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本章節要來談談數學上很常使用的基本式子:多項式(polynomial),並且談談它們的加減運算模式。它們的乘除模式留到下一節1-3 多項式的乘除運算講解。
多項式
編輯在一個式子中,若文字符號(通常是 )與數字只利用加法與乘法做運算而得,那這樣的式子我們稱為多項式。例如: 是由 得到的式子,所以它是一個多項式; 是由 得到的式子,它也是一個多項式。而依此定義,事實上 也是多項式,不過在中學階段,只會學習含有一個文字符號的多項式[註 1]。
多項式的判別
編輯- 多項式是一個式子,所以多項式本身沒有等號。
- 不是多項式。
- 文字符號不能出現在分母,因為它用到了除法[註 2]。可是文字符號可以出現在分子,因為我們在七年級上學期3-1 一元一次式有提到 ,它是一個乘法運算。
- 、 不是多項式,但 、 是。
- 文字符號不能出現在絕對值內。但如果絕對值內沒有未知數的話也是可以的。
- 、 不是多項式,但 是多項式。
- 文字符號不能出現在次方。另外未知數的次方要是正整數或 。
- 、 不是多項式。
- 文字符號不能出現在根號內[註 3]。
- 不是多項式。
多項式的名詞
編輯接下來介紹多項式的相關名詞。在底下的介紹若沒有特別說明,我們都是以多項式 為例子。
- 項:多項式當中,使用加號(+)分開的各部分。
- 在例子 中, ,所以 有三個項: 、 、 。
- 對於項的辨識,作者建議學生將前面的「運算符號( 與 )」都視為「性質符號」。對於這兩個名詞陌生的同學,請參考國中七年級 1-1 正數與負數的內容。
- 單項式(monomial):只有一個項的多項式[註 4]。
- 、 、 都是單項式。
- 次數:多項式的所有項當中,文字符號次數最大的數字。
- 在例子 中,所有項次數最大的是 ,它是二次方,所以次數為 。
- 次數會記錄為 (多項式),如 。
- 系數:每一項出現的數字部分。
- 在例子 中,各項系數為 、 、 。
- 各個項的系數可以直接稱呼「 的幾次方項系數」,也可以省略稱呼為「幾次項系數」。如 的 項系數是 ,也可以說二次項系數為 。
- 沒有文字符號的項稱作常數項(constant term)。
- 若多項式沒有某一項,則稱該項系數為 。如 沒有 項,所以 項系數是 。
- 常數多項式:任何一個數字。如: 、 、 、 、圓周率 。
- 【課外補充】其中如果不是 的任意數,我們稱作零次多項式;若此多項式為 ,我們稱作零多項式。
- 升冪排列:將多項式的項依照次方數由小到大排列。
- 降冪排列:將多項式的項依照次方數由大到小排列。是最常使用的排列方式。
- 為降冪排列,因為次數從 降到 ;而此多項式的升冪排列為 。
例題 有一個多項式為 ,請問:
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解
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隨堂練習
有一個多項式為 ,請問:
- 此多項式總共有幾項?
- 此多項式 項系數是多少?
- 此多項式為幾次多項式?
- 此多項式的升冪排列與降冪排列為何?[解答 1]
多項式的加法
編輯多項式的加法運算方式就是同類項合併,搭配去括號規則,可以使用橫式計算也可以使用直式計算。
而介紹同類項合併之前,介紹一下何謂「同類項」:
同類項:兩個單項式中,其未知數相同,未知數的次方數也相同。
根據這個定義,以下是幾個例子:
- 與 不是同類項,因為它們不是單項式。
- 與 不是同類項,因為未知數不相同。
- 與 不是同類項,因為未知數的次方數不相同。
- 與 是同類項,因為未知數相同,未知數的次方數也相同。
- 與 不是同類項,因為雖然未知數相同,但未知數 的次方數不相同, 的次方數也不相同。
- 任意兩個常數都是同類項,如圓周率 與 。
接下來就是同類項合併的主要公式了,這裏的 與 都是常數, 可以是任意形式的單項式(只要是相同的即可):
底下來做一個練習:
例題 化簡下列各式: |
解
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在上面的例題 的第1題中, ;第2題中, 。
隨堂練習
化簡下列各式:
接下來練習比較複雜的例子:
例題 化簡下列各式,答案使用降冪排列表示: |
解
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隨堂練習
化簡下列各式: