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本章节为了介绍解一元二次方程式的方式,于是我们介绍关于因式的观念,并且利用提公因式作一些式子的因式分解。
因式
编辑定义
编辑设三个多项式 、 、 满足 = ,则称 、 为 的因式。[注 1]
- 如: ,所以 、 都是 的因式。
因式的判断
编辑若多项式 除以多项式 的馀式为 ,则我们称 为 的因式。[注 2]
- 如: 的商式为 ,馀式为 ,所以 是 的因式。
注意
编辑- 若 是任意一个非零常数,则 是一个多项式,而且若 是一个多项式,则 也是一个多项式。又因为 = ,所以 与 都是多项式 的因式。故任意一个非零常数、多项式 的常数倍都是多项式 的因式。
- 例子: 、 、 (圆周率)都是 的因式。
- 若三个多项式 、 、 满足 ,则对于一个非零常数 , ,所以若多项式 为多项式 的因式,则多项式 的常数倍也是多项式 的因式。
- 例子:因为 是 的因式,所以 、 也是 的因式。
- 例子:因为 是 的因式,所以 、 也是 的因式。
小测
公因式
编辑若多项式 是多项式 的因式,也是多项式 的因式,则我们称多项式 是多项式 、 的公因式。
- 如: 是 的因式, 也是 的因式,所以 是 与 的公因式。
因式分解
编辑多项式的因式分解是将一个非零多项式写成两个或多个因式的乘积。
如: , 称作 的因式分解。
已知因式作因式分解
编辑是个可遇不可求的方式,不过搭配之后高中学习的“因式定理”或是“一次因式检验法”,可以帮助我们将更高次多项式作因式分解。
在二次式当中,如果已知某一个一次因式,只要将二次式除以这个因式就能够找到另外一个因式,进而完成因式分解。(就是这两个多项式的乘积。)
例题 已知多项式 有一个因式 ,请因式分解 。
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解
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提出公因式
编辑找出多个式子当中的最高次数公因式,并利用分配律将此公因式提出,剩馀部分合并的方法。
例题 因式分解 。
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解 和 都有公因式 ,故提出 :
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注意:
- 如果系数有公因数的时候可以把它提出去。如虽然 ,不过 的系数 与 有公因数 ,故可以将 提出,得到 。
- 除非有特别要求,一般来说,因式的各项系数都要为整数。
例题 因式分解 。
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解
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注意:
- 在作因式分解的时候,如果最高项系数为负数,我们会将负号提出。
另外有趣的事情是,有的时候可能有超过二次的因式。底下是一个常见的例子。
例题 因式分解 。
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解 和 都有公因式 ,故提出 : |
先变号再提公因式
编辑接下来来看一个看起来好像没有公因式,但实际上只要变号就能够做因式分解的式子。
例题 因式分解 。
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解 可以改写成 , |
注意:
- 。
- 。
- 的奇数次方交换时要加负号,变成 ; 的偶数次方交换时不用加负号,直接改成 。
先提出公因数再因式分解
编辑再来底下是一个看起来好像没有公因式,但实际上只要先提出公因数就能够做因式分解的式子。
例题 因式分解 。
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解 可以改写成 , |
课后习题
编辑注释
编辑习题解答
编辑课外补充
编辑分组分解
编辑彼此之间并没有公因式,但是如果分成两个部分
则 可以改写成 ; 可以改写成
这时有公因式 ,可以提出 这个公因式:
这样的作法叫做“分组分解”。