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多项式的定义

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多项式,即式子 ,而且若 为正整数,则称此式为多项式

 
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名词解释

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项:多项式中每一个 皆称之为多项式的项

次数:多项式 中每一项的n为此项的次数

同次项:若有多个多项式,其中每一项的 项称之为同次项

首项:指多项式的项中次数最大者,若多项式首项为 ,则称此多项式为 次多项式

项数:顾名思义,即为多项式项的数目

系数:指任意多项式 中的  为多项式

零次多项式(单项式,有时不被视为多项式):指多项式 中, ,而没有其他 的项,其中 为常数

零多项式:零次多项式中的 者称

多项式及非多项式

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多项式里面的任意  必须为正整数,否则不能称之为多项式

以下的式子为多项式:

    

以下的式子不为多项式:

    

习题

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多项式的计算

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多项式有类似于一般数字的运算,凡举加减乘除在多项式中都有相对应的算法

 當中間有些項的係數為零時,最好將這些項也給寫出來,以減少錯誤,而寫答案時,係數為零的項可省略不寫

加法

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若有两个多项式  ,它们的同次项可相加,例子如下: 例:  

 

减法

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例:  

 

乘法

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多项式的乘法, 就是 的每一项,都乘以 的每一项,有次方的就累积。
例: 
则: 

除法

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多项式除法,如 除以 ,意即求出商式 和余式 

使得 ,其中 

多项式长除法

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多项式与多项式之间的长除法,步骤类同于数与数之间的长除法

例子:用多项式长除法求解  除以  
如下写上被除式与除式
 

首先要消掉 这一项, 乘上 是二次多项式,把 记到商式部分

 

 写到被除式的下方

 

与被除式相减

 

把相减得到的结果看成另外一个被除式,重复以上步骤

 

在这个例子中商式为 ,余式为0

综合除法

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一般的综合除法能计算除式形如 的除法。

 

得出形如 的恒等式。

例子:用综合除法求解 除以 
在顶部写上被除式的各项系数,左边写上k
 

把被除式最高次项的系数写下来

 

乘上左边的常数再放上第二行

 

与上面的系数相加,写到下面

 

重复乘法加法运算,直到除法结束

 

结果得出商式为 ,余式为 

余式定理

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多项式 除以 的余式为  

证明余式定理
由多项式除法得到:

 
因为除式为一次多项式,所以余式一定是常数,代入 ,得到 

 
Example
例子:

  除以  的余式为 
 除以 的余式为 
 除以 的余式为 

习题

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  1.   除以 的余式
  2. 用长除法求  除以 的余式

因式分解

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因式分解和整式的乘法一样,是一种整式的恒等变形,但因式分解的结果与整式乘法正好相反.例如有恒等式 从左向右是整式乘法,从右向左是因式分解. 因式分解的基本方法有4种:提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法. 例如: 
首先,先要找和为47、积为396的两个数,396为36、11之积, 
所以 

  •  

常数项小于0,首先,先要找和为31、积为—180的两个数,一正一负,—180为—5、36之积, 36+(-5)=36-5=31
所以 


习题

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最大公因式和最小公倍式

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辗转相除法

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方程式求解

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若设一个多项式 ,则使此式成立的所有 我们称之为此多项式的解,而求出此 的过程称之为求解,以下为各种求解的方法和一些定理的介绍:

代数基本定理

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每个复系数的多项式至少有一个复数解

证明

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一次因式检验法

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根式解

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一元二次方程式

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任意的一元二次方程式 ,它的解都可用以下公式来表示:  

例子:找出 的所有根
即求 的所有解。

代入 到求根公式,得到:

 

 

 

这个公式也可以应用在二次多项式的因式分解。

例子:因式分解 
从上例中我们得到多项式的根为  and  ,于是多项式可分解成:

 
可见  时等式成立,于是多项式可因式分解为:
 

可是当 时方程根不是实数,不可以因式分解。

配方法

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由乘法公式 ,可以对任意一元二次方程式 进行配方,而以上的公式解也是由配方法推导出来的,推导过程如下:

  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
根与系数的关系
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设一元二次方程式 的解为w和z,则有以下关系式:

  •  
  •  

这两个公式由设w和z为符合一元二次方程式公式解的写法来求出

根与系数的关系

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勘根定理

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习题

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