万能公式也叫正切半角公式(tangent half-angle formulas),是一组只用正切函数表示其它三角函数的公式统称,它们形式相似,都只含有原角大小一半的正切值。
求一个角的三倍的三角函数值,可以套用2次二倍角公式,从而得到三倍角公式(formulae for triple angles)。
三倍角的正、余弦公式还有另一种形式,但需要在推导过程中对2个同类型三角函数之和或之差使用和差化积技巧:
三倍角的常见公式列举如下:
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上述正弦和余弦的三倍角公式的前半部分都比较简单,考试时万一需要用到,完全可以现场推导;后半部分形式统一,比较好记,但是推导步骤较多。
相关例题:在三角形ABC中,角A、B、C的对边长度分别是a、b、c。已知 ,求c的值。
答案: 。
n倍角的正弦、余弦公式是比较繁琐的求和式,需要使用二项式系数表示,求和时还需要区分奇数情形与偶数情形:
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上式中的求和指标k应该取遍满足式子中奇偶条件的所有不超过n的非负整数。
巴夫努提·切比雪夫通过递归求解的思路,也得到了同样的结果。
例如,他将 写成 、 和 的如下递推式:
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类似地,还有:
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知识背景: 和 满足的函数关系 是一种以n为参数的知名多项式,叫做第一类切比雪夫多项式。