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國中數學/國中數學八年級/3-1 利用提公因式作因式分解

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3-1 利用提公因式作因式分解 		► 3-2 利用乘法公式作因式分解　

本章節為了介紹解一元二次方程式的方式，於是我們介紹關於因式的觀念，並且利用提公因式作一些式子的因式分解。

因式

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定義

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設三個多項式 、 、 滿足 ＝ ，則稱 、 為 的因式。[註 1]

  • 如： ，所以 、 都是 的因式。

因式的判斷

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若多項式 除以多項式 的餘式為 ，則我們稱 為 的因式。[註 2]

  • 如： 的商式為 ，餘式為 ，所以 是 的因式。

注意

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  1. 若 是任意一個非零常數，則 是一個多項式，而且若 是一個多項式，則 也是一個多項式。又因為 ＝ ，所以 與 都是多項式 的因式。故任意一個非零常數、多項式 的常數倍都是多項式 的因式。
    • 例子： 、 、 (圓周率)都是 的因式。
  2. 若三個多項式 、 、 滿足 ，則對於一個非零常數 ， ，所以若多項式 為多項式 的因式，則多項式 的常數倍也是多項式 的因式。
    • 例子：因為 是 的因式，所以 、 也是 的因式。

小測

  

1 已知 ，請問哪一個是 的因式？

 
 
 
 

2 以下哪一個是 的因式？

 
 
 
 


公因式

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若多項式 是多項式 的因式，也是多項式 的因式，則我們稱多項式 是多項式 、 的公因式。

  • 如： 是 的因式， 也是 的因式，所以 是 與 的公因式。

因式分解

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多項式的因式分解是將一個非零多項式寫成兩個或多個因式的乘積。

如： ， 稱作 的因式分解。

已知因式作因式分解

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是個可遇不可求的方式，不過搭配之後高中學習的「因式定理」或是「一次因式檢驗法」，可以幫助我們將更高次多項式作因式分解。
在二次式當中，如果已知某一個一次因式，只要將二次式除以這個因式就能夠找到另外一個因式，進而完成因式分解。(就是這兩個多項式的乘積。)

例題 
已知多項式 有一個因式 ，請因式分解 。
解
 ，故 。[註 3]

提出公因式

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找出多個式子當中的最高次數公因式，並利用分配律將此公因式提出，剩餘部分合併的方法。

例題 
因式分解 。
解
 和 都有公因式 ，故提出 ：

 

注意：

  1. 如果係數有公因數的時候可以把它提出去。如雖然 ，不過 的係數 與 有公因數 ，故可以將 提出，得到 。
  2. 除非有特別要求，一般來說，因式的各項係數都要為整數。
例題 
因式分解 。
解
 和 都有公因式 ，故提出 ：

 [註 4] 。

注意：

  • 在作因式分解的時候，如果最高項係數為負數，我們會將負號提出。

另外有趣的事情是，有的時候可能有超過二次的因式。底下是一個常見的例子。

例題 
因式分解 。
解

 和 都有公因式 ，故提出 ：
 。

先變號再提公因式

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接下來來看一個看起來好像沒有公因式，但實際上只要變號就能夠做因式分解的式子。

例題 
因式分解 。
解

 可以改寫成 ，
 和 都有公因式 ，故提出 ：
 

注意：

  1.  。
  2.  。
  3.  的奇數次方交換時要加負號，變成 ； 的偶數次方交換時不用加負號，直接改成 。

先提出公因數再因式分解

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再來底下是一個看起來好像沒有公因式，但實際上只要先提出公因數就能夠做因式分解的式子。

例題 
因式分解 。
解

 可以改寫成 ，
 和 都有公因式 ，故提出 ：
   。

課後習題

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  1. 以下哪一個多項式為 的因式？
     [解答 1]
  2. 以下哪一個多項式為 的因式分解？
     [解答 2]
  3. 已知 ，則以下哪些是 的因式？
     
     
     
     
     
     [解答 3]
  4. 以下哪些是 的因式？
     
     
     
     
     [解答 4]
  5. 已知 是 的因式，請因式分解 。[解答 5]
  6. 設 ， ，則：
     和 的公因式為何？
     
     因式分解 。[解答 6]
  7. 因式分解 。[解答 7]
  8. 因式分解 。[解答 8]
  9. 因式分解 。[解答 9]
  10. 因式分解 。[解答 10]
  11. 因式分解 。[解答 11]
  12. 因式分解 。[解答 12]

注釋

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  1. ↑ 這時，多項式 也會被稱作是多項式 與 的倍式。
  2. ↑ 若多項式 除以多項式 的商式為多項式 ，餘式為 ，則不僅僅多項式 為多項式 的因式，多項式 也為多項式 的因式。
  3. ↑ 多項式的除法請見1-3 多項式的乘除運算。
  4. ↑ 關於這裡的計算，請見七年級教材3-1 一元一次式 。

習題解答

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  1. ↑ (B)。 ，故選(B)。
  2. ↑ (A)。
  3. ↑  是。
  4. ↑  是。
  5. ↑  。
  6. ↑  。 。
  7. ↑  。
  8. ↑  。
  9. ↑  。
  10. ↑  。
  11. ↑  。
  12. ↑  。

課外補充

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分組分解

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 彼此之間並沒有公因式，但是如果分成兩個部分

 

則 可以改寫成 ； 可以改寫成 

這時有公因式 ，可以提出 這個公因式：

 

這樣的作法叫做「分組分解」。

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