	18	19	20
$n^{2}$	256	289	324	361	400

計算出 ${\sqrt {a}}$ 的過程稱作 $a$ 開根號。如 $9$ 開根號可以得到 ${\sqrt {9}}={\sqrt {3^{2}}}=3$ 。

在這裏要再次提醒：開根號的答案必定為正數。

例題

例題 $3.$ 計算 ${\sqrt {\frac {144}{25}}}$ 之值。

解： ${\sqrt {\frac {144}{25}}}={\sqrt {\frac {12^{2}}{5^{2}}}}={\sqrt {({\frac {12}{5}})^{2}}}={\frac {12}{5}}$ 。

例題 $4.$ 計算 ${\sqrt {0.0289}}$ 之值。

解： ${\sqrt {0.0289}}={\sqrt {\frac {289}{10000}}}={\sqrt {\frac {17^{2}}{100^{2}}}}={\sqrt {({\frac {17}{100}})^{2}}}={\frac {17}{100}}$ 。

習題

習題 $3.$ 計算 ${\sqrt {\frac {361}{169}}}$ 之值。^{[答案 3]}

習題 $4.$ 計算 ${\sqrt {0.81}}$ 之值。^{[答案 4]}

問題與討論

設 $a$ 是一個正數，則 $a$ 與 ${\sqrt {a}}$ 何者比較大？

當 $a={\frac {9}{4}}$ 時，是 $a$ 比較大還是 ${\sqrt {a}}$ 比較大？
當 $a={\frac {1}{4}}$ 時，是 $a$ 比較大還是 ${\sqrt {a}}$ 比較大？
當 $a=1.44$ 時，是 $a$ 比較大還是 ${\sqrt {a}}$ 比較大？
當 $a=0.04$ 時，是 $a$ 比較大還是 ${\sqrt {a}}$ 比較大？

平方根

對於一個數 $a$ ，存在一個數 $x$ 滿足 $x^{2}=a$ ，則我們稱 $x$ 為 $a$ 的平方根。

如： $24^{2}=576$ ，所以 $24$ 是 $576$ 的平方根。

檢查一個數是不是另一數的平方根

要檢查 $x$ 是不是 $a$ 的平方根，只要實際計算 $x^{2}(=x\times x)$ 是否等於 $a$ 即可。

例題 $5.$ 檢驗 $-24$ 是否為 $576$ 的平方根。

解： $(-24)^{2}=(-24)\times (-24)=576$ ，所以 $-24$ 是 $576$ 的平方根。

習題

習題 $5.$ 檢驗 $0.2$ 是否為 $0.4$ 的平方根。^{[答案 5]}

習題 $6.$ 檢驗 $1{\frac {2}{3}}$ 是否為 $1{\frac {4}{9}}$ 的平方根。^{[答案 6]}

平方根的性質

因為對於一個正數 $a$ ， $({\sqrt {a}})^{2}=a$ 且 $(-{\sqrt {a}})^{2}=a$ ，所以正數 $a$ 有兩個平方根 ${\color {red}{\sqrt {a}}}$ 與 ${\color {blue}-{\sqrt {a}}}$ ，其中 ${\color {red}{\sqrt {a}}}$ 稱作 $a$ 的正平方根， ${\color {blue}-{\sqrt {a}}}$ 稱作 $a$ 的負平方根，兩數互為相反數。
- 特別的， $a$ 的兩個平方根可以記錄為 ${\color {red}\pm {\sqrt {a}}}$ 。
$0$ 只有一個平方根 $0$ 。
負數的平方根在國中階段是不存在的^{[註 9]}。

習題

習題 $7.$ 是非題，下列敘述是否正確？^{[答案 7]}

因為沒有一個整數、分數或小數的平方為 $15$ ，所以 $15$ 沒有平方根。
${\sqrt {81}}$ 的平方根為 $\pm 9$ 。
$0.4$ 的平方根為 $\pm 0.2$ 。
如果 $a$ 是 $17$ 的平方根，則 $-a$ 也是 $17$ 的平方根。

利用計算機計算根號

在許多計算機上有一個按鈕「 ${\sqrt {}}$ 」可以計算根號的近似值。要計算「 ${\sqrt {a}}$ 」的值有部分的計算機要依序輸入「 ${\sqrt {}}$ 」→「 $a$ 」，也有依序輸入「 $a$ 」→「 ${\sqrt {}}$ 」或「 $a$ 」→「 $=$ 」→「 ${\sqrt {}}$ 」的，你應該要依據自己的計算機性能而使用。