邊長為的正方形,我們可以很輕易地回答面積為

可是反過來問,面積為的正方形,它的邊長為何呢?

有面積為2的正方形嗎?

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拿出一張邊長為 公分的色紙,以垂直邊長的方向對摺再對摺兩次,將色紙打開如下圖(點擊可以放大)中間。兩條摺痕的交點為紅點,將四個角往中間紅點摺,形成下圖最右邊的四邊形 

 
利用摺紙製作面積為 的正方形(使用Geogebra製作)


請實際自己操作,你將能更加體會。

討論

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  1. 四邊形 為正方形。原因是什麼呢?[註 1]
  2. 四邊形 的面積是多少平方公分呢?[註 2]

結論

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有面積為 平方公分的正方形。可是它的邊長是多少公分呢?

面積為2的正方形,邊長是多少公分呢?

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討論

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用尺量量看,面積為 平方公分的正方形,它的邊長大約為多少公分?[註 3]

  • 算算看,這個數的平方是否為 呢?
  • 面積為 平方公分的正方形,它的邊長介於哪兩個一位小數公分之間?[註 4]

利用計算機算算看,在  之間有沒有一個數的平方是 

  • 如果沒有,則面積為 平方公分的正方形,它的邊長介於哪兩個兩位小數公分之間?[註 5]

利用計算機算算看,在  之間有沒有一個數的平方是 

  • 如果沒有,則面積為 平方公分的正方形,它的邊長介於哪兩個三位小數公分之間?[註 6]
  • 有沒有一個有限小數的平方剛好是 [註 7]

結論

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我們無法使用一個有限小數表示面積為 的正方形邊長。所以我們需要引進一個新的東西—「根號」來幫助我們表示這樣的邊長。

根號

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在國中的階段,我們利用正方形的邊長與面積來了解根號的意義[註 8]

我們定義一個面積為 的正方形,它的邊長為 

如面積為 的正方形,它的邊長為 

面積不可能為負數或0,不過我們特別定義 

重要概念: ,而且 

用這樣的概念,面積為 的正方形,它的邊長為 ,但是面積為 的正方形,它的邊長本身就是 ,所以事實上 

同樣的,面積為 其中 的正方形,它的邊長為 ,但是面積為 的正方形,它的邊長本身就是 ,而 ,所以 ,事實上

 

反過來說,邊長為 的正方形,它的面積為 

如邊長為 的正方形,它的面積為 

又因為正方形的面積公式為邊長的平方, ,所以我們得到:

 

例題

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例題 面積為 的正方形,它的邊長為多少?

解:面積為 的正方形,它的邊長為 

例題 邊長為 的正方形,它的面積為多少?

解:邊長為 的正方形,它的面積為 
  • 注意:在例題 中,邊長為 的正方形,它的面積為 ,但是面積為 的正方形實際的邊長為 ,所以 。也就是說,在第 式中,若 ,它的結果會是 相反數 ,即
 

習題

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習題 面積為 的正方形,它的邊長為多少?[答案 1]

習題 邊長為 的正方形,它的面積為多少?[答案 2]

完全平方數與開根號

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在之前提到,面積為 其中 的正方形,它的邊長為 。所以有一些特殊的情況是可以計算根號的值:

  是某一個數的平方時。

 是某一個整數的平方時,我們稱 完全平方數

前21個完全平方數如下表:

  0 1 2 3 4 5
  0 1 4 9 16 25
  6 7 8 9 10
  36 49 64 81 100
  11 12 13 14 15
  121 144 169 196 225
  16 17 18 19 20
  256 289 324 361 400

計算出 的過程稱作 開根號。如 開根號可以得到 

在這裡要再次提醒:開根號的答案必定為正數

例題

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例題 計算 之值。

解: 

例題 計算 之值。

解: 

習題

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習題 計算 之值。[答案 3]

習題 計算 之值。[答案 4]

問題與討論

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 是一個正數,則  何者比較大?

  1.  時,是 比較大還是 比較大?
  2.  時,是 比較大還是 比較大?
  3.  時,是 比較大還是 比較大?
  4.  時,是 比較大還是 比較大?

平方根

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對於一個數 ,存在一個數 滿足 ,則我們稱  平方根

如: ,所以  的平方根。

檢查一個數是不是另一數的平方根

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要檢查 是不是 的平方根,只要實際計算 是否等於 即可。

例題 檢驗 是否為 的平方根。

解: ,所以  的平方根。

習題

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習題 檢驗 是否為 的平方根。[答案 5]

習題 檢驗 是否為 的平方根。[答案 6]

平方根的性質

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  1. 因為對於一個正數   ,所以正數 有兩個平方根  ,其中 稱作 正平方根 稱作 負平方根,兩數互為相反數
    • 特別的, 的兩個平方根可以記錄為 
  2.  只有一個平方根 
  3. 負數的平方根在國中階段是不存在[註 9]

習題

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習題 是非題,下列敘述是否正確?[答案 7]

  1. 因為沒有一個整數、分數或小數的平方為 ,所以 沒有平方根。
  2.  的平方根為 
  3.  的平方根為 
  4. 如果  的平方根,則 也是 的平方根。

利用計算機計算根號

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在許多計算機上有一個按鈕「 」可以計算根號的近似值。要計算「 」的值有部分的計算機要依序輸入「 」→「 」,也有依序輸入「 」→「 」或「 」→「 」→「 」的,你應該要依據自己的計算機性能而使用。

如計算「 」依序按下「 」→「 」→「 」→「 」就可以得到近似值 

註解

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  1.  個角都是直角,而且 個邊長都是邊長為 公分的正方形之對角線,所以是正方形。
  2.  平方公分。
  3. 大約 公分或 公分。
  4.   公分之間。
  5.   公分之間。
  6.   公分之間。
  7. 沒有。
  8. 國中只學二次方根。多次方根請見高中數學指數單元學習。
  9. 複數的世界裡,負數的平方根是存在的。

習題答案

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  1.  
  2.  
  3.  
  4.   
  5. 不是
  6. 不是
  7. 1、2、3為錯誤的,4是正確的。

參見

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