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国中数学/国中数学八年级/1-2 多项式的加减运算

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1-2 多项式的加减运算 		► 1-3 多项式的乘除运算　

本章节要来谈谈数学上很常使用的基本式子：多项式(polynomial)，并且谈谈它们的加减运算模式。它们的乘除模式留到下一节1-3 多项式的乘除运算讲解。

多项式 编辑

在一个式子中，若文字符号(通常是 )与数字只利用加法与乘法做运算而得，那这样的式子我们称为多项式。例如： 是由 得到的式子，所以它是一个多项式； 是由 得到的式子，它也是一个多项式。而依此定义，事实上 也是多项式，不过在中学阶段，只会学习含有一个文字符号的多项式[注 1]。

多项式的判别 编辑

  1. 多项式是一个式子，所以多项式本身没有等号。
    •  不是多项式。
  2. 文字符号不能出现在分母，因为它用到了除法[注 2]。可是文字符号可以出现在分子，因为我们在七年级上学期3-1 一元一次式有提到 ，它是一个乘法运算。
    •  、 不是多项式，但 、 是。
  3. 文字符号不能出现在绝对值内。但如果绝对值内没有未知数的话也是可以的。
    •  、 不是多项式，但 是多项式。
  4. 文字符号不能出现在次方。另外未知数的次方要是正整数或 。
    •  、 不是多项式。
  5. 文字符号不能出现在根号内[注 3]。
    •  不是多项式。

多项式的名词 编辑

接下来介绍多项式的相关名词。在底下的介绍若没有特别说明，我们都是以多项式 为例子。

  1. 项：多项式当中，使用加号（＋）分开的各部分。
    • 在例子 中， ，所以 有三个项： 、 、 。
    • 对于项的辨识，作者建议学生将前面的“运算符号( 与 )”都视为“性质符号”。对于这两个名词陌生的同学，请参考国中七年级 1-1 正数与负数的内容。
  2. 单项式(monomial)：只有一个项的多项式[注 4]。
    •  、 、 都是单项式。
  3. 次数：多项式的所有项当中，文字符号次数最大的数字。
    • 在例子 中，所有项次数最大的是 ，它是二次方，所以次数为 。
    • 次数会记录为 (多项式)，如 。
  4. 系数：每一项出现的数字部分。
    • 在例子 中，各项系数为 、 、 。
    • 各个项的系数可以直接称呼“ 的几次方项系数”，也可以省略称呼为“几次项系数”。如 的 项系数是 ，也可以说二次项系数为 。
    • 没有文字符号的项称作常数项(constant term)。
    • 若多项式没有某一项，则称该项系数为 。如 没有 项，所以 项系数是 。
  5. 常数多项式：任何一个数字。如： 、 、 、 、圆周率 。
    • 【课外补充】其中如果不是 的任意数，我们称作零次多项式；若此多项式为 ，我们称作零多项式。
  6. 升幂排列：将多项式的项依照次方数由小到大排列。
  7. 降幂排列：将多项式的项依照次方数由大到小排列。是最常使用的排列方式。
    •  为降幂排列，因为次数从 降到 ；而此多项式的升幂排列为 。
例题 

有一个多项式为 ，请问：

  1. 此多项式总共有几项？
  2. 此多项式各项系数是多少？
  3. 此多项式为几次多项式？
  4. 此多项式的升幂排列与降幂排列为何？
解
  1. 此多项式总共有 项，它们分别是 、 、 、 。
  2. 各项系数依序为 项系数为 ； 项系数为 ； 项系数为 ，常数项为 
  3. 最高次方为 ，所以是五次多项式。
  4. 此多项式的升幂排列为 ，降幂排列为 。

随堂练习

有一个多项式为 ，请问：

  1. 此多项式总共有几项？
  2. 此多项式 项系数是多少？
  3. 此多项式为几次多项式？
  4. 此多项式的升幂排列与降幂排列为何？[解答 1]

多项式的加法 编辑

多项式的加法运算方式就是同类项合并，搭配去括号规则，可以使用横式计算也可以使用直式计算。

而介绍同类项合并之前，介绍一下何谓“同类项”： 

 同類項：兩個單項式中，其未知數相同，未知數的次方數也相同。

根据这个定义，以下是几个例子：

  1.  与 不是同类项，因为它们不是单项式。
  2.  与 不是同类项，因为未知数不相同。
  3.  与 不是同类项，因为未知数的次方数不相同。
  4.  与 是同类项，因为未知数相同，未知数的次方数也相同。
  5.  与 不是同类项，因为虽然未知数相同，但未知数 的次方数不相同， 的次方数也不相同。
  6. 任意两个常数都是同类项，如圆周率 与 。

接下来就是同类项合并的主要公式了，这里的 与 都是常数， 可以是任意形式的单项式(只要是相同的即可)：

  1.  
  2.  

底下来做一个练习：

例题 

化简下列各式：

  1.  
  2.  
解
  1.  。
  2.  。

在上面的例题 的第1题中， ；第2题中， 。


随堂练习

化简下列各式：

  1.  
  2.  
  3.  [解答 2]

接下来练习比较复杂的例子：

例题 

化简下列各式，答案使用降幂排列表示：

  1.  
  2.  
解

 
 


随堂练习

化简下列各式：

  1.  
  2.  
  3.  [解答 3]

注解 编辑

  1. ↑ 唯一的例外是二元一次式。
  2. ↑ 如果未知数出现在式子的分母，这样的式子我们称之为分式，这是高中会习得的教材。
  3. ↑ 关于根号，请见2-1 二次方根的意义。
  4. ↑ 课外参考资料：维基百科：单项式。

习题解答 编辑

  1. ↑
    1.  项。
    2.  。
    3.  次多项式。
    4.升幂排列为 ；降幂排列为 。
  2. ↑
    1.  
    2.  
    3.  
  3. ↑
    1.  
    2.  
    3.  
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