基礎力學

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基礎力學

本書致力於用高等數學的語言比較系統、細緻、簡練、嚴格地介紹經典力學的內容，如果您更偏愛不使用微積分的語言，歡迎您移步至高中物理。現在本書的內容還很不完善，因此希望對此有了解的人能夠為編輯做出貢獻，不管是撰寫某一章節的內容，添加一些圖片，修正一些錯誤，添加一些更為深入的解釋，或者是增加一些練習題。

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引言

物理學研究世界萬物的運動規律，物理學中兩個基本的問題是：如何描述世界在某一時刻的狀態，世界的狀態隨著時間的流逝而變成什麼樣子。力學所關心的就是世間萬物機械運動的規律，或者說怎樣描述物體的位置，以及它們位置怎樣隨時間而改變。本書的第一章解決前一個問題，第二章解決第二個問題。有了這兩章的基礎，我們就打好了理論的基礎，接下來的第三章是一些重要的實例，而第四章會從前面的基礎理論出發推導出一些更深刻結果。

力

力的概念

什麼是力？這個問題不好解釋清楚，不過有一個可以死記一下的定義：

力：力是物體間的相互作用。

力是物體間的相互作用，因此，力不能離開物體而獨立存在。一個力涉及到施力物體和受力物體，其中施力物體是主動給予力的物體，而受力物體則是被動接受力的物體。不過，根據牛頓第三定律，施力物體同時也反作用於受力物體，而且做用力的大小相等方向相反（不再多說了，以後會再說到），因而受力物體同時也是施力物體，反之亦然。

力對物體有兩種作用效果，一是使物體發生形變，如壓縮彈簧；二是改變物體的運動狀態，比方說球停在地上，你踢它一腳，它就飛了。

力有三個要素：大小、方向、作用點。其中任何一個要素的改變，對力的作用結果都有影響。其中前兩個好理解，第三個可以舉一個例子：比方說，靠近門軸的地方推門費勁大，遠離門軸的地方推門費力小。力若缺少這三點中的其中一個便不是一個完整的力。

幾種常見的力

萬有引力

1687年時，牛頓在《自然哲學的數學原理》一書中講解到：任何兩個物體之間都存在相互吸引作用。物體之間的這種吸引作用普遍存在於宇宙萬物之間，稱為萬有引力。其公式為：

${\overrightarrow {F}}=G{Mm \over r^{3}}{\overrightarrow {r}}$

重力

重力：地球對物體引力的一個分力稱為重力。

蘋果樹上的蘋果為什麼回落下來呢？因為重力。為什麼你跳得再高還得回到地面上呢？還是因為重力。地面上的一切物體都受到重力，重力的方向豎直向下（事實上豎直向下由當地重力方向定義），即使將地球視作正球體，嚴格來說，重力也並不指向地心（你可能要問究竟為什麼，實際上這是由於地球自轉，萬有引力有一部分用來產生向心加速度了，這個稍後會解釋）。地面上同一點處物體受到重力G的大小跟物體的質量m成正比，用關係式G=mg表示。不同地點受到的重力不同，因為各個地點的重力加速度不同。而重力加速只會越來越快。

彈性力

彈性物體因外力產生彈性形變後的恢復力。
實驗表明在彈性範圍內彈力的大小遵循胡克定律 ${\vec {f}}=-k\Delta {\vec {r}}$ .

摩擦力

兩個互相接觸的物體，當它們發生相對運動或有相對運動趨勢時，就會在接觸面上產生一種阻礙相對運動的力，這種力就叫做摩擦力。摩擦力在本質上是由電磁力引起的。條件： 1.兩物體相互接觸. 2.兩物體相互擠壓，發生形變，有彈力. 3.兩物體發生相對運動或相對趨勢. 4.兩接觸面不光滑. 四個條件缺一不可。摩擦力分為：

靜摩擦力（壓力越大，接觸面越粗糙，靜摩擦力越大）
滑動摩擦力
滾動摩擦力

多維的向量

一維：似弦運動的直線二維：由二數數據組成，在平面體一點三維：通常以x,y,z表達，以上提及四維：同一時間界面以不同時間發生，形成光錐。

發展歷史

人們在日常勞動中使用槓桿、打水器具等等，逐漸認識物體受力，及平衡的情況。古希臘時代阿基米德曾對槓桿平衡、物體重心位置、物體在水中受到的浮力等，作了系統研究，確定它們的基本規律，初步奠定了靜力學，即平衡理論的基礎，古希臘科學家亞里斯多德也提出作用力造成運動的主張，即物體不受力，必將停止。

自文藝復興之後，科學革命興起，伽利略的自由落體運動規律，以及牛頓的三大運動定律皆奠定了動力學的基礎。力學從此開始成為一門科學。此後彈性力學和流體力學基本方程的建立，使得力學逐漸脫離物理學而成為獨立學科。到20世紀初，在流體力學和固體力學中，實際應用跟數學理論的互相結合，使力學蓬勃起來，創立了許多新理論，同時也解決了工程技術中大量關鍵性問題。

經典力學及量子力學

力學主要可分為經典力學及量子力學。

若以發現的時間來看，經典力學較早被發現，啟源於牛頓的三大運動定律，量子力學則是20世紀初才由許多科學家所創立。

經典力學主要研究低速或靜止的宏觀物體。克卜勒、伽利略，尤其是牛頓是經典力學的奠基人。

量子力學應用範圍較廣，不過主要是針對微觀的物質。根據對應原理，量子數相當大的量子系統可以與經典力學中的行為模式相對應，使得量子力學及經典力學不會相衝突。量子力學可以解釋及預測分子、原子及基本粒子的許多行為。不過針對一般常見的巨觀系統，若使用量子力學會複雜到無法處理粒子間的交互作用，因此，巨觀系統透過經典力學的方式處理仍較為恰當。

曲線運動

運動軌跡為曲線的運動。

拋體運動

拋體運動，概念：對物體以一定的初速度向空中拋出，僅在重力作用下物體所做的運動叫做拋體運動(projectile motion)，它的初速度Vo不為0。拋體運動又分為豎直上拋運動、豎直下拋運動、平拋運動和斜拋運動

圓周運動

在物理學中，圓周運動是在圓圈上轉圈：一個圓形路徑或軌跡。當考慮一件物體的圓周運動時，物體的體積大小會被忽略，並看成一點。這個點即被稱作質點

圓周運動的例子有：一個人造衛星跟隨其軌跡轉動、用繩子連接著一塊石頭並打圈揮動、一架賽車在賽道上轉彎、一粒電子垂直地進入一個均勻的磁場、一個齒輪在機器中的轉動（其表面和內部任一點）。

圓周運動以向心力提供運動物體所須的加速度。這向心力把運動物體拉向圓形軌跡的中心點。如果沒有向心力，那麼物體會跟隨牛頓第一定律慣性地進行直線運動。儘管物體速率不變，但物體作圓周運動時仍然是有被加速的，因為物體的速度向量是不停地改變方向。

機械振動與機械波

簡諧振子

在理想彈簧的一端放上一個質點就構成一個簡諧振子。下面我們對這個問題作一些分析。當彈簧處在其自然長度時，質點不受力，也就是說，如果質點在某一時刻 $t$ 處在此處，而且速度是0，那麼它將一直靜止在這裡。下面我們考慮它偏離這個平衡位置的情形，顯然，無論它向哪一側偏離，彈簧的力都傾向於把它拉回平衡位置，並且它離平衡位置越遠，這個回復力就越大，因此這個質點不能離開平衡位置太遠，而每當它回到平衡位置時，由於慣性，它會繼續沿著速度的方向運動，而不能立刻停下來，同時由於回復力的作用逐漸減速，直到速度為0，再向平衡位置加速靠近，直到再次通過平衡位置，如此往復運動。定量計算如下。