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國中數學/國中數學八年級/1-2 多項式的加減運算

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1-2 多項式的加減運算 		► 1-3 多項式的乘除運算　

本章節要來談談數學上很常使用的基本式子：多項式(polynomial)，並且談談它們的加減運算模式。它們的乘除模式留到下一節1-3 多項式的乘除運算講解。

多項式 编辑

在一個式子中，若文字符號(通常是 )與數字只利用加法與乘法做運算而得，那這樣的式子我們稱為多項式。例如： 是由 得到的式子，所以它是一個多項式； 是由 得到的式子，它也是一個多項式。而依此定義，事實上 也是多項式，不過在中學階段，只會學習含有一個文字符號的多項式[註 1]。

多項式的判別 编辑

  1. 多項式是一個式子，所以多項式本身沒有等號。
    •  不是多項式。
  2. 文字符號不能出現在分母，因為它用到了除法[註 2]。可是文字符號可以出現在分子，因為我們在七年級上學期3-1 一元一次式有提到 ，它是一個乘法運算。
    •  、 不是多項式，但 、 是。
  3. 文字符號不能出現在絕對值內。但如果絕對值內沒有未知數的話也是可以的。
    •  、 不是多項式，但 是多項式。
  4. 文字符號不能出現在次方。另外未知數的次方要是正整數或 。
    •  、 不是多項式。
  5. 文字符號不能出現在根號內[註 3]。
    •  不是多項式。

多項式的名詞 编辑

接下來介紹多項式的相關名詞。在底下的介紹若沒有特別說明，我們都是以多項式 為例子。

  1. 項：多項式當中，使用加號（＋）分開的各部分。
    • 在例子 中， ，所以 有三個項： 、 、 。
    • 對於項的辨識，作者建議學生將前面的「運算符號( 與 )」都視為「性質符號」。對於這兩個名詞陌生的同學，請參考國中七年級 1-1 正數與負數的內容。
  2. 單項式(monomial)：只有一個項的多項式[註 4]。
    •  、 、 都是單項式。
  3. 次數：多項式的所有項當中，文字符號次數最大的數字。
    • 在例子 中，所有項次數最大的是 ，它是二次方，所以次數為 。
    • 次數會記錄為 (多項式)，如 。
  4. 係數：每一項出現的數字部分。
    • 在例子 中，各項係數為 、 、 。
    • 各個項的係數可以直接稱呼「 的幾次方項係數」，也可以省略稱呼為「幾次項係數」。如 的 項係數是 ，也可以說二次項係數為 。
    • 沒有文字符號的項稱作常數項(constant term)。
    • 若多項式沒有某一項，則稱該項係數為 。如 沒有 項，所以 項係數是 。
  5. 常數多項式：任何一個數字。如： 、 、 、 、圓周率 。
    • 【課外補充】其中如果不是 的任意數，我們稱作零次多項式；若此多項式為 ，我們稱作零多項式。
  6. 升冪排列：將多項式的項依照次方數由小到大排列。
  7. 降冪排列：將多項式的項依照次方數由大到小排列。是最常使用的排列方式。
    •  為降冪排列，因為次數從 降到 ；而此多項式的升冪排列為 。
例題 

有一個多項式為 ，請問：

  1. 此多項式總共有幾項？
  2. 此多項式各項係數是多少？
  3. 此多項式為幾次多項式？
  4. 此多項式的升冪排列與降冪排列為何？
解
  1. 此多項式總共有 項，它們分別是 、 、 、 。
  2. 各項係數依序為 項係數為 ； 項係數為 ； 項係數為 ，常數項為 
  3. 最高次方為 ，所以是五次多項式。
  4. 此多項式的升冪排列為 ，降冪排列為 。

隨堂練習

有一個多項式為 ，請問：

  1. 此多項式總共有幾項？
  2. 此多項式 項係數是多少？
  3. 此多項式為幾次多項式？
  4. 此多項式的升冪排列與降冪排列為何？[解答 1]

多項式的加法 编辑

多項式的加法運算方式就是同類項合併，搭配去括號規則，可以使用橫式計算也可以使用直式計算。

而介紹同類項合併之前，介紹一下何謂「同類項」： 

 同類項：兩個單項式中，其未知數相同，未知數的次方數也相同。

根據這個定義，以下是幾個例子：

  1.  與 不是同類項，因為它們不是單項式。
  2.  與 不是同類項，因為未知數不相同。
  3.  與 不是同類項，因為未知數的次方數不相同。
  4.  與 是同類項，因為未知數相同，未知數的次方數也相同。
  5.  與 不是同類項，因為雖然未知數相同，但未知數 的次方數不相同， 的次方數也不相同。
  6. 任意兩個常數都是同類項，如圓周率 與 。

接下來就是同類項合併的主要公式了，這裡的 與 都是常數， 可以是任意形式的單項式(只要是相同的即可)：

  1.  
  2.  

底下來做一個練習：

例題 

化簡下列各式：

  1.  
  2.  
解
  1.  。
  2.  。

在上面的例題 的第1題中， ；第2題中， 。


隨堂練習

化簡下列各式：

  1.  
  2.  
  3.  [解答 2]

接下來練習比較複雜的例子：

例題 

化簡下列各式，答案使用降冪排列表示：

  1.  
  2.  
解

 
 


隨堂練習

化簡下列各式：

  1.  
  2.  
  3.  [解答 3]

註解 编辑

  1. ↑ 唯一的例外是二元一次式。
  2. ↑ 如果未知數出現在式子的分母，這樣的式子我們稱之為分式，這是高中會習得的教材。
  3. ↑ 關於根號，請見2-1 二次方根的意義。
  4. ↑ 課外參考資料：維基百科：單項式。

習題解答 编辑

  1. ↑
    1.  項。
    2.  。
    3.  次多項式。
    4.升冪排列為 ；降冪排列為 。
  2. ↑
    1.  
    2.  
    3.  
  3. ↑
    1.  
    2.  
    3.  
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