國中數學/根號

邊長為$2$的正方形，我們可以很輕易地回答面積為$4$。

可是反過來問，面積為$2$的正方形，它的邊長為何呢？

有面積為2的正方形嗎？

拿出一張邊長為$2$公分的色紙，以垂直邊長的方向對摺再對摺兩次，將色紙打開如下圖(點擊可以放大)中間。兩條摺痕的交點為紅點，將四個角往中間紅點摺，形成下圖最右邊的四邊形$ABCD$。

利用摺紙製作面積為$2$的正方形(使用Geogebra製作)

請實際自己操作，你將能更加體會。

討論

1. 四邊形$ABCD$為正方形。原因是什麼呢？
2. 四邊形$ABCD$的面積是多少平方公分呢？

結論

有面積為$2$平方公分的正方形。可是它的邊長是多少公分呢？

面積為2的正方形，邊長是多少公分呢?

討論

用尺量量看，面積為$2$平方公分的正方形，它的邊長大約為多少公分？

• 算算看，這個數的平方是否為$2$呢？
• 面積為$2$平方公分的正方形，它的邊長介於哪兩個一位小數公分之間？

利用計算機算算看，在$1.41$到$1.49$之間有沒有一個數的平方是$2$？

• 如果沒有，則面積為$2$平方公分的正方形，它的邊長介於哪兩個兩位小數公分之間？

利用計算機算算看，在$1.411$到$1.419$之間有沒有一個數的平方是$2$？

• 如果沒有，則面積為$2$平方公分的正方形，它的邊長介於哪兩個三位小數公分之間？
• 有沒有一個有限小數的平方剛好是$2$？

結論

我們無法使用一個有限小數表示面積為$2$的正方形邊長。所以我們需要引進一個新的東西—「根號」來幫助我們表示這樣的邊長。

根號

在國中的階段，我們利用正方形的邊長與面積來了解根號的意義。

我們定義一個面積為$a$的正方形，它的邊長為${\sqrt {a}}$。

如面積為$2$的正方形，它的邊長為${\sqrt {2}}$。

面積不可能為負數或0，不過我們特別定義${\sqrt {0}}=0$。

重要概念：${\color {red}{\sqrt {a}}\geq 0}$，而且${\color {red}a\geq 0}$

用這樣的概念，面積為$4$的正方形，它的邊長為${\sqrt {4}}$，但是面積為$4$的正方形，它的邊長本身就是$2$，所以事實上${\sqrt {4}}=2$。

同樣的，面積為$x^{2}($其中$x>0)$的正方形，它的邊長為${\sqrt {x^{2}}}$，但是面積為$x^{2}$的正方形，它的邊長本身就是$x$，而$0^{2}=0$，所以${\sqrt {0}}={\sqrt {0^{2}}}=0$，事實上

${\sqrt {x^{2}}}=x(x\geq 0)\cdots (1)$

反過來說，邊長為${\sqrt {a}}$的正方形，它的面積為$a$。

如邊長為${\sqrt {3}}$的正方形，它的面積為$3$。

又因為正方形的面積公式為邊長的平方，$({\sqrt {0}})^{2}=0^{2}=0$，所以我們得到：

$({\sqrt {a}})^{2}=a(a\geq 0)\cdots (2)$

例題

例題$1.$面積為$1.7$的正方形，它的邊長為多少？

解：面積為$1.7$的正方形，它的邊長為${\color {red}{\sqrt {1.7}}}$。

例題$2.$邊長為${\sqrt {(-5)^{2}}}$的正方形，它的面積為多少？

解：邊長為${\sqrt {(-5)^{2}}}$的正方形，它的面積為${\color {red}(-5)^{2}}=25$。

• 注意：在例題$2.$中，邊長為${\sqrt {(-5)^{2}}}$的正方形，它的面積為$25$，但是面積為$25$的正方形實際的邊長為$5$，所以${\sqrt {(-5)^{2}}}=5$。也就是說，在第$(1)$式中，若$x<0$，它的結果會是$x$的相反數$-x$，即

${\sqrt {x^{2}}}=-x(x<0)\cdots (3)$

習題

習題$1.$面積為${\frac {15}{13}}$的正方形，它的邊長為多少？

習題$2.$邊長為${\sqrt {3.9}}$的正方形，它的面積為多少？

完全平方數與開根號

在之前提到，面積為$x^{2}($其中$x>0)$的正方形，它的邊長為${\sqrt {x^{2}}}=x$。所以有一些特殊的情況是可以計算根號的值：

當${\sqrt {a}}$的$a$是某一個數的平方時。

當$a$是某一個整數的平方時，我們稱$a$為完全平方數。

前21個完全平方數如下表：

$n$	0	1	2	3	4	5
$n^{2}$	0	1	4	9	16	25
$n$	6	7	8	9	10
$n^{2}$	36	49	64	81	100
$n$	11	12	13	14	15
$n^{2}$	121	144	169	196	225
$n$	16	17	18	19	20
$n^{2}$	256	289	324	361	400

計算出${\sqrt {a}}$的過程稱作$a$開根號。如$9$開根號可以得到${\sqrt {9}}={\sqrt {3^{2}}}=3$。

在這裡要再次提醒：開根號的答案必定為正數。

例題

例題$3.$計算${\sqrt {\frac {144}{25}}}$之值。

解：${\sqrt {\frac {144}{25}}}={\sqrt {\frac {12^{2}}{5^{2}}}}={\sqrt {({\frac {12}{5}})^{2}}}={\frac {12}{5}}$。

例題$4.$計算${\sqrt {0.0289}}$之值。

解：${\sqrt {0.0289}}={\sqrt {\frac {289}{10000}}}={\sqrt {\frac {17^{2}}{100^{2}}}}={\sqrt {({\frac {17}{100}})^{2}}}={\frac {17}{100}}$。

習題

習題$3.$計算${\sqrt {\frac {361}{169}}}$之值。

習題$4.$計算${\sqrt {0.81}}$之值。

問題與討論

設$a$是一個正數，則$a$與${\sqrt {a}}$何者比較大？

1. 當$a={\frac {9}{4}}$時，是$a$比較大還是${\sqrt {a}}$比較大？
2. 當$a={\frac {1}{4}}$時，是$a$比較大還是${\sqrt {a}}$比較大？
3. 當$a=1.44$時，是$a$比較大還是${\sqrt {a}}$比較大？
4. 當$a=0.04$時，是$a$比較大還是${\sqrt {a}}$比較大？

平方根

對於一個數$a$，存在一個數$x$滿足$x^{2}=a$，則我們稱$x$為$a$的平方根。

如：$24^{2}=576$，所以$24$是$576$的平方根。

檢查一個數是不是另一數的平方根

要檢查$x$是不是$a$的平方根，只要實際計算$x^{2}(=x\times x)$是否等於$a$即可。

例題$5.$檢驗$-24$是否為$576$的平方根。

解：$(-24)^{2}=(-24)\times (-24)=576$，所以$-24$是$576$的平方根。

習題

習題$5.$檢驗$0.2$是否為$0.4$的平方根。

習題$6.$檢驗$1{\frac {2}{3}}$是否為$1{\frac {4}{9}}$的平方根。

平方根的性質

1. 因為對於一個正數$a$，$({\sqrt {a}})^{2}=a$且$(-{\sqrt {a}})^{2}=a$，所以正數$a$有兩個平方根${\color {red}{\sqrt {a}}}$與${\color {blue}-{\sqrt {a}}}$，其中${\color {red}{\sqrt {a}}}$稱作$a$的正平方根，${\color {blue}-{\sqrt {a}}}$稱作$a$的負平方根，兩數互為相反數。
   • 特別的，$a$的兩個平方根可以記錄為${\color {red}\pm {\sqrt {a}}}$。
2. $0$只有一個平方根$0$。
3. 負數的平方根在國中階段是不存在的。

習題

習題$7.$是非題，下列敘述是否正確？

1. 因為沒有一個整數、分數或小數的平方為$15$，所以$15$沒有平方根。
2. ${\sqrt {81}}$的平方根為$\pm 9$。
3. $0.4$的平方根為$\pm 0.2$。
4. 如果$a$是$17$的平方根，則$-a$也是$17$的平方根。

利用計算機計算根號

在許多計算機上有一個按鈕「${\sqrt {}}$」可以計算根號的近似值。要計算「${\sqrt {a}}$」的值有部分的計算機要依序輸入「${\sqrt {}}$」→「$a$」，也有依序輸入「$a$」→「${\sqrt {}}$」或「$a$」→「$=$」→「${\sqrt {}}$」的，你應該要依據自己的計算機性能而使用。

如計算「${\sqrt {\frac {4}{7}}}$」依序按下「${\sqrt {}}$」→「$4$」→「$\div$」→「$7$」就可以得到近似值$0.755928946$。

參見

• 根式
• 指數(高中數學)
• 複數(高中數學)