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本章节要来谈谈数学上很常使用的基本式子:多项式(polynomial),并且谈谈它们的加减运算模式。它们的乘除模式留到下一节1-3 多项式的乘除运算讲解。
多项式
编辑在一个式子中,若文字符号(通常是 )与数字只利用加法与乘法做运算而得,那这样的式子我们称为多项式。例如: 是由 得到的式子,所以它是一个多项式; 是由 得到的式子,它也是一个多项式。而依此定义,事实上 也是多项式,不过在中学阶段,只会学习含有一个文字符号的多项式[注 1]。
多项式的判别
编辑- 多项式是一个式子,所以多项式本身没有等号。
- 不是多项式。
- 文字符号不能出现在分母,因为它用到了除法[注 2]。可是文字符号可以出现在分子,因为我们在七年级上学期3-1 一元一次式有提到 ,它是一个乘法运算。
- 、 不是多项式,但 、 是。
- 文字符号不能出现在绝对值内。但如果绝对值内没有未知数的话也是可以的。
- 、 不是多项式,但 是多项式。
- 文字符号不能出现在次方。另外未知数的次方要是正整数或 。
- 、 不是多项式。
- 文字符号不能出现在根号内[注 3]。
- 不是多项式。
多项式的名词
编辑接下来介绍多项式的相关名词。在底下的介绍若没有特别说明,我们都是以多项式 为例子。
- 项:多项式当中,使用加号(+)分开的各部分。
- 在例子 中, ,所以 有三个项: 、 、 。
- 对于项的辨识,作者建议学生将前面的“运算符号( 与 )”都视为“性质符号”。对于这两个名词陌生的同学,请参考国中七年级 1-1 正数与负数的内容。
- 单项式(monomial):只有一个项的多项式[注 4]。
- 、 、 都是单项式。
- 次数:多项式的所有项当中,文字符号次数最大的数字。
- 在例子 中,所有项次数最大的是 ,它是二次方,所以次数为 。
- 次数会记录为 (多项式),如 。
- 系数:每一项出现的数字部分。
- 在例子 中,各项系数为 、 、 。
- 各个项的系数可以直接称呼“ 的几次方项系数”,也可以省略称呼为“几次项系数”。如 的 项系数是 ,也可以说二次项系数为 。
- 没有文字符号的项称作常数项(constant term)。
- 若多项式没有某一项,则称该项系数为 。如 没有 项,所以 项系数是 。
- 常数多项式:任何一个数字。如: 、 、 、 、圆周率 。
- 【课外补充】其中如果不是 的任意数,我们称作零次多项式;若此多项式为 ,我们称作零多项式。
- 升幂排列:将多项式的项依照次方数由小到大排列。
- 降幂排列:将多项式的项依照次方数由大到小排列。是最常使用的排列方式。
- 为降幂排列,因为次数从 降到 ;而此多项式的升幂排列为 。
例题 有一个多项式为 ,请问:
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解
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随堂练习
有一个多项式为 ,请问:
- 此多项式总共有几项?
- 此多项式 项系数是多少?
- 此多项式为几次多项式?
- 此多项式的升幂排列与降幂排列为何?[解答 1]
多项式的加法
编辑多项式的加法运算方式就是同类项合并,搭配去括号规则,可以使用横式计算也可以使用直式计算。
而介绍同类项合并之前,介绍一下何谓“同类项”:
同類項:兩個單項式中,其未知數相同,未知數的次方數也相同。
根据这个定义,以下是几个例子:
- 与 不是同类项,因为它们不是单项式。
- 与 不是同类项,因为未知数不相同。
- 与 不是同类项,因为未知数的次方数不相同。
- 与 是同类项,因为未知数相同,未知数的次方数也相同。
- 与 不是同类项,因为虽然未知数相同,但未知数 的次方数不相同, 的次方数也不相同。
- 任意两个常数都是同类项,如圆周率 与 。
接下来就是同类项合并的主要公式了,这里的 与 都是常数, 可以是任意形式的单项式(只要是相同的即可):
底下来做一个练习:
例题 化简下列各式: |
解
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在上面的例题 的第1题中, ;第2题中, 。
随堂练习
化简下列各式:
接下来练习比较复杂的例子:
例题 化简下列各式,答案使用降幂排列表示: |
解
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随堂练习
化简下列各式: