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多項式的定義编辑

多項式,即式子 ,而且若 為正整數,則稱此式為多項式

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名詞解釋编辑

項:多項式中每一個 皆稱之為多項式的項

次數:多項式 中每一項的n為此項的次數

同次項:若有多個多項式,其中每一項的 項稱之為同次項

首項:指多項式的項中次數最大者,若多項式首項為 ,則稱此多項式為 次多項式

項數:顧名思義,即為多項式項的數目

係數:指任意多項式 中的  為多項式

零次多項式(單項式,有時不被視為多項式):指多項式 中, ,而沒有其他 的項,其中 為常數

零多項式:零次多項式中的 者稱

多項式及非多項式编辑

多項式裡面的任意  必須為正整數,否則不能稱之為多項式

以下的式子為多項式:

    

以下的式子不為多項式:

    

習題编辑

多項式的計算编辑

多項式有類似於一般數字的運算,凡舉加減乘除在多項式中都有相對應的算法

 當中間有些項的係數為零時,最好將這些項也給寫出來,以減少錯誤,而寫答案時,係數為零的項可省略不寫

加法编辑

若有兩個多項式  ,它們的同次項可相加,例子如下: 例:  

 

減法编辑

例:  

 

乘法编辑

多項式的乘法, 就是 的每一項,都乘以 的每一項,有次方的就累積。
例: 
則: 

除法编辑

多項式除法,如 除以 ,意即求出商式 和餘式 

使得 ,其中 

多項式長除法编辑

多項式與多項式之間的長除法,步驟類同於數與數之間的長除法

例子:用多項式長除法求解  除以  
如下寫上被除式與除式
 

首先要消掉 這一項, 乘上 是二次多項式,把 記到商式部份

 

 寫到被除式的下方

 

與被除式相減

 

把相減得到的結果看成另外一個被除式,重復以上步驟

 

在這個例子中商式為 ,餘式為0

綜合除法编辑

一般的綜合除法能計算除式形如 的除法。

 

得出形如 的恆等式。

例子:用綜合除法求解 除以 
在頂部寫上被除式的各項系數,左邊寫上k
 

把被除式最高次項的系數寫下來

 

乘上左邊的常數再放上第二行

 

與上面的系數相加,寫到下面

 

重複乘法加法運算,直到除法結束

 

結果得出商式為 ,餘式為 

餘式定理编辑

多項式 除以 的餘式為  

证明餘式定理
由多項式除法得到:

 
因為除式為一次多項式,所以餘式一定是常數,代入 ,得到 

例子:

  除以  的餘式為 
 除以 的餘式為 
 除以 的餘式為 

習題编辑

  1.   除以 的餘式
  2. 用長除法求  除以 的餘式

因式分解编辑

因式分解和整式的乘法一样,是一种整式的恒等变形,但因式分解的结果与整式乘法正好相反.例如有恒等式 从左向右是整式乘法,从右向左是因式分解. 因式分解的基本方法有4种:提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法. 例如: 
首先,先要找和為47、積為396的兩個數,396為36、11之積, 
所以 

習題编辑

最大公因式和最小公倍式编辑

輾轉相除法编辑

方程式求解编辑

若設一個多項式 ,則使此式成立的所有 我們稱之為此多項式的解,而求出此些 的過程稱之為求解,以下為各種求解的方法和一些定理的介紹:

代數基本定理编辑

每個複係數的多項式至少有一個複數解

證明编辑

一次因式檢驗法编辑

根式解编辑

一元二次方程式编辑

任意的一元二次方程式 ,它的解都可用以下公式來表示:  

例子:找出 的所有根
即求 的所有解。

代入 到求根公式,得到:

 

 

 

這個公式也可以應用在二次多項式的因式分解。

例子:因式分解 
從上例中我們得到多項式的根為  and  ,於是多項式可分解成:

 
可見  時等式成立,於是多項式可因式分解為:
 

可是當 時方程根不是實數,不可以因式分解。

配方法编辑

由乘法公式 ,可以對任意一元二次方程式 進行配方,而以上的公式解也是由配方法推導出來的,推導過程如下:

  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
根與係數的關係编辑

設一元二次方程式 的解為w和z,則有以下關係式:

  •  
  •  

這兩個公式由設w和z為符合一元二次方程式公式解的寫法來求出

一元三次方程式编辑

一元四次方程式编辑

根與係數的關係编辑

勘根定理编辑

習題编辑