基礎力學

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力學

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第一章：運動的描述

1.1 位置的確定

1.2 運動的描述

1.3 直線運動

1.4 平面上的曲線運動

1.5 其他坐標系

1.6 相對運動

1.7 練習題

第二章：動量與角動量

2.1 衝量、動量與動量定理

2.2 動量守恆定律

2.3 角動量與角動量定理

2.4 角動量守恆定律

2.5 練習題

第三章：牛頓運動定律及應用

3.1 牛頓運動定律

3.2 力的概念

3.3 常見的作用力

3.4 伽利略相對性原理

3.5 非慣性系與慣性力

3.6 量綱

3.7 受力分析

3.8 練習題

第四章：功與能

4.1 功與能

4.2 動能定理

4.3 勢能

4.4 機械能守恆定律

4.5 碰撞

4.6 練習題

第五章：剛體的運動

5.1 剛體的概念

5.2 剛體定軸轉動

5.3 轉動慣量的計算

5.4 定軸轉動的運動規律

5.5 平面運動

5.6 角動量與角速度

5.7 陀螺的進動

5.8 練習題

引言

物理學研究世界萬物的運動規律，物理學中兩個基本的問題是：如何描述世界在某一時刻的狀態，世界的狀態隨著時間的流逝而變成什麼樣子。力學所關心的就是世間萬物機械運動的規律，或者說怎樣描述物體的位置，以及它們位置怎樣隨時間而改變。本書的第一章解決前一個問題，第二章解決第二個問題。有了這兩章的基礎，我們就打好了理論的基礎，接下來的第三章是一些重要的實例，而第四章會從前面的基礎理論出發推導出一些更深刻結果。

力

力的概念

什麼是力？這個問題不好解釋清楚，不過有一個可以死記一下的定義：

力：力是物體間的相互作用。

力是物體間的相互作用，因此，力不能離開物體而獨立存在。一個力涉及到施力物體和受力物體，其中施力物體是主動給予力的物體，而受力物體則是被動接受力的物體。不過，根據牛頓第三定律，施力物體同時也反作用於受力物體，而且做用力的大小相等方向相反（不再多說了，以後會再說到），因而受力物體同時也是施力物體，反之亦然。

力對物體有兩種作用效果，一是使物體發生形變，如壓縮彈簧；二是改變物體的運動狀態，比方說球停在地上，你踢它一腳，它就飛了。

力有三個要素：大小、方向、作用點。其中任何一個要素的改變，對力的作用結果都有影響。其中前兩個好理解，第三個可以舉一個例子：比方說，靠近門軸的地方推門費勁大，遠離門軸的地方推門費力小。力若缺少這三點中的其中一個便不是一個完整的力。

幾種常見的力

萬有引力

1687年時，牛頓在《自然哲學的數學原理》一書中講解到：任何兩個物體之間都存在相互吸引作用。物體之間的這種吸引作用普遍存在於宇宙萬物之間，稱為萬有引力。其公式為：

${\overrightarrow {F}}=G{Mm \over r^{3}}{\overrightarrow {r}}$

重力

重力：地球對物體引力的一個分力稱為重力。

蘋果樹上的蘋果為什麼回落下來呢？因為重力。為什麼你跳得再高還得回到地面上呢？還是因為重力。 地面上的一切物體都受到重力，重力的方向豎直向下（事實上豎直向下由當地重力方向定義），即使將地球視作正球體，嚴格來說，重力也並不指向地心（你可能要問究竟為什麼，實際上這是由於地球自轉，萬有引力有一部分用來產生向心加速度了，這個稍後會解釋）。 地面上同一點處物體受到重力G的大小跟物體的質量m成正比，用關係式G=mg表示。不同地點受到的重力不同，因為各個地點的重力加速度不同。而重力加速只會越來越快。

彈性力

彈性物體因外力產生彈性形變後的恢復力。
實驗表明在彈性範圍內彈力的大小遵循胡克定律${\vec {f}}=-k\Delta {\vec {r}}$.

摩擦力

兩個互相接觸的物體，當它們發生相對運動或有相對運動趨勢時，就會在接觸面上產生一種阻礙相對運動的力，這種力就叫做摩擦力。摩擦力在本質上是由電磁力引起的。 條件： 1.兩物體相互接觸. 2.兩物體相互擠壓，發生形變，有彈力. 3.兩物體發生相對運動或相對趨勢. 4.兩接觸面不光滑. 四個條件缺一不可。 摩擦力分為：

• 靜摩擦力 （壓力越大，接觸面越粗糙，靜摩擦力越大）
• 滑動摩擦力
• 滾動摩擦力

多維的向量

一維：似弦運動的直線 二維：由二數數據組成，在平面體一點 三維：通常以x,y,z表達，以上提及 四維：同一時間界面以不同時間發生，形成光錐。

發展歷史

人們在日常勞動中使用槓桿、打水器具等等，逐漸認識物體受力，及平衡的情況。古希臘時代阿基米德曾對槓桿平衡、物體重心位置、物體在水中受到的浮力等，作了系統研究，確定它們的基本規律，初步奠定了靜力學，即平衡理論的基礎，古希臘科學家亞里斯多德也提出作用力造成運動的主張，即物體不受力，必將停止。

自文藝復興之後，科學革命興起，伽利略的自由落體運動規律，以及牛頓的三大運動定律皆奠定了動力學的基礎。力學從此開始成為一門科學。此後彈性力學和流體力學基本方程的建立，使得力學逐漸脫離物理學而成為獨立學科。到20世紀初，在流體力學和固體力學中，實際應用跟數學理論的互相結合，使力學蓬勃起來，創立了許多新理論，同時也解決了工程技術中大量關鍵性問題。

經典力學及量子力學

力學主要可分為經典力學及量子力學。

若以發現的時間來看，經典力學較早被發現，啟源於牛頓的三大運動定律，量子力學則是20世紀初才由許多科學家所創立。

經典力學主要研究低速或靜止的宏觀物體。克卜勒、伽利略，尤其是牛頓是經典力學的奠基人。

量子力學應用範圍較廣，不過主要是針對微觀的物質。根據對應原理，量子數相當大的量子系統可以與經典力學中的行為模式相對應，使得量子力學及經典力學不會相衝突。量子力學可以解釋及預測分子、原子及基本粒子的許多行為。不過針對一般常見的巨觀系統，若使用量子力學會複雜到無法處理粒子間的交互作用，因此，巨觀系統透過經典力學的方式處理仍較為恰當。

曲線運動

運動軌跡為曲線的運動。

拋體運動

拋體運動，概念：對物體以一定的初速度向空中拋出，僅在重力作用下物體所做的運動叫做拋體運動(projectile motion)，它的初速度Vo不為0。拋體運動又分為豎直上拋運動、豎直下拋運動、平拋運動和斜拋運動

圓周運動

在物理學中，圓周運動是在圓圈上轉圈：一個圓形路徑或軌跡。當考慮一件物體的圓周運動時，物體的體積大小會被忽略，並看成一點。這個點即被稱作質點

圓周運動的例子有：一個人造衛星跟隨其軌跡轉動、用繩子連接著一塊石頭並打圈揮動、一架賽車在賽道上轉彎、一粒電子垂直地進入一個均勻的磁場、一個齒輪在機器中的轉動（其表面和內部任一點）。

圓周運動以向心力提供運動物體所須的加速度。這向心力把運動物體拉向圓形軌跡的中心點。如果沒有向心力，那麼物體會跟隨牛頓第一定律慣性地進行直線運動。儘管物體速率不變，但物體作圓周運動時仍然是有被加速的，因為物體的速度向量是不停地改變方向。

機械振動與機械波

簡諧振子

在理想彈簧的一端放上一個質點就構成一個簡諧振子。下面我們對這個問題作一些分析。 當彈簧處在其自然長度時，質點不受力，也就是說，如果質點在某一時刻$t$處在此處，而且速度是0，那麼它將一直靜止在這裡。下面我們考慮它偏離這個平衡位置的情形，顯然，無論它向哪一側偏離，彈簧的力都傾向於把它拉回平衡位置，並且它離平衡位置越遠，這個回復力就越大，因此這個質點不能離開平衡位置太遠，而每當它回到平衡位置時，由於慣性，它會繼續沿著速度的方向運動，而不能立刻停下來，同時由於回復力的作用逐漸減速，直到速度為0，再向平衡位置加速靠近，直到再次通過平衡位置，如此往復運動。定量計算如下。

胡克定律： $f=-kx,$,

牛頓第二定律： $f=ma=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},$,

二者聯立： ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {k}{m}}x$.

其解為： $x=A\cos(\omega t+\phi )$,

其中： $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$.