國中數學/國中數學八年級/2-1 二次方根的意義

1-4 多項式的四則運算

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國中數學八年級 2-1 二次方根的意義

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2-2 根式的運算

本單元將介紹二次方根。部分內容需要用到第一冊2-5 指數律。

正方形面積與邊長

完全平方數

圖一。面積為$1,4,9,16cm^{2}$的正方形。

圖一為4個面積分別為$1,4,9,16cm^{2}$的正方形，邊長分別為$1,2,3,4cm$。
因為$1,4,9,16$都是一個整數的平方，也就是可以被寫成$n^{2}$($n$為正整數)的形式，所以這些數被稱為「完全平方數」。若一正方形的面積是完全平方數，則其邊長必為一個正整數。

根號

那假如今天有一個正方形面積為$2,3,5,6,7$而不是完全平方數，其邊長應該怎麼表示呢？所以${\sqrt {\quad }}$就在這時出現了。
當有一個正方形面積為$a$，其邊長就是${\sqrt {a}}$(讀作「根號$a$」)；當有一個正方形邊長是${\sqrt {a}}$，其面積就為$({\sqrt {a}})^{2}=a$。
如面積為$2$的正方形，其邊長就為${\sqrt {2}}$；邊長為${\sqrt {15}}$的正方形，其面積就為$15$。

根號a

以指數表示根號a

${\sqrt {a}}$其實是可以用指數來表示的，為${\sqrt {a}}=a^{1 \over 2}(a>0)$。
證明：
${\begin{aligned}&{\text{令 }}{\sqrt {a}}=m,a^{\frac {1}{2}}=n(a>0)\\&\Rightarrow ({\sqrt {a}})^{2}=m^{2},(a^{\frac {1}{2}})^{2}=n^{2}\\&\Rightarrow {\sqrt {a}}\times {\sqrt {a}}=m^{2},a^{{\frac {1}{2}}\times 2}=n^{2}\\&\Rightarrow a=m^{2},a=n^{2}\\&\Rightarrow m=n\\&a>0{\text{ 則 }}\ {\sqrt {a}}{\text{ 及 }}\ a^{z}{\text{ 皆 大 於 零 }}\end{aligned}}$

(根號a)的平方

根據上述的推論以及指數律，
$({\sqrt {a}})^{2}=(a^{1 \over 2})^{2}=a^{{1 \over 2}\times 2}=a^{1}=a$

根號(a的平方)

同樣根據上述的推論以及指數律，
${\sqrt {a^{2}}}=(a^{2})^{1 \over 2}=a^{2\times {1 \over 2}}=a^{1}=a$