國中數學/根號
邊長為的正方形,我們可以很輕易地回答面積為。
可是反過來問,面積為的正方形,它的邊長為何呢?
有面積為2的正方形嗎?
编辑拿出一張邊長為 公分的色紙,以垂直邊長的方向對摺再對摺兩次,將色紙打開如下圖(點擊可以放大)中間。兩條摺痕的交點為紅點,將四個角往中間紅點摺,形成下圖最右邊的四邊形 。
請實際自己操作,你將能更加體會。
討論
编辑結論
编辑有面積為 平方公分的正方形。可是它的邊長是多少公分呢?
面積為2的正方形,邊長是多少公分呢?
编辑討論
编辑用尺量量看,面積為 平方公分的正方形,它的邊長大約為多少公分?[註 3]
利用計算機算算看,在 到 之間有沒有一個數的平方是 ?
- 如果沒有,則面積為 平方公分的正方形,它的邊長介於哪兩個兩位小數公分之間?[註 5]
利用計算機算算看,在 到 之間有沒有一個數的平方是 ?
結論
编辑我們無法使用一個有限小數表示面積為 的正方形邊長。所以我們需要引進一個新的東西—「根號」來幫助我們表示這樣的邊長。
根號
编辑在國中的階段,我們利用正方形的邊長與面積來了解根號的意義[註 8]。
我們定義一個面積為 的正方形,它的邊長為 。
如面積為 的正方形,它的邊長為 。
面積不可能為負數或0,不過我們特別定義 。
重要概念: ,而且
用這樣的概念,面積為 的正方形,它的邊長為 ,但是面積為 的正方形,它的邊長本身就是 ,所以事實上 。
同樣的,面積為 其中 的正方形,它的邊長為 ,但是面積為 的正方形,它的邊長本身就是 ,而 ,所以 ,事實上
反過來說,邊長為 的正方形,它的面積為 。
如邊長為 的正方形,它的面積為 。
又因為正方形的面積公式為邊長的平方, ,所以我們得到:
例題
编辑例題 面積為 的正方形,它的邊長為多少?
解:面積為 的正方形,它的邊長為 。
例題 邊長為 的正方形,它的面積為多少?
解:邊長為 的正方形,它的面積為 。
- 注意:在例題 中,邊長為 的正方形,它的面積為 ,但是面積為 的正方形實際的邊長為 ,所以 。也就是說,在第 式中,若 ,它的結果會是 的相反數 ,即
習題
编辑習題 面積為 的正方形,它的邊長為多少?[答案 1]
習題 邊長為 的正方形,它的面積為多少?[答案 2]
完全平方數與開根號
编辑在之前提到,面積為 其中 的正方形,它的邊長為 。所以有一些特殊的情況是可以計算根號的值:
當 的 是某一個數的平方時。
當 是某一個整數的平方時,我們稱 為完全平方數。
前21個完全平方數如下表:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | |
6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ||
36 | 49 | 64 | 81 | 100 | ||
11 | 12 | 13 | 14 | 15 | ||
121 | 144 | 169 | 196 | 225 | ||
16 | 17 | 18 | 19 | 20 | ||
256 | 289 | 324 | 361 | 400 |
計算出 的過程稱作 開根號。如 開根號可以得到 。
在這裡要再次提醒:開根號的答案必定為正數。
例題
编辑例題 計算 之值。
解: 。
例題 計算 之值。
解: 。
習題
编辑習題 計算 之值。[答案 3]
習題 計算 之值。[答案 4]
問題與討論
编辑設 是一個正數,則 與 何者比較大?
- 當 時,是 比較大還是 比較大?
- 當 時,是 比較大還是 比較大?
- 當 時,是 比較大還是 比較大?
- 當 時,是 比較大還是 比較大?
平方根
编辑對於一個數 ,存在一個數 滿足 ,則我們稱 為 的平方根。
如: ,所以 是 的平方根。
檢查一個數是不是另一數的平方根
编辑要檢查 是不是 的平方根,只要實際計算 是否等於 即可。
例題 檢驗 是否為 的平方根。
解: ,所以 是 的平方根。
習題
编辑習題 檢驗 是否為 的平方根。[答案 5]
習題 檢驗 是否為 的平方根。[答案 6]
平方根的性質
编辑- 因為對於一個正數 , 且 ,所以正數 有兩個平方根 與 ,其中 稱作 的正平方根, 稱作 的負平方根,兩數互為相反數。
- 特別的, 的兩個平方根可以記錄為 。
- 只有一個平方根 。
- 負數的平方根在國中階段是不存在的[註 9]。
習題
编辑習題 是非題,下列敘述是否正確?[答案 7]
- 因為沒有一個整數、分數或小數的平方為 ,所以 沒有平方根。
- 的平方根為 。
- 的平方根為 。
- 如果 是 的平方根,則 也是 的平方根。
利用計算機計算根號
编辑在許多計算機上有一個按鈕「 」可以計算根號的近似值。要計算「 」的值有部分的計算機要依序輸入「 」→「 」,也有依序輸入「 」→「 」或「 」→「 」→「 」的,你應該要依據自己的計算機性能而使用。
如計算「 」依序按下「 」→「 」→「 」→「 」就可以得到近似值 。