国中数学/国中数学七年级/3-1 一元一次式

2-5 指数律

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国中数学七年级 3-1 一元一次式

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3-2 解一元一次方程式

生活中有许多具有关系的量，如：

• 一瓶红茶比一瓶水还贵$15$元。
• 泳馨身上的钱是慧琦的$3$倍。
• 在篮球比赛中，你的得分与你投进几个两分球、几个三分球和几个罚球有关。
• 华氏温度等于摄氏温度的${\frac {9}{5}}$倍多$32$度。
• 商家赚钱，代表他们的收入比成本还多；商家赔钱，代表他们的收入比成本还少。

为了表示这些关系，通常我们会写成数学式子。在以前国小的时候我们使用$()$、□、甲、乙……等等符号表示，在国中阶段以后，我们习惯上使用$x$、$y$、$z$……等英文字母表示。例如：

• 一瓶红茶比一瓶水还贵$15$元，若假设一瓶水$x$元，则一瓶红茶($x+15$)元。
• 泳馨身上的钱是慧琦的$3$倍，若假设慧琦身上的钱为$y$元，则泳馨身上的钱有($y\times 3$)元。
• 绮绮在篮球比赛投进$x$颗两分球，$y$颗三分球，没有投进罚球，则绮绮得到($x\times 2+y\times 3$)分。
• 摄氏$x$度等于华氏(${\frac {9}{5}}\times x+32$)度。
• 阿慧炸鸡摊今天赚进$6000$元，若阿慧炸鸡摊经营的成本为$y$元，则阿慧炸鸡摊今天的收入为($y+6000$)元。

我们在本节特别要针对只有一个未知数的式子进行介绍，并且说明如何化简式子。

式子的简记

因为$x$实在太容易与乘法记号$\times$混淆，所以我们会使用$\cdot$代替$\times$，甚至省略不写，把数字摆在英文字母前面。

 Example：$x\times 8={\color {red}x\cdot 8=8x}$。

文字符号乘以1、-1与0

1. 因为任何数乘以$1$都等于自己，所以${\color {red}1\times x=x\times 1=x}$。
2. 因为任何数乘以$-1$都等于它的相反数，所以${\color {red}(-1)\times x=x\times (-1)=-x}$。
3. 因为任何数乘以$0$都等于$0$，所以${\color {red}0\times x=x\times 0=0}$。

文字符号与分数乘法的简记

文字符号与分数乘法的简记如同上述一样，不过也可以将文字符号直接摆在分子数字后方。

 Example：$x\times {\frac {3}{4}}=x\cdot {\frac {3}{4}}={\frac {3}{4}}x={\color {red}{\frac {3x}{4}}}$。

除法算式的简记

因为除以一个数等于乘以一个数的倒数，所以可以先将除法算式改成乘法算式再进行简记。

 Example：$x\div {\frac {3}{4}}=x{\color {red}\times {\frac {4}{3}}}={\frac {4}{3}}x={\frac {4x}{3}}$。

必须注意的事

1. 数字与数字之间的乘号不可以省略，只能用$\cdot$代替。
   • Example：$3\times 5=3\cdot 5$，但不能写作$35$。
2. 加号(${\color {red}+}$)与减号(${\color {red}-}$)不可以省略。
   • Example：$x+5$不能省略写作$x5$；$2x-7$不能省略写作$2x7$。
3. 未知数$x$的倒数为${\frac {1}{x}}$，但前提是${\color {red}x\neq 0}$。

四则运算的简记

1. 加号($+$)与减号($-$)不能省略。
2. 乘号可以用$\cdot$表示，或直接省略。
3. 除号可以改写成乘号再省略。
4. 也是要满足基本四则运算规则。

例题$1$ 简记下列各式： $(1)15-x\times {\frac {1}{4}}$ $(2)(2y+7)\div {\frac {4}{9}}$

解 $(1)15-x\times {\frac {1}{4}}=15-{\frac {1}{4}}x$(或$15-{\frac {x}{4}}$) $(2)(2y+7)\div {\frac {4}{9}}=(2y+7)\times {\frac {9}{4}}={\frac {9}{4}}(2y+7)$(或${\frac {9(2y+7)}{4}}$)

习题$1$
简记下列各式。
$(1)12+x\times {\frac {3}{7}}$
$(2)(5x-7)\div 3$

式子的值

• 一瓶红茶比一瓶水还贵$15$元，若假设一瓶水$x$元，则一瓶红茶($x+15$)元。
  1. 如果一瓶水$10$元(也就是说$x=10$)，则一瓶红茶$10+15=25$元。
  2. 如果一瓶水$15$元(也就是说$x=15$)，则一瓶红茶$15+15=30$元。

像这样如果知道未知数$x$、$y$的值之后，我们就可以代入式子中，知道式子代表的值是多少。

例题$2$ 若$x=5$，则$3x$、$6x+3$、${\frac {2x+8}{6}}$所代表的值分别是多少？

解 $(1)3x=3\times 5=15$ 小提醒 在算式子的值时，若看到数字后面直接出现文字符号($x$)，记得是省略了乘号($\times$)喔！ $(2)6x+3=6\times 5+3=30+3=33$ $(3){\frac {2x+8}{6}}={\frac {2\times 5+8}{6}}={\frac {18}{6}}=3$

例题$3$ 式子${\frac {x+4}{3}}-5$在$x=0$、$x=3$与$x=-4$所代表的值分别是多少？

解 $(1)x=0$时，${\frac {x+4}{3}}-5={\frac {0+4}{3}}-5={\frac {4}{3}}-5=-{\frac {11}{3}}$ $(2)x=3$时，${\frac {x+4}{3}}-5={\frac {3+4}{3}}-5={\frac {7}{3}}-5=-{\frac {8}{3}}$ $(3)x=-4$时，${\frac {x+4}{3}}-5={\frac {-4+4}{3}}-5={\frac {0}{3}}-5=-5$

习题$2$
请完成下列表格。

式子	$x=4$	$x={\frac {3}{5}}$	$x=-9$
$3x$			$-27$
${\frac {5}{3}}x+3$
${\frac {2x+1}{4}}$	${\frac {9}{4}}$

式子的化简

像$x+15$、$2y-3$、${\frac {x+4}{3}}-5$这样只有一个未知数(一元)而且最高次方为一次的式子，我们称作一元一次式。

一元一次式未知数的位置

一个一元一次式的未知数

1. 不可以在分母，但是可以放在分子。如：${\frac {3}{x}}$不是一元一次式，但${\frac {x}{3}}$是一元一次式。
2. 不可以有一个以上不同的未知数。如：$2x+3y$不是一元一次式。
3. 不可以放在绝对值里。如：$|x-2|$不是一元一次式。
4. 不可以放在次方的位置。如：$3^{x}$不是一元一次式。
5. 未知数不可以高于一次方。如：$x^{3}+3x$不是一元一次式。

小测

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

1 哪一个是一元一次式？(单选)

	${\frac {3x+1}{5}}$
	${\frac {5}{3x+1}}$
	${\frac {5x}{3x+1}}$

2 哪一个是一元一次式？(单选)

	$|3x+1|$
	$|3x|+1$
	$|3|x+1$

3 哪一个是一元一次式？(单选)

	$2x^{2}+3$
	$2x+3^{2}$
	$(2x+3)^{2}$

4 哪一个是一元一次式？(单选)

	$3x+5y$
	$7a+9a$
	$5mn$

关于一元一次式的名词

以下是一元一次式的相关名词：

名称	说明	以$3x-7$为例子
项	用加号连接的各部分	因为$3x-7=3x+(-7)$，所以$3x$与$-7$都称作$3x-7$的项。
一次项(或$x$项)	有出现一次未知数的项	因为$3x$有出现未知数$x$，所以$3x-7$的一次项为$3x$。
常数项	没有出现任何未知数的项	因为$-7$没有出现未知数，所以$3x-7$的常数项为$-7$。
系数	未知数前面的数字或是常数项	在$3x$中，未知数前面的数字为$3$，所以称$3$为$3x-7$的一次项系数(或$x$项系数)。
单项式	只有单一一个项的式子	$3x$只有一项，所以为单项式。
同类项	具有相同的未知数，而且次方数也相同的两个项	$3x$与$3y$的未知数不相同，所以它们不是同类项；$3x$与$-{\frac {13x}{17}}$的未知数相同，次数也都是$1$，所以它们是同类项。

小测

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

1 $-7x+12$的一次项系数是多少？(单选)

	$7$
	$-7$
	$12$
	$-12$

2 $2+7z$的常数项为何？(单选)

	$2$
	$-2$
	$7$
	$-7$

3 ${\frac {5k-7}{3}}$的$k$项为何？(单选)

	$5k$
	$5$
	${\frac {5}{3}}k$
	${\frac {5}{3}}$

4 $5-6y$有哪些项？(复选)

	$5$
	$-6$
	$6y$
	$-6y$

5 哪些为$7y$的同类项？(复选)

	$7x$
	$-0.3y$
	${\frac {y}{5}}$
	${\frac {3}{y+1}}$
	$y+7$

式子的基本化简

式子的加减

式子的加减运用分配律。
分配律：$ax+bx=(a+b)x$；$ax-bx=(a-b)x$

• Example：$-3x+12x=[(-3)+12]x=9x$；${\frac {3}{7}}y-{\frac {5}{21}}y=({\frac {3}{7}}-{\frac {5}{21}})y=({\frac {9}{21}}-{\frac {5}{21}})y={\frac {4}{21}}y$。

【注解】只有同类项才能做加减的合并。

习题$3$
化简下列各式：
$(1)13y+(-24y)$
$(2)(-{\frac {1}{3}}x)-{\frac {1}{4}}x$
$(3)2.9b-3.2b$

式子的乘除

式子的乘除运用结合律。
结合律：$a(bx)=(ab)x$；$(ax)\times b=ab\times x=(ab)x$

• Example：$(5x)\cdot 3=(5\cdot 3)x=15x$

【注解】化简除法式子时，要多运用除以一个数，等于乘以一个数的倒数。

• Example：$(5x)\div 3=(5x)\times {\frac {1}{3}}=(5\cdot {\frac {1}{3}})x={\frac {5}{3}}x$

习题$4$
化简下列各式：
$(1)(3y)\times (-8)$
$(2)(-{\frac {1}{3}}x)\div {\frac {2}{7}}$
$(3)(-{\frac {9}{2}})\times (-{\frac {4}{3}}a)$

去括号规则

1. $-(ax+b)=-ax-b$
2. $-(ax-b)=-ax+b$
3. $-(-ax+b)=ax-b$
4. $-(-ax-b)=ax+b$

习题$5$
从参考选项中找出以下各式化简之后的式子，并将代号填入框框中。

参考选项	$(A)5x-11$	$(B)5x+11$	$(C)-5x+11$	$(D)-5x-11$

题号	题目	答案
$(1)$	$-(5x+11)$
$(2)$	$-(5x-11)$
$(3)$	$-(-5x+11)$
$(4)$	$-(-5x-11)$

式子与分配律

1. $a(bx+c)=(ab)x+(ac)$
   • Example：$5(-3x+1)=[5\times (-3)]x+(5\times 1)=-15x+5$
2. $a(bx-c)=(ab)x-(ac)$
   • Example：$-3(-4x-2)=[-3\times (-4)]x-[(-3)\times 2]=12x-(-6)=12x+6$
     

习题$6$
化简下列各式：
$(1)3(y-8)$
$(2)-{\frac {1}{4}}({\frac {8}{7}}x+{\frac {12}{5}})$
$(3){\frac {2}{3}}(3a+5)$

式子的进阶化简

式子四则运算

利用去括号规则与加法结合律将同类项合并。

例题$4$ 化简下列各式： $(1)$ $(3x+7)+(5x-3)$ $(2)$ $(5x-3)-(11x+2)$

解 $(1)$ $(3x+7)+(5x-3)$ $=3x+7+5x-3$(去括号规则) $=(3x+5x)+(7-3)$(合并同类项) $=8x+4$ $(2)$ $(5x-3)-(11x+2)$ $=5x-3-11x-2$(去括号规则) $=(5x-11x)+(-3-2)$(合并同类项) $=-6x-5$

习题$7$
化简下列各式：
$(1)$ $(-9x+13)+(3x+7)$
$(2)$ $(8x+12)-(-x+9)$

当前面乘以一个常数时，应该先乘进去式子中，再进行化简。

例题$5$ 化简下列各式： $(1)$ $2(x-5)+3(2x+1)$ $(2)$ $(5x+3)-5(x+7)$

解 $(1)$ $2(x-5)+3(2x+1)$ $=2x-10+6x+3$(去括号规则) $=(2x+6x)+(-10+3)$(合并同类项) $=8x-7$ $(2)$ $(5x+3)-5(x+7)$ $=(5x+3)-(5x+35)$ $=5x+3-5x-35$(去括号规则) $=(5x-5x)+(3-35)$(合并同类项) $=-32$

习题$8$
化简下列各式：
$(1)$ $2(-x+4)+3(2x-3)$
$(2)$ $5(2x+4)-6(-3x+2)$

多重括号型的式子

由小括号$\rightarrow$中括号$\rightarrow$大括号依序化简。

例题$6$ 化简下列各式： $(1)$ $2(2x+7)-3[(x+7)+(3x-1)]$ $(2)$ $5x-\{2[3(4x+5)-7]+2x\}$

解 $(1)$ $2(2x+7)-3[(x+7)+(3x-1)]$ $=(4x+14)-3[4x+6]$ $=(4x+14)-12x-18$ $=(4x-12x)+(14-18)$ $=-8x-4$ $(2)$ $5x-\{2[3(4x+5)-7]+2x\}$ $=5x-\{2[12x+15-7]+2x\}$ $=5x-\{2[12x+8]+2x\}$ $=5x-\{24x+16+2x\}$ $=5x-\{26x+16\}$ $=5x-26x-16$ $=-21x-16$

习题$9$
化简下列各式：
$(1)$ $(5x-13)+2[3(-2x+7)+2(x+4)]$
$(2)$ $(7x+1)+\{5[(3-x)-(-3x+2)]+(2x+1)\}$

分数型的式子

先将式子用括号括住，分母通分，将分子利用上述方式进行化简。

例题$7$ 化简下列各式： $(1)$ ${\frac {4x+1}{3}}+{\frac {3x-5}{2}}$ $(2)$ ${\frac {5x-2}{4}}-{\frac {2x+1}{6}}$

解 $(1){\frac {4x+1}{3}}+{\frac {3x-5}{2}}$ $={\frac {(4x+1)}{3}}+{\frac {(3x-5)}{2}}$ $={\frac {2(4x+1)}{6}}+{\frac {3(3x-5)}{6}}$ $={\frac {2(4x+1)+3(3x-5)}{6}}$ $={\frac {8x+2+9x-15}{6}}$ $={\frac {17x-13}{6}}$ $(2)$ ${\frac {5x-2}{4}}-{\frac {2x+1}{6}}$ $={\frac {(5x-2)}{4}}-{\frac {(2x+1)}{6}}$ $={\frac {3(5x-2)}{12}}-{\frac {2(2x+1)}{12}}$ $={\frac {3(5x-2)-2(2x+1)}{12}}$ $={\frac {15x-6-4x-2}{12}}$ $={\frac {11x-8}{12}}$

习题$10$
化简下列各式：
$(1)$ ${\frac {4x+1}{5}}+{\frac {x-2}{3}}$
$(2)$ ${\frac {2x-1}{3}}-{\frac {-3x+5}{9}}$

课外连结

• 一元一次方程式
• 二元一次式
• 多项式
• 根式