國中數學/國中數學七年級/3-1 一元一次式

2-5 指數律

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國中數學七年級 3-1 一元一次式

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3-2 解一元一次方程式

生活中有許多具有關係的量，如：

• 一瓶紅茶比一瓶水還貴$15$元。
• 泳馨身上的錢是慧琦的$3$倍。
• 在籃球比賽中，你的得分與你投進幾個兩分球、幾個三分球和幾個罰球有關。
• 華氏溫度等於攝氏溫度的${\frac {9}{5}}$倍多$32$度。
• 商家賺錢，代表他們的收入比成本還多；商家賠錢，代表他們的收入比成本還少。

為了表示這些關係，通常我們會寫成數學式子。在以前國小的時候我們使用$()$、□、甲、乙……等等符號表示，在國中階段以後，我們習慣上使用$x$、$y$、$z$……等英文字母表示。例如：

• 一瓶紅茶比一瓶水還貴$15$元，若假設一瓶水$x$元，則一瓶紅茶($x+15$)元。
• 泳馨身上的錢是慧琦的$3$倍，若假設慧琦身上的錢為$y$元，則泳馨身上的錢有($y\times 3$)元。
• 綺綺在籃球比賽投進$x$顆兩分球，$y$顆三分球，沒有投進罰球，則綺綺得到($x\times 2+y\times 3$)分。
• 攝氏$x$度等於華氏(${\frac {9}{5}}\times x+32$)度。
• 阿慧炸雞攤今天賺進$6000$元，若阿慧炸雞攤經營的成本為$y$元，則阿慧炸雞攤今天的收入為($y+6000$)元。

我們在本節特別要針對只有一個未知數的式子進行介紹，並且說明如何化簡式子。

式子的簡記

因為$x$實在太容易與乘法記號$\times$混淆，所以我們會使用$\cdot$代替$\times$，甚至省略不寫，把數字擺在英文字母前面。

 Example：$x\times 8={\color {red}x\cdot 8=8x}$。

文字符號乘以1、-1與0

1. 因為任何數乘以$1$都等於自己，所以${\color {red}1\times x=x\times 1=x}$。
2. 因為任何數乘以$-1$都等於它的相反數，所以${\color {red}(-1)\times x=x\times (-1)=-x}$。
3. 因為任何數乘以$0$都等於$0$，所以${\color {red}0\times x=x\times 0=0}$。

文字符號與分數乘法的簡記

文字符號與分數乘法的簡記如同上述一樣，不過也可以將文字符號直接擺在分子數字後方。

 Example：$x\times {\frac {3}{4}}=x\cdot {\frac {3}{4}}={\frac {3}{4}}x={\color {red}{\frac {3x}{4}}}$。

除法算式的簡記

因為除以一個數等於乘以一個數的倒數，所以可以先將除法算式改成乘法算式再進行簡記。

 Example：$x\div {\frac {3}{4}}=x{\color {red}\times {\frac {4}{3}}}={\frac {4}{3}}x={\frac {4x}{3}}$。

必須注意的事

1. 數字與數字之間的乘號不可以省略，只能用$\cdot$代替。
   • Example：$3\times 5=3\cdot 5$，但不能寫作$35$。
2. 加號(${\color {red}+}$)與減號(${\color {red}-}$)不可以省略。
   • Example：$x+5$不能省略寫作$x5$；$2x-7$不能省略寫作$2x7$。
3. 未知數$x$的倒數為${\frac {1}{x}}$，但前提是${\color {red}x\neq 0}$。

四則運算的簡記

1. 加號($+$)與減號($-$)不能省略。
2. 乘號可以用$\cdot$表示，或直接省略。
3. 除號可以改寫成乘號再省略。
4. 也是要滿足基本四則運算規則。

例題$1$ 簡記下列各式： $(1)15-x\times {\frac {1}{4}}$ $(2)(2y+7)\div {\frac {4}{9}}$

解 $(1)15-x\times {\frac {1}{4}}=15-{\frac {1}{4}}x$(或$15-{\frac {x}{4}}$) $(2)(2y+7)\div {\frac {4}{9}}=(2y+7)\times {\frac {9}{4}}={\frac {9}{4}}(2y+7)$(或${\frac {9(2y+7)}{4}}$)

習題$1$
簡記下列各式。
$(1)12+x\times {\frac {3}{7}}$
$(2)(5x-7)\div 3$

式子的值

• 一瓶紅茶比一瓶水還貴$15$元，若假設一瓶水$x$元，則一瓶紅茶($x+15$)元。
  1. 如果一瓶水$10$元(也就是說$x=10$)，則一瓶紅茶$10+15=25$元。
  2. 如果一瓶水$15$元(也就是說$x=15$)，則一瓶紅茶$15+15=30$元。

像這樣如果知道未知數$x$、$y$的值之後，我們就可以代入式子中，知道式子代表的值是多少。

例題$2$ 若$x=5$，則$3x$、$6x+3$、${\frac {2x+8}{6}}$所代表的值分別是多少？

解 $(1)3x=3\times 5=15$ 小提醒 在算式子的值時，若看到數字後面直接出現文字符號($x$)，記得是省略了乘號($\times$)喔！ $(2)6x+3=6\times 5+3=30+3=33$ $(3){\frac {2x+8}{6}}={\frac {2\times 5+8}{6}}={\frac {18}{6}}=3$

例題$3$ 式子${\frac {x+4}{3}}-5$在$x=0$、$x=3$與$x=-4$所代表的值分別是多少？

解 $(1)x=0$時，${\frac {x+4}{3}}-5={\frac {0+4}{3}}-5={\frac {4}{3}}-5=-{\frac {11}{3}}$ $(2)x=3$時，${\frac {x+4}{3}}-5={\frac {3+4}{3}}-5={\frac {7}{3}}-5=-{\frac {8}{3}}$ $(3)x=-4$時，${\frac {x+4}{3}}-5={\frac {-4+4}{3}}-5={\frac {0}{3}}-5=-5$

習題$2$
請完成下列表格。

式子	$x=4$	$x={\frac {3}{5}}$	$x=-9$
$3x$			$-27$
${\frac {5}{3}}x+3$
${\frac {2x+1}{4}}$	${\frac {9}{4}}$

式子的化簡

像$x+15$、$2y-3$、${\frac {x+4}{3}}-5$這樣只有一個未知數(一元)而且最高次方為一次的式子，我們稱作一元一次式。

一元一次式未知數的位置

一個一元一次式的未知數

1. 不可以在分母，但是可以放在分子。如：${\frac {3}{x}}$不是一元一次式，但${\frac {x}{3}}$是一元一次式。
2. 不可以有一個以上不同的未知數。如：$2x+3y$不是一元一次式。
3. 不可以放在絕對值裡。如：$|x-2|$不是一元一次式。
4. 不可以放在次方的位置。如：$3^{x}$不是一元一次式。
5. 未知數不可以高於一次方。如：$x^{3}+3x$不是一元一次式。

小測

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

1 哪一個是一元一次式？(單選)

	${\frac {3x+1}{5}}$
	${\frac {5}{3x+1}}$
	${\frac {5x}{3x+1}}$

2 哪一個是一元一次式？(單選)

	$|3x+1|$
	$|3x|+1$
	$|3|x+1$

3 哪一個是一元一次式？(單選)

	$2x^{2}+3$
	$2x+3^{2}$
	$(2x+3)^{2}$

4 哪一個是一元一次式？(單選)

	$3x+5y$
	$7a+9a$
	$5mn$

關於一元一次式的名詞

以下是一元一次式的相關名詞：

名稱	說明	以$3x-7$為例子
項	用加號連接的各部分	因為$3x-7=3x+(-7)$，所以$3x$與$-7$都稱作$3x-7$的項。
一次項(或$x$項)	有出現一次未知數的項	因為$3x$有出現未知數$x$，所以$3x-7$的一次項為$3x$。
常數項	沒有出現任何未知數的項	因為$-7$沒有出現未知數，所以$3x-7$的常數項為$-7$。
係數	未知數前面的數字或是常數項	在$3x$中，未知數前面的數字為$3$，所以稱$3$為$3x-7$的一次項係數(或$x$項係數)。
單項式	只有單一一個項的式子	$3x$只有一項，所以為單項式。
同類項	具有相同的未知數，而且次方數也相同的兩個項	$3x$與$3y$的未知數不相同，所以它們不是同類項；$3x$與$-{\frac {13x}{17}}$的未知數相同，次數也都是$1$，所以它們是同類項。

小測

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

1 $-7x+12$的一次項係數是多少？(單選)

	$7$
	$-7$
	$12$
	$-12$

2 $2+7z$的常數項為何？(單選)

	$2$
	$-2$
	$7$
	$-7$

3 ${\frac {5k-7}{3}}$的$k$項為何？(單選)

	$5k$
	$5$
	${\frac {5}{3}}k$
	${\frac {5}{3}}$

4 $5-6y$有哪些項？(複選)

	$5$
	$-6$
	$6y$
	$-6y$

5 哪些為$7y$的同類項？(複選)

	$7x$
	$-0.3y$
	${\frac {y}{5}}$
	${\frac {3}{y+1}}$
	$y+7$

式子的基本化簡

式子的加減

式子的加減運用分配律。
分配律：$ax+bx=(a+b)x$；$ax-bx=(a-b)x$

• Example：$-3x+12x=[(-3)+12]x=9x$；${\frac {3}{7}}y-{\frac {5}{21}}y=({\frac {3}{7}}-{\frac {5}{21}})y=({\frac {9}{21}}-{\frac {5}{21}})y={\frac {4}{21}}y$。

【註解】只有同類項才能做加減的合併。

習題$3$
化簡下列各式：
$(1)13y+(-24y)$
$(2)(-{\frac {1}{3}}x)-{\frac {1}{4}}x$
$(3)2.9b-3.2b$

式子的乘除

式子的乘除運用結合律。
結合律：$a(bx)=(ab)x$；$(ax)\times b=ab\times x=(ab)x$

• Example：$(5x)\cdot 3=(5\cdot 3)x=15x$

【註解】化簡除法式子時，要多運用除以一個數，等於乘以一個數的倒數。

• Example：$(5x)\div 3=(5x)\times {\frac {1}{3}}=(5\cdot {\frac {1}{3}})x={\frac {5}{3}}x$

習題$4$
化簡下列各式：
$(1)(3y)\times (-8)$
$(2)(-{\frac {1}{3}}x)\div {\frac {2}{7}}$
$(3)(-{\frac {9}{2}})\times (-{\frac {4}{3}}a)$

去括號規則

1. $-(ax+b)=-ax-b$
2. $-(ax-b)=-ax+b$
3. $-(-ax+b)=ax-b$
4. $-(-ax-b)=ax+b$

習題$5$
從參考選項中找出以下各式化簡之後的式子，並將代號填入框框中。

參考選項	$(A)5x-11$	$(B)5x+11$	$(C)-5x+11$	$(D)-5x-11$

題號	題目	答案
$(1)$	$-(5x+11)$
$(2)$	$-(5x-11)$
$(3)$	$-(-5x+11)$
$(4)$	$-(-5x-11)$

式子與分配律

1. $a(bx+c)=(ab)x+(ac)$
   • Example：$5(-3x+1)=[5\times (-3)]x+(5\times 1)=-15x+5$
2. $a(bx-c)=(ab)x-(ac)$
   • Example：$-3(-4x-2)=[-3\times (-4)]x-[(-3)\times 2]=12x-(-6)=12x+6$
     

習題$6$
化簡下列各式：
$(1)3(y-8)$
$(2)-{\frac {1}{4}}({\frac {8}{7}}x+{\frac {12}{5}})$
$(3){\frac {2}{3}}(3a+5)$

式子的進階化簡

式子四則運算

利用去括號規則與加法結合律將同類項合併。

例題$4$ 化簡下列各式： $(1)$ $(3x+7)+(5x-3)$ $(2)$ $(5x-3)-(11x+2)$

解 $(1)$ $(3x+7)+(5x-3)$ $=3x+7+5x-3$(去括號規則) $=(3x+5x)+(7-3)$(合併同類項) $=8x+4$ $(2)$ $(5x-3)-(11x+2)$ $=5x-3-11x-2$(去括號規則) $=(5x-11x)+(-3-2)$(合併同類項) $=-6x-5$

習題$7$
化簡下列各式：
$(1)$ $(-9x+13)+(3x+7)$
$(2)$ $(8x+12)-(-x+9)$

當前面乘以一個常數時，應該先乘進去式子中，再進行化簡。

例題$5$ 化簡下列各式： $(1)$ $2(x-5)+3(2x+1)$ $(2)$ $(5x+3)-5(x+7)$

解 $(1)$ $2(x-5)+3(2x+1)$ $=2x-10+6x+3$(去括號規則) $=(2x+6x)+(-10+3)$(合併同類項) $=8x-7$ $(2)$ $(5x+3)-5(x+7)$ $=(5x+3)-(5x+35)$ $=5x+3-5x-35$(去括號規則) $=(5x-5x)+(3-35)$(合併同類項) $=-32$

習題$8$
化簡下列各式：
$(1)$ $2(-x+4)+3(2x-3)$
$(2)$ $5(2x+4)-6(-3x+2)$

多重括號型的式子

由小括號$\rightarrow$中括號$\rightarrow$大括號依序化簡。

例題$6$ 化簡下列各式： $(1)$ $2(2x+7)-3[(x+7)+(3x-1)]$ $(2)$ $5x-\{2[3(4x+5)-7]+2x\}$

解 $(1)$ $2(2x+7)-3[(x+7)+(3x-1)]$ $=(4x+14)-3[4x+6]$ $=(4x+14)-12x-18$ $=(4x-12x)+(14-18)$ $=-8x-4$ $(2)$ $5x-\{2[3(4x+5)-7]+2x\}$ $=5x-\{2[12x+15-7]+2x\}$ $=5x-\{2[12x+8]+2x\}$ $=5x-\{24x+16+2x\}$ $=5x-\{26x+16\}$ $=5x-26x-16$ $=-21x-16$

習題$9$
化簡下列各式：
$(1)$ $(5x-13)+2[3(-2x+7)+2(x+4)]$
$(2)$ $(7x+1)+\{5[(3-x)-(-3x+2)]+(2x+1)\}$

分數型的式子

先將式子用括號括住，分母通分，將分子利用上述方式進行化簡。

例題$7$ 化簡下列各式： $(1)$ ${\frac {4x+1}{3}}+{\frac {3x-5}{2}}$ $(2)$ ${\frac {5x-2}{4}}-{\frac {2x+1}{6}}$

解 $(1){\frac {4x+1}{3}}+{\frac {3x-5}{2}}$ $={\frac {(4x+1)}{3}}+{\frac {(3x-5)}{2}}$ $={\frac {2(4x+1)}{6}}+{\frac {3(3x-5)}{6}}$ $={\frac {2(4x+1)+3(3x-5)}{6}}$ $={\frac {8x+2+9x-15}{6}}$ $={\frac {17x-13}{6}}$ $(2)$ ${\frac {5x-2}{4}}-{\frac {2x+1}{6}}$ $={\frac {(5x-2)}{4}}-{\frac {(2x+1)}{6}}$ $={\frac {3(5x-2)}{12}}-{\frac {2(2x+1)}{12}}$ $={\frac {3(5x-2)-2(2x+1)}{12}}$ $={\frac {15x-6-4x-2}{12}}$ $={\frac {11x-8}{12}}$

習題$10$
化簡下列各式：
$(1)$ ${\frac {4x+1}{5}}+{\frac {x-2}{3}}$
$(2)$ ${\frac {2x-1}{3}}-{\frac {-3x+5}{9}}$

課外連結

• 一元一次方程式
• 二元一次式
• 多項式
• 根式