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国中数学/国中数学八年级/3-1 利用提公因式作因式分解

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3-1 利用提公因式作因式分解 		► 3-2 利用乘法公式作因式分解　

本章节为了介绍解一元二次方程式的方式，于是我们介绍关于因式的观念，并且利用提公因式作一些式子的因式分解。

因式

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定义

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设三个多项式 、 、 满足 ＝ ，则称 、 为 的因式。[注 1]

  • 如： ，所以 、 都是 的因式。

因式的判断

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若多项式 除以多项式 的余式为 ，则我们称 为 的因式。[注 2]

  • 如： 的商式为 ，余式为 ，所以 是 的因式。

注意

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  1. 若 是任意一个非零常数，则 是一个多项式，而且若 是一个多项式，则 也是一个多项式。又因为 ＝ ，所以 与 都是多项式 的因式。故任意一个非零常数、多项式 的常数倍都是多项式 的因式。
    • 例子： 、 、 (圆周率)都是 的因式。
  2. 若三个多项式 、 、 满足 ，则对于一个非零常数 ， ，所以若多项式 为多项式 的因式，则多项式 的常数倍也是多项式 的因式。
    • 例子：因为 是 的因式，所以 、 也是 的因式。

小测

  

1 已知 ，请问哪一个是 的因式？

 
 
 
 

2 以下哪一个是 的因式？

 
 
 
 


公因式

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若多项式 是多项式 的因式，也是多项式 的因式，则我们称多项式 是多项式 、 的公因式。

  • 如： 是 的因式， 也是 的因式，所以 是 与 的公因式。

因式分解

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多项式的因式分解是将一个非零多项式写成两个或多个因式的乘积。

如： ， 称作 的因式分解。

已知因式作因式分解

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是个可遇不可求的方式，不过搭配之后高中学习的“因式定理”或是“一次因式检验法”，可以帮助我们将更高次多项式作因式分解。
在二次式当中，如果已知某一个一次因式，只要将二次式除以这个因式就能够找到另外一个因式，进而完成因式分解。(就是这两个多项式的乘积。)

例题 
已知多项式 有一个因式 ，请因式分解 。
解
 ，故 。[注 3]

提出公因式

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找出多个式子当中的最高次数公因式，并利用分配律将此公因式提出，剩余部分合并的方法。

例题 
因式分解 。
解
 和 都有公因式 ，故提出 ：

 

注意：

  1. 如果系数有公因数的时候可以把它提出去。如虽然 ，不过 的系数 与 有公因数 ，故可以将 提出，得到 。
  2. 除非有特别要求，一般来说，因式的各项系数都要为整数。
例题 
因式分解 。
解
 和 都有公因式 ，故提出 ：

 [注 4] 。

注意：

  • 在作因式分解的时候，如果最高项系数为负数，我们会将负号提出。

另外有趣的事情是，有的时候可能有超过二次的因式。底下是一个常见的例子。

例题 
因式分解 。
解

 和 都有公因式 ，故提出 ：
 。

先变号再提公因式

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接下来来看一个看起来好像没有公因式，但实际上只要变号就能够做因式分解的式子。

例题 
因式分解 。
解

 可以改写成 ，
 和 都有公因式 ，故提出 ：
 

注意：

  1.  。
  2.  。
  3.  的奇数次方交换时要加负号，变成 ； 的偶数次方交换时不用加负号，直接改成 。

先提出公因数再因式分解

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再来底下是一个看起来好像没有公因式，但实际上只要先提出公因数就能够做因式分解的式子。

例题 
因式分解 。
解

 可以改写成 ，
 和 都有公因式 ，故提出 ：
   。

课后习题

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  1. 以下哪一个多项式为 的因式？
     [解答 1]
  2. 以下哪一个多项式为 的因式分解？
     [解答 2]
  3. 已知 ，则以下哪些是 的因式？
     
     
     
     
     
     [解答 3]
  4. 以下哪些是 的因式？
     
     
     
     
     [解答 4]
  5. 已知 是 的因式，请因式分解 。[解答 5]
  6. 设 ， ，则：
     和 的公因式为何？
     
     因式分解 。[解答 6]
  7. 因式分解 。[解答 7]
  8. 因式分解 。[解答 8]
  9. 因式分解 。[解答 9]
  10. 因式分解 。[解答 10]
  11. 因式分解 。[解答 11]
  12. 因式分解 。[解答 12]

注释

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  1. ↑ 这时，多项式 也会被称作是多项式 与 的倍式。
  2. ↑ 若多项式 除以多项式 的商式为多项式 ，余式为 ，则不仅仅多项式 为多项式 的因式，多项式 也为多项式 的因式。
  3. ↑ 多项式的除法请见1-3 多项式的乘除运算。
  4. ↑ 关于这里的计算，请见七年级教材3-1 一元一次式 。

习题解答

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  1. ↑ (B)。 ，故选(B)。
  2. ↑ (A)。
  3. ↑  是。
  4. ↑  是。
  5. ↑  。
  6. ↑  。 。
  7. ↑  。
  8. ↑  。
  9. ↑  。
  10. ↑  。
  11. ↑  。
  12. ↑  。

课外补充

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分组分解

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 彼此之间并没有公因式，但是如果分成两个部分

 

则 可以改写成 ； 可以改写成 

这时有公因式 ，可以提出 这个公因式：

 

这样的作法叫做“分组分解”。

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