國中數學/國中數學八年級/3-1 利用提公因式作因式分解

2-3 畢氏定理

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國中數學八年級 3-1 利用提公因式作因式分解

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3-2 利用乘法公式作因式分解

本章節為了介紹解一元二次方程式的方式，於是我們介紹關於因式的觀念，並且利用提公因式作一些式子的因式分解。

因式

定義

設三個多項式$A$、$B$、$C$滿足$A\times B$＝$C$，則稱$A$、$B$為$C$的因式。

• 如：$(x+1)(x-2)=x^{2}-x-2$，所以$x+1$、$x-2$都是$x^{2}-x-2$的因式。

因式的判斷

若多項式$C$除以多項式$A$的餘式為$0$，則我們稱$A$為$C$的因式。

• 如：$(x^{2}+4x+3)\div (x+1)$的商式為$x+3$，餘式為$0$，所以$x+1$是$x^{2}+4x+3$的因式。

注意

1. 若$c$是任意一個非零常數，則$c$是一個多項式，而且若$A$是一個多項式，則${\frac {1}{c}}A$也是一個多項式。又因為$A$＝$c\times ({\frac {1}{c}}A)$，所以$c$與${\frac {1}{c}}A$都是多項式$A$的因式。故任意一個非零常數、多項式$A$的常數倍都是多項式$A$的因式。
   • 例子：$2(x^{2}+x-2)$、${\frac {2}{5}}(x^{2}+x-2)$、$\pi$(圓周率)都是$x^{2}+x-2$的因式。
2. 若三個多項式$A$、$B$、$C$滿足$A\times B=C$，則對於一個非零常數$c$，$C=(cA)\times ({\frac {1}{c}}B)$，所以若多項式$A$為多項式$C$的因式，則多項式$A$的常數倍也是多項式$C$的因式。
   • 例子：因為$x+1$是$x^{2}+4x+3$的因式，所以$2x+2=2(x+1)$、${\frac {2}{5}}x+{\frac {2}{5}}={\frac {2}{5}}(x+1)$也是$x^{2}+4x+3$的因式。
     

小測

答對得到的分數：
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忽略問題的系數：

1 已知$x^{2}+6x+5=(x+1)(x+5)$，請問哪一個是$x^{2}+6x+5$的因式？

	$5x+1$
	$5x+5$
	$5x-1$
	$5x-5$

2 以下哪一個是$x^{2}-2x-8$的因式？

	$x^{2}-2x+8$
	$2x^{2}-2x-8$
	$2x^{2}-4x-16$
	$3x^{2}+6x+24$

公因式

若多項式$A$是多項式$C$的因式，也是多項式$D$的因式，則我們稱多項式$A$是多項式$C$、$D$的公因式。

• 如：$x+1$是$x^{2}+4x+3$的因式，$x+1$也是$x^{2}-x-2$的因式，所以$x+1$是$x^{2}+4x+3$與$x^{2}-x-2$的公因式。

因式分解

多項式的因式分解是將一個非零多項式寫成兩個或多個因式的乘積。

如：$x^{2}+x=x(x+1)$，$x(x+1)$稱作$x^{2}+x$的因式分解。

已知因式作因式分解

是個可遇不可求的方式，不過搭配之後高中學習的「因式定理」或是「一次因式檢驗法」，可以幫助我們將更高次多項式作因式分解。
在二次式當中，如果已知某一個一次因式，只要將二次式除以這個因式就能夠找到另外一個因式，進而完成因式分解。(就是這兩個多項式的乘積。)

例題$1$ 已知多項式$6x^{2}-13x+6$有一個因式$3x-2$，請因式分解$6x^{2}-13x+6$。

解 $(6x^{2}-13x+6)\div (3x-2)=2x-3$，故$6x^{2}-13x+6=(3x-2)(2x-3)$。

提出公因式

找出多個式子當中的最高次數公因式，並利用分配律將此公因式提出，剩餘部分合併的方法。

例題$2$ 因式分解$3x^{2}+4x$。

解 $3x^{2}$和$4x$都有公因式$x$，故提出$x$： $3x^{2}+4x=x\cdot (3x)+x\cdot 4=x(3x+4)$

注意：

1. 如果系數有公因數的時候可以把它提出去。如雖然$4x^{2}+6x=x(4x+6)$，不過$4x+6$的系數$4$與$6$有公因數$2$，故可以將$2$提出，得到$4x^{2}+6x=2x(2x+3)$。
2. 除非有特別要求，一般來說，因式的各項系數都要為整數。

例題$3$ 因式分解$(3x+4)(5x-2)-(3x+4)(6x-5)$。

解 $(3x+4)(5x-2)$和$(3x+4)(6x-5)$都有公因式$3x+4$，故提出$3x+4$： $(3x+4)(5x-2)-(3x+4)(6x-5)=(3x+4)[(5x-2)-(6x-5)]$$=(3x+4)(-x+3)=-(3x+4)(x-3)$。

注意：

• 在作因式分解的時候，如果最高項系數為負數，我們會將負號提出。

另外有趣的事情是，有的時候可能有超過二次的因式。底下是一個常見的例子。

例題$4$ 因式分解$(x+3)^{2}(x-5)+(x+3)(x-5)^{2}$。

解 $(x+3)^{2}(x-5)$和$(x+3)(x-5)^{2}$都有公因式$(x+3)(x-5)$，故提出$(x+3)(x-5)$： $(x+3)^{2}(x-5)+(x+3)(x-5)^{2}=(x+3)(x-5)[(x+3)+(x-5)]=(x+3)(x-5)(2x-2)=2(x+3)(x-5)(x-1)$。

先變號再提公因式

接下來來看一個看起來好像沒有公因式，但實際上只要變號就能夠做因式分解的式子。

例題$5$ 因式分解$(3x+1)(2x-5)+(x+7)(5-2x)$。

解 $(x+7)(5-2x)$可以改寫成$-(x+7)(2x-5)$， $(3x+1)(2x-5)$和$-(x+7)(2x-5)$都有公因式$2x-5$，故提出$2x-5$： $(3x+1)(2x-5)+(x+7)(5-2x)=(2x-5)[(3x+1)-(x+7)]=(2x-5)(2x-6)=2(x-3)(2x-5)$

注意：

1. $b-ax=-(ax-b)$。
2. $(b-ax)^{2}=(ax-b)^{2}$。
3. $b-ax$的奇數次方交換時要加負號，變成$-(ax-b)$；$b-ax$的偶數次方交換時不用加負號，直接改成$ax-b$。

先提出公因數再因式分解

再來底下是一個看起來好像沒有公因式，但實際上只要先提出公因數就能夠做因式分解的式子。

例題$6$ 因式分解$(6x+4)(2x-5)+(3x+2)(2x+1)$。

解 $(6x+4)(2x-5)$可以改寫成$2(3x+2)(2x-5)$， $2(3x+2)(2x-5)$和$(3x+2)(2x+1)$都有公因式$3x+2$，故提出$3x+2$： $(6x+4)(2x-5)+(3x+2)(2x+1)=2(3x+2)(2x-5)+(3x+2)(2x+1)=(3x+2)[2(2x-5)+(2x+1)]$ $=(3x+2)(6x-9)=3(3x+2)(2x-3)$。

課後習題

1. 以下哪一個多項式為$x^{2}-3x-21$的因式？

   ${\begin{matrix}(A)&x+7&&(B)&x-7&&(C)&x+2&&(D)&x-4\end{matrix}}$

2. 以下哪一個多項式為$x^{2}-2x-8$的因式分解？

   ${\begin{matrix}(A)&(x+2)(x-4)&&(B)&x(x-2)-8&&(C)&x(x+2)-4(x+2)&&(D)&x^{2}-2(x+4)\end{matrix}}$

3. 已知$2x^{2}-7x+3=(2x-1)(x-3)$，則以下哪些是$2x^{2}-7x+3$的因式？

   $(1)2x-1$

   $(2)x-3$

   $(3)2x-6$

   $(4)x-1$

   $(5)6x^{2}-21x+9$

   $(6)5$

4. 以下哪些是$6x^{3}$的因式？

   $(1)5$

   $(2)3x$

   $(3)4x^{2}$

   $(4){\frac {1}{2}}x^{3}$

   $(5)2x^{4}$

5. 已知$3x-5$是$3x^{2}-29x+40$的因式，請因式分解$3x^{2}-29x+40$。
6. 設$M=(3x+1)(2x+3)$，$N=(3x-1)(2x+3)$，則：

   $(1)M$和$N$的公因式為何？

   ${\begin{matrix}(A)&3x+1&&(B)&3x-1&&(C)&2x+3&&(D)&2x-3\end{matrix}}$

   $(2)$因式分解$(3x+1)(2x+3)+(3x-1)(2x+3)$。

7. 因式分解$3xy^{2}-6x^{2}y-9xy$。
8. 因式分解$3a(x+3)^{2}-4a^{2}(x+3)$。
9. 因式分解$5(x-7)^{2}-4(7-x)$。
10. 因式分解$2(3x-2)-4(2-3x)^{2}$。
11. 因式分解$225x^{2}-64x$。
12. 因式分解$(3x+2)^{2}-6x-4$。

課外補充

分組分解

$ax+bx+ay+by$彼此之間並沒有公因式，但是如果分成兩個部分

$(ax+bx)+(ay+by)$

則$ax+bx$可以改寫成$x(a+b)$；$ay+by$可以改寫成$y(a+b)$

這時有公因式$(a+b)$，可以提出$(a+b)$這個公因式：

$ax+bx+ay+by=(ax+bx)+(ay+by)=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)$

這樣的作法叫做「分組分解」。