由两角和的三角函数公式,容易得到如下的二倍角公式(double-angle identities)[1]:
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注意:二倍角公式只适合将角执行一分为二的变形,三倍角和多倍角的三角函数另可推导出专门的公式。二倍角公式与三倍角公式、多倍角公式的形式都差别较大,不能直接认为也有 成立。
我们先看无特殊限制条件的简单求值问题。这种题目大部分难度不大,初学时需要留意的是同时混有三种及以上三角函数的问题。一般这类混有正/余弦、正切的代数式或等式应该利用上关系式 ,尽量往只含有正弦或余弦符号的方向化简,即抓住“弦化切”的思路。只有一些特殊情形是需要反其道而行之,即进行“切化弦”的,我们等遇到了再讲。
相关例题1:
下列各式中,与 相等的是( )。
- A. ;B. ;C. ;D.
相关例题2:
计算或化简下列各式:
- (1) ;
- (2) ;
- (3) ;
- (4) ;
- (5) ;
- (6) 。
- (7) ;
- (8) ;
- (9) 。
相关例题3:
下列各式中,结果为 的是( )。
- A. ;B. ;C. ;D.
相关例题4:
求证: 。
相关例题5:
求函数 的最大值。
(提示:此题也可以使用柯西不等式求解。)
相关例题6:
求同时满足 的x的取值范围。
相关例题7:
已知 ,则下列选项中与 始终相等的是( )。
- A. ;B. ;C. ;D.
解决条件求值问题则需要在化简或变形时紧密结合条件特点。
相关例题8:
已知 ,求 的值。
相关例题9:
已知 ,求 的值。
相关例题10:
已知 ,求 的值。
相关例题11:
已知 ,求 的值。
相关例题12:
已知 。
- (1) 求 的值。
- (2) 求 的值。
相关例题13:
已知 ,求 的值。
相关例题14:
已知 ,求 的值。
相关例题15:
已知A和B是锐角,且满足 ,求证: 。
相关例题16:
已知 。
- (1) 求 的值。
- (2) 求 的值。
相关例题17:
在平面直角坐标系xOy中,角A的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边经过点 。再以角A的终边为始边,逆时针旋转 得到角B。
- (1) 求 的值。
- (2) 求 的值。
有时候通过初步的化简只能得到 这样的关系式,这时还可以结合已知角度范围和隐含条件毕氏三角学恒等式 联立方程得到所求角度的正余弦值。
相关例题18:
已知 ,求 的值。
答案: 。
相关例题19:
已知 ,求 的值。
相关例题20:
已知 ,求 的值。
相关例题21:
已知 ,求 的值。
相关例题22:
设函数 。
- (1) 求 的值。
- (2) 已知 ,求 的值。
相关例题23:
已知角A的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y = 2x上。
- (1) 求 的值。
- (2) 已知 ,求 的值。
由二倍角公式,容易得到以下的半角公式(half-angle identities)[1]:
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-
-
上述的半角公式也叫做升幂公式。
升幂公式的常见变形为降幂公式:
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-
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相关例题1:
计算 。
相关例题2:
求函数 的最小正周期。
相关例题3:
已知 ,化简: 。
相关例题4:
已知 。
- (1) 求 的值。
- (2) 求 的值。
相关例题5:
已知A为钝角,B为钝角,且满足 。
- (1) 求 的值。
- (2) 求 的值。
数学家李善兰(1810年-1882年)曾命名如下的辅助角公式:
形如 (a、b不同时为零)的式子可引入辅助角 并逆用两角和的公式变形为 或 的形式:
-
其中辅助角 所在的象限由a、b的符号决定, 的值由 确定。
提示:辅助角公式虽然很常用,但是并没有正式的外文名称。
相关例题1:
下列函数中,以 为最小正周期的是( )。
- A. ;B. ;C. ;D.
相关例题2:
已知 ,求A和b的值。
解答:
将上述结果与 比较系数可得:A = 2, b = 1。
相关例题3:
求函数 的值域。
答案: 。
相关例题4:
求函数 的最大值。
解答:
答案: 。
辅助角公式在物理学中常用于合成同频率的简谐波函数。
知识背景:如果不使用添加辅助角的做法也可以通过利用波动理论中会学到的“旋转矢量法”并结合解三角形的方法求解合成结果。这种基于矢量的几何法直观,但是不如使用辅助角公式的代数方法快捷。我们也会在介绍复数与三角学的章节里继续讨论这一做法。
相关例题5:
求函数 的最大值。
我们集中列出考试中最常用的三角函数变换公式:
由于这些公式都是从和角公式和差角公式推出来的,原则上只要知道和角公式和差角公式,就可以推出其它公式。但是由于考试的时间限制,熟记这些衍生公式也并无坏处。读者应该在练习习题的过程中反复熟悉它们,而非一味死记硬背。此外,和差化积、积化和差公式、万能公式也比较有名,但是在高中阶段的考试和实际应用中都不如上述公式常用。
提示:不少教科书上会列出大量的“诱导公式”[2]。这些诱导公式都可以通过和角公式和差角公式快速得到,并无记忆的价值。
相关例题1:
已知 ,求 的值。
相关例题2:
已知 ,求 的值。
相关例题3:
已知 ,求 的值。
相关例题4:
已知 ,求 的值。
相关例题5:
已知 ,求 的值。
相关例题6:
已知 ,求 的值。
相关例题7:
已知 。
- (1) 求 的值。
- (2) 求 的值。
相关例题8:
已知 。
- (1) 求 和 的值。
- (2) 求 和 的值。
相关例题8:
求证正弦与余弦的下列平方差公式:
- (1) ;
- (2) 。
有的问题只要设法同时拼凑出 与 之和,再套用毕氏三角学恒等式 替换掉成对的正余弦平方和,即可基本解决问题。
相关例题1:
已知 ,求 的值。
相关例题2:
已知 ,求 的值。
相关例题3:
已知 ,求 的值。
相关例题4:
已知 ,求 的值。
相关例题5:
已知 。
- (1) 求 的值。
- (2) 求 的值。
有一类“正余弦组成的齐次分式”问题需要对分子和分母同除以 或 ,将正余弦反过来化为正切的形式。
相关例题6:
已知 ,求 的值。
相关例题7:
已知 ,求 的值。
当计算或化简的分式不是齐次式时,有时也可以通过对“1”的分解构造齐次式。由于 ,所以单独出现的“1”可以被转换为三角函数的2次项。
相关例题8:
计算或化简下列各式:
- (1)
- (2)
相关例题9:
已知 ,求 的值。
相关例题10:
已知 ,求 的值。
相关例题11:
已知 。
- (1) 求 的值。
- (2) 求 的值。
相关例题1:
已知函数 。
- (1) 求函数 的最大值以及取得最大值时相应的x的集合。
- (2) 若 ,求 的值。
答案:(1)当 时,函数f(x)取得最大值1;(2) 。
相关例题2:
设函数 。
- (1) 求函数 的最大值及取得最大值时x的集合。
- (2) 若 ,求 的值。
答案:(1)当 时,函数f(x)取得最大值2;(2) 。
相关例题1:
已知函数 ,则下列说法中正确的是( )。
- A.存在 ,当 时,有 成立。
- B. 在区间 上单调递增。
- C.函数 的图象关于点 对称。
- D.函数 的图象关于直线 对称。
相关例题2:
求函数 在区间 上的最大值。
相关例题3:
设函数 。
- (1) 求 的最小正周期。
- (2) 分析 在区间 上的单调性。
相关例题4:
设函数 。
- (1) 求函数 的最小正周期和单调递增区间。
- (2) 若 是函数 的2个零点,求 的最小值。
相关例题:
求函数 的最小值。
相关例题1:
已知函数 图象的一条对称轴是直线 ,求a的值。
相关例题2:
已知 ,求实数m的值。
相关例题3:
已知A是第三象限的角,且满足 ,求实数m的值。
需要求解或化简的公式具有与三角恒等式一致的形式时,可以考虑采用三角换元的方法,将其换元后变为三角函数的变换问题处理。就中学阶段而言,在后面涉及极坐标与参数方程的章节中,也会看到一些三角换元法的应用。
相关例题:
求函数 的最大值。
相关例题1:
已知等腰三角形的一个底角的余弦值为 ,求这个三角形顶角的正弦值。
相关例题2:
已知三角形ABC满足 ,则此三角形的形状是( )。
- A.等边三角形;B.等腰三角形;C.等腰直角三角形;D.直角三角形
相关例题3:
已知三角形ABC满足 ,则此三角形的形状是( )。
- A.等腰三角形;B.直角三角形;C.等腰直角三角形;D.等腰三角形或直角三角形
相关例题4:
已知三角形ABC的3个内角满足条件 ,求证: 。