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本章節為了介紹解一元二次方程式的方式,於是我們介紹關於因式的觀念,並且利用提公因式作一些式子的因式分解。
因式
編輯定義
編輯設三個多項式 、 、 滿足 = ,則稱 、 為 的因式。[註 1]
- 如: ,所以 、 都是 的因式。
因式的判斷
編輯若多項式 除以多項式 的餘式為 ,則我們稱 為 的因式。[註 2]
- 如: 的商式為 ,餘式為 ,所以 是 的因式。
注意
編輯- 若 是任意一個非零常數,則 是一個多項式,而且若 是一個多項式,則 也是一個多項式。又因為 = ,所以 與 都是多項式 的因式。故任意一個非零常數、多項式 的常數倍都是多項式 的因式。
- 例子: 、 、 (圓周率)都是 的因式。
- 若三個多項式 、 、 滿足 ,則對於一個非零常數 , ,所以若多項式 為多項式 的因式,則多項式 的常數倍也是多項式 的因式。
- 例子:因為 是 的因式,所以 、 也是 的因式。
- 例子:因為 是 的因式,所以 、 也是 的因式。
小測
公因式
編輯若多項式 是多項式 的因式,也是多項式 的因式,則我們稱多項式 是多項式 、 的公因式。
- 如: 是 的因式, 也是 的因式,所以 是 與 的公因式。
因式分解
編輯多項式的因式分解是將一個非零多項式寫成兩個或多個因式的乘積。
如: , 稱作 的因式分解。
已知因式作因式分解
編輯是個可遇不可求的方式,不過搭配之後高中學習的「因式定理」或是「一次因式檢驗法」,可以幫助我們將更高次多項式作因式分解。
在二次式當中,如果已知某一個一次因式,只要將二次式除以這個因式就能夠找到另外一個因式,進而完成因式分解。(就是這兩個多項式的乘積。)
例題 已知多項式 有一個因式 ,請因式分解 。
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解
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提出公因式
編輯找出多個式子當中的最高次數公因式,並利用分配律將此公因式提出,剩餘部分合併的方法。
例題 因式分解 。
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解 和 都有公因式 ,故提出 :
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注意:
- 如果係數有公因數的時候可以把它提出去。如雖然 ,不過 的係數 與 有公因數 ,故可以將 提出,得到 。
- 除非有特別要求,一般來說,因式的各項係數都要為整數。
例題 因式分解 。
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解
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注意:
- 在作因式分解的時候,如果最高項係數為負數,我們會將負號提出。
另外有趣的事情是,有的時候可能有超過二次的因式。底下是一個常見的例子。
例題 因式分解 。
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解 和 都有公因式 ,故提出 : |
先變號再提公因式
編輯接下來來看一個看起來好像沒有公因式,但實際上只要變號就能夠做因式分解的式子。
例題 因式分解 。
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解 可以改寫成 , |
注意:
- 。
- 。
- 的奇數次方交換時要加負號,變成 ; 的偶數次方交換時不用加負號,直接改成 。
先提出公因數再因式分解
編輯再來底下是一個看起來好像沒有公因式,但實際上只要先提出公因數就能夠做因式分解的式子。
例題 因式分解 。
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解 可以改寫成 , |
課後習題
編輯注釋
編輯習題解答
編輯課外補充
編輯分組分解
編輯彼此之間並沒有公因式,但是如果分成兩個部分
則 可以改寫成 ; 可以改寫成
這時有公因式 ,可以提出 這個公因式:
這樣的作法叫做「分組分解」。