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本章節要來談談數學上很常使用的基本式子：多項式(polynomial)，並且談談它們的加減運算模式。它們的乘除模式留到下一節1-3 多項式的乘除運算講解。
多項式
編輯在一個式子中，若文字符號(通常是 )與數字只利用加法與乘法做運算而得，那這樣的式子我們稱為多項式。例如： 是由 得到的式子，所以它是一個多項式； 是由 得到的式子，它也是一個多項式。而依此定義，事實上 也是多項式，不過在中學階段，只會學習含有一個文字符號的多項式[註 1]。
多項式的判別
編輯- 多項式是一個式子，所以多項式本身沒有等號。
- 不是多項式。
- 文字符號不能出現在分母，因為它用到了除法[註 2]。可是文字符號可以出現在分子，因為我們在七年級上學期3-1 一元一次式有提到 ，它是一個乘法運算。
- 、 不是多項式，但 、 是。
- 文字符號不能出現在絕對值內。但如果絕對值內沒有未知數的話也是可以的。
- 、 不是多項式，但 是多項式。
- 文字符號不能出現在次方。另外未知數的次方要是正整數或 。
- 、 不是多項式。
- 文字符號不能出現在根號內[註 3]。
- 不是多項式。
多項式的名詞
編輯接下來介紹多項式的相關名詞。在底下的介紹若沒有特別說明，我們都是以多項式 為例子。
- 項：多項式當中，使用加號（＋）分開的各部分。
- 在例子 中， ，所以 有三個項： 、 、 。
- 對於項的辨識，作者建議學生將前面的「運算符號( 與 )」都視為「性質符號」。對於這兩個名詞陌生的同學，請參考國中七年級 1-1 正數與負數的內容。
- 單項式(monomial)：只有一個項的多項式[註 4]。
- 、 、 都是單項式。
- 次數：多項式的所有項當中，文字符號次數最大的數字。
- 在例子 中，所有項次數最大的是 ，它是二次方，所以次數為 。
- 次數會記錄為 (多項式)，如 。
- 係數：每一項出現的數字部分。
- 在例子 中，各項係數為 、 、 。
- 各個項的係數可以直接稱呼「 的幾次方項係數」，也可以省略稱呼為「幾次項係數」。如 的 項係數是 ，也可以說二次項係數為 。
- 沒有文字符號的項稱作常數項(constant term)。
- 若多項式沒有某一項，則稱該項係數為 。如 沒有 項，所以 項係數是 。
- 常數多項式：任何一個數字。如： 、 、 、 、圓周率 。
- 【課外補充】其中如果不是 的任意數，我們稱作零次多項式；若此多項式為 ，我們稱作零多項式。
- 升冪排列：將多項式的項依照次方數由小到大排列。
- 降冪排列：將多項式的項依照次方數由大到小排列。是最常使用的排列方式。
- 為降冪排列，因為次數從 降到 ；而此多項式的升冪排列為 。
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例題 有一個多項式為 ，請問：
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解
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隨堂練習
有一個多項式為 ，請問：
- 此多項式總共有幾項？
- 此多項式 項係數是多少？
- 此多項式為幾次多項式？
- 此多項式的升冪排列與降冪排列為何？[解答 1]
多項式的加法
編輯多項式的加法運算方式就是同類項合併，搭配去括號規則，可以使用橫式計算也可以使用直式計算。
而介紹同類項合併之前，介紹一下何謂「同類項」：
同類項：兩個單項式中，其未知數相同，未知數的次方數也相同。
根據這個定義，以下是幾個例子：
- 與 不是同類項，因為它們不是單項式。
- 與 不是同類項，因為未知數不相同。
- 與 不是同類項，因為未知數的次方數不相同。
- 與 是同類項，因為未知數相同，未知數的次方數也相同。
- 與 不是同類項，因為雖然未知數相同，但未知數 的次方數不相同， 的次方數也不相同。
- 任意兩個常數都是同類項，如圓周率 與 。
接下來就是同類項合併的主要公式了，這裡的 與 都是常數， 可以是任意形式的單項式(只要是相同的即可)：
底下來做一個練習：
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例題 化簡下列各式： |
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解
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![{\displaystyle (-7y)+12y=[(-7)+12]y=5y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3982d4074a8c179bd76c04fc4dc287a5cb700c1f)
![{\displaystyle (-11a^{2}b^{3})-5a^{2}b^{3}=[(-11)-5]a^{2}b^{3}=-16a^{2}b^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96024d2abec5c3da39c6668039d6703ff36387e4)
在上面的例題 的第1題中， ；第2題中， 。
隨堂練習
化簡下列各式：
接下來練習比較複雜的例子：
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例題 化簡下列各式，答案使用降冪排列表示： |
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解
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![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}1.&2y^{2}+3y-4+5y^{2}+6y+7\\&=(2+5)y^{2}+(3+6)y+[(-4)+7]\\&=7y^{2}+9y+3\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbc6cbc63063e0b85262ee129e63927a360db2d5)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}2.&7x-8x^{2}+10x-9x^{2}+2-7\\&=[(-8)-9]x^{2}+(7+10)x+(2-7)\\&=-17x^{2}+17x-5\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faf2de094cdb670f0cc589577c929de24ba567ab)
隨堂練習
化簡下列各式：
