高中数学/微积分初步/导数与单调性和极值的关系

阅读指南

希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。

预备知识

阅读本节，需要先学习有关函数的单调性、一阶导数的概念与求导法则的知识。

基础知识

导数与单调性

由于导数代表函数在一点处的局部走势情况，我们可以通过导数或导函数的取值正负来判断函数的单调性：

• 如果函数的导数在某一点处取值大于0，说明函数在该点附近应该是单调递增的；如果函数的导数在某一点处取值小于0，说明函数在该点附近应该是单调递减的。
• 如果函数的导函数在整个所考察的区间上都取值大于0，则说明函数在该区间上是单调递增的；如果函数的导函数在整个所考察的区间上都取值小于0，则说明函数在该区间上是单调递减的。

提示：函数的单调性可以使用定义进行判断，也可以使用求导数的方法判断。对于大多数常见的函数，求导的方法会明显快一些。

通过求导法判断单调性，不仅一般速度快，而且能比较方便地判断某些从图象上看不太好分辨的问题。

相关例题1： 求$f(x)=x^{3}$的单调递增区间和单调递减区间。

相关例题2： 利用求导的方法，分别判断下列函数是不是单调函数：

(1)$f(x)=x-\sin x\quad (x>0)$；

(2)$f(x)=\sin x-\tan x\quad (x<0)$；

(3)$f(x)=x-\ln x\quad (x>0)$。

相关例题3： 分析函数$f(x)=x+\sin x$的单调性。

注意：上面这个例子表明，增函数与递减函数或与震荡型函数的和可能仍然为（严格的）增函数。

极值与最值

如果函数f(x)在点a附近有定义，且对于a附近的所有的其它点，都有f(x) < f(a)成立，那么我们就称f(a)是函数f(x)的一个（局部）极大值（local maximum）；反之，如果对a附近的各点都有f(x) > f(a)成立，那么我们就称f(a)是函数f(x)的一个（局部）极小值（local minimum）。极大值和极小值统称为极值（extremum）。

注意：极值是函数在一个点的邻域上的性质，不是在一个单点上的性质。换句话说，不能单从一个点上的函数取值来判断该点是不是极值点、是哪一种极值点，必须结合该点的函数值以及该点邻域内的函数值进行比较判断，然后才能得到结论。取多大的邻域作判断都行，只要能按定义验证是极大值还是极小值即可。当然，我们马上就会讲到，通过导数的正负性判断极值及其类型，比通过极值的原始定义来分析一个点邻域上的函数取值大小要更方便。

提示：(1)英文中只有局部极大值（local maximum）、局部极小值（local minimum）、全局极大值（global maximum）、全局极小值（global minimum）的说法。专门把全局极值叫做最值是汉语的习惯。(2)由于沿袭自拉丁语名词变化规则的缘故，这几个拼写以“-mum”结尾的单数名词，其复数形式的变化规则都是变为“-ma”。感兴趣的读者可查阅拉丁语的第二类名词变格法。

与最大值或最小值不同，一个函数可以存在多个极大值或极小值。

相关例题1： 结合图象特点，分别指出下列函数有无极大值、极小值、最大值、最小值：

(1) $f(x)=-x^{2}-2x+1$；

(2) $f(x)=|(x-1)(x-2)|$；

(3) $f(x)={\frac {1}{x}}$；

(4) $f(x)=x+{\frac {1}{x}}$。

相关例题2： 分别判断下列说法的对错：

(1) 函数可以没有最大值；

(2) 函数可以没有任何极值；

(3) 平移函数图象后，其所有极值点也会跟着一起进行相同的平移；

(4) 极大值中最大的那个一定是函数的最大值；

(5) 函数f(x)有极大值A，那么-f(x)一定有极小值-A；

(6) 奇函数的最大值和最小值一定绝对值大小相同；

(7) 存在有2个极大值但是没有极小值的函数；

(8) 函数f(x)和g(x)都有最大值，所以它们之和f(x)+g(x)也一定有最大值；

(9) 函数f(x)有2个极大值，函数g(x)有1个极大值，那么那么它们之和可能只有1个极大值。

取极值的导数条件

从常见函数图象上，可以观察出下列结论：

当函数f'(x)在点a附近连续时，判断f(a)是极大值或极小值的方法是：

• 如果在x = a的左侧附近始终有f'(x) > 0，右侧附近始终有f'(x) < 0，那么f(a)就是1个极大值。
• 如果在x = a的左侧附近始终有f'(x) < 0，右侧附近始终有f'(x) > 0，那么f(a)就是1个极小值。
• 极值点一定是导数为零的点，反之则未必。

不过导数为0的点不一定是极值点。首先，常函数的导数处处为0，但从图象上看显然没有任何一点明显高于附近的其它点，即它并没有极值点。再以前面分析过单调性的函数$f(x)=x^{3}$为例，它在x=0处的导数是0，但这个x值对应的点也不是极值点。$f(x)=x^{3}$在点(0, f(0))上虽然导数为0，但是在其邻域内是始终单调的。

提示：由于导数为0的点可能对应多种不同情况，我们还会在二阶导数一节对这样的点进行更进一步的分类讨论。

注意：极值点可以出现在函数不可求导或导函数不连续的地方。例如函数f(x) = |x|在x = 0处不可导，但是却取得极小值。这些情形虽然在高中的考试题中不多见（高中常见导数考题中的函数一般都会在定义域内可导且导函数连续），但是对于梳理清楚极值点与导数取值之间的关系来说是非常重要的。

相关例题1： 使用求导法，分别求二次函数在下列形式下的对称轴公式：

(1) 一般形式：$f(x)=ax^{2}+bx+c\quad (a\neq 0,a,b,c\in \mathbb {R} )$；

(2) 顶点式：$f(x)=a(x-h)^{2}+k\quad (h,k\in \mathbb {R} )$；

(3) 两根式：$f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\quad (x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} )$。

相关例题2： 求$f(x)={\frac {1}{3}}x^{3}-4x+4$的极值。

相关例题3： 求函数$f(x)=(x^{2}-1)^{3}+1$的极值。

相关例题4： 求函数$f(x)=x+{\frac {1}{x^{2}}}$的极值。

相关例题5： 不借助辅助角公式，利用导数法求函数$f(x)=A\sin x+B\cos x\quad (A,B\neq 0,x\in \mathbb {R} )$的所有极值点构成的集合。

相关例题6： 分别求下列函数的极值：

(1) $f(x)={\frac {x}{x^{2}+3}}$；

(2) $x^{6}-12x^{3}+16$；

(3) $x^{\frac {1}{2}}-x^{\frac {3}{2}}+6\quad (x>0)$；

(4) $12x^{5}+10x^{3}+15x+18$。

相关例题7： 举例说明即使f(x)存在使得导数取值为0的点，它仍可能是（严格）递增的函数。

不适合优先采用求导判断单调性或极值的问题主要包括：

• 能用复合函数的单调性直接解决的问题。
• 能用基本不等式直接解决的问题。
• 求导以后式子变复杂，难于手工求解的问题。
• 具体解析式还未知或根本不能求导的函数。

相关例题8： 判断求导法是否是求解下列问题的最便捷方法：

(1) 求函数$f(x)=1-{\sqrt {x^{2}+1}}$的极值；

(2) 求函数$f(x)=x^{3}+x^{-3}$的极值；

(3) 求双曲余弦函数$f(x)={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$的极值；

(4) 求函数$f(x)=\tan ^{4}x$的极值；

(5) 求函数$f(x)={\frac {1}{x(x-2)}}$的极值。

常用结论与常见模型

简化求导分析单调性的方法常用包括：

• 先化简后求导。
• 有时可以利用函数的奇偶性（或广义奇偶性）简化对称区间上的单调性分析。
• 有时可以利用函数图象平移的性质简化问题。例如求$f(x)={\frac {x-1}{e^{x-1}}}$的极值点等价于先求$g(x)={\frac {x}{e^{x}}}$的极值点，再将得到g(x)的极值点向右平移1个单位，就得到f(x)的极值点。
• 考虑到极值点就是导函数的零点。如果极值点不好求但是数目很少，可以用波尔查诺二分法估计导函数的零点位置。

我们挑一部分例子在这里作介绍。

根据形式特点求极值

相关例题1： 求函数$f(x)={\sqrt {x^{3}+2x^{2}+1}}$的极值。

相关例题2： 求函数$f(x)=e^{\sin ^{3}2x\cos ^{3}x}$的极值。

相关例题3： 求函数$f(x)={\sqrt {x}}(x-4)$的极值。

相关例题4： 求函数$f(x)=|4x^{2}||x^{2}-2|$的极值。

相关例题5： 已知实数轴上的3个数a = -2、b = 1、c = 4。

(1) 求数轴上到这3个点距离之和最小的数。

(2) 求数轴上到这3个点距离的平方和最小的数。

相关例题6： 已知平面上的2个点A(1, 0)、B(2, 0)和直线L：y = x。

(1) 求直线L上到A、B这2点距离的平方之和的最小值p。

(2) 判断前一问中的p是不是也是直线L上到A、B这2个点距离之和的最小值。

知识背景：(1)若去除所考察的点必须在给定直线上运动的条件，上述问题实际上都可视作费马点的求解问题。(2)上述求直线距离和的最值的问题会因为遇到难以处理的绝对值或根号，导致问题难于利用导数进行直接计算。当涉及的点的数量增加时（例如求到5个定点的最短距离和），手工分析讨论的复杂程度会更加大。相比之下，如果要求最值的是距离的平方和，则会因平方项都易于求导而容易不少。这是一种“高维距离”比“低维距离”更好讨论的例子。读者以后在学习随机游走理论时，也会遇到非常类似的情况。

需要多次求导的问题

判断函数单调性时，如果遇到极值点不易求出的情况，就可能需要多次求导，以便估计极值点的数量和位置。这种需要多次求导的问题常见于涉及导数的不等式证明问题中，是解决考试中的导数压轴题的常用技巧。考试中常见的这类问题一般会同时涉及多项式、对数函数、指数函数的和与差，求导以后另一阶导数为零得到的仍然是一个不能精确求解的超越方程（即求不出解析解），换句话说求导一次后还不能直接求出极值点的精确表达式，只能再通过继续求导、不等式放缩等其它补救方法估计极值点的数量和位置。

相关例题1： 判断函数$f(x)=e^{x}-x^{2}-2x-1$的极值点个数。

提示：对一阶导函数再次求导的结果也被叫做二阶导数。更多相关知识，可以参见二阶导数的一般性讨论。

补充习题

外部链接

维基百科中的相关条目：

极值