高中數學/函數與三角/萬能公式與多倍角相關公式

閱讀指南

本節介紹的內容屬於高中數學的拓展知識，並不要求大多數中學生了解。

萬能公式在後續的積分學課程中會有一定的用途，是三角換元的一種常見技巧。三倍角公式則不是很重要，也不需要記憶，但其推導不算複雜，可以作為提升基礎的例題。

基礎知識

萬能公式

萬能公式也叫正切半角公式（tangent half-angle formulas），是一組只用正切函數表示其它三角函數的公式統稱，它們形式相似，都只含有原角大小一半的正切值。

$\sin 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1+\tan ^{2}\alpha }}$

$\cos 2\alpha ={\frac {1-\tan ^{2}\alpha }{1+\tan ^{2}\alpha }}$

$\tan 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}$

三倍角的正弦、餘弦、正切公式

求一個角的三倍的三角函數值，可以套用2次二倍角公式，從而得到三倍角公式（formulae for triple angles）。

${\begin{aligned}\sin(3x)&=\sin(2x+x)\\&=\sin(2x)\cos x+\cos(2x)\sin x\\&=(2\sin x\cos x)\cos x+(1-2\sin ^{2}x)\sin x\\&=2\sin x\cos ^{2}x+\sin x-2\sin ^{3}x\\&=2\sin x(1-sin^{2}x)+\sin x-2\sin ^{3}x\\&=2\sin x-2\sin ^{3}x+\sin x-2\sin ^{3}x\\&=3\sin x-4\sin ^{3}x\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\cos(3x)&=\cos(2x+x)\\&=\cos(2x)\cos x-\sin(2x)\sin x\\&=(1-2\sin ^{2}x)\cos x-(2\sin x\cos x)\sin x\\&=\cos x-2\sin ^{2}x\cos x-2\sin ^{2}x\cos x\\&=\cos x-4\sin ^{2}x\cos x\\&=\cos x-4(1-\cos ^{2}x)\cos x\\&=\cos x-4\cos x+4\cos ^{2}x\cos x\\&=4\cos ^{3}x-3\cos x\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\tan(3x)&=\tan(2x+x)\\&={\frac {\tan(2x)+\tan x}{1-\tan(2x)\tan x}}\\&={\frac {{\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}+\tan x}{1-{\frac {2\tan x}{1-tan^{2}x}}\tan x}}\\&={\frac {\frac {2\tan x+(1-\tan ^{2}x)\tan x}{1-tan^{x}}}{\frac {(1-tan^{2}x)-2\tan x\tan x}{1-tan^{x}}}}\\&={\frac {2\tan x+\tan x-\tan ^{2}x\tan x}{1-tan^{2}x-2\tan ^{2}x}}\\&={\frac {3\tan x-\tan ^{3}x}{1-3\tan ^{2}x}}\end{aligned}}$

三倍角的正、餘弦公式還有另一種形式，但需要在推導過程中對2個同類型三角函數之和或之差使用和差化積技巧：

${\begin{aligned}\sin(3x)&=3\sin x-4\sin ^{3}x\\&=4(\sin x)({\frac {3}{4}}-\sin ^{2}x)\\&=4\sin x(({\frac {\sqrt {3}}{2}})^{2}-\sin ^{2}x)\\&=4\sin x(\sin ^{2}{\frac {\pi }{3}}-\sin ^{2}x)\\&=4\sin x(\sin {\frac {\pi }{3}}+\sin x)(\sin {\frac {\pi }{3}}-\sin x)\\&=4\sin x\cdot 2\sin({\frac {\pi }{6}}+{\frac {x}{2}})\cos({\frac {\pi }{6}}-{\frac {x}{2}})\cdot 2\sin({\frac {\pi }{6}}-{\frac {x}{2}})\cos({\frac {\pi }{6}}+{\frac {x}{2}})\\&=4\sin x\cdot 2\sin({\frac {\pi }{6}}+{\frac {x}{2}})\cos({\frac {\pi }{6}}+{\frac {x}{2}})\cdot 2\sin({\frac {\pi }{6}}-{\frac {x}{2}})\cos({\frac {\pi }{6}}-{\frac {x}{2}})\\&=4\sin x\cdot \sin(2({\frac {\pi }{6}}+{\frac {x}{2}}))\cdot \sin(2({\frac {\pi }{6}}-{\frac {x}{2}}))\\&=4\sin x\sin({\frac {\pi }{3}}+x)\sin({\frac {\pi }{3}}-x)\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\cos(3x)&=4\cos ^{3}x-3\cos x\\&=4\cos x(\cos ^{2}x-{\frac {3}{4}})\\&=4\cos x(\cos ^{2}x-({\frac {\sqrt {3}}{2}})^{2})\\&=4\cos x(\cos ^{2}x-\cos ^{2}{\frac {\pi }{6}})\\&=4\cos x(\cos x+\cos {\frac {\pi }{6}})(\cos x-\cos {\frac {\pi }{6}})\\&=4\cos x\cdot 2\cos({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{12}})\cos({\frac {x}{2}}-{\frac {\pi }{12}})\cdot (-2\sin({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{12}})\sin({\frac {x}{2}}-{\frac {\pi }{12}}))\\&=4\cos x\cdot 2\sin({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{12}})\cos({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{12}})\cdot (-2\sin({\frac {x}{2}}-{\frac {\pi }{12}})\cos({\frac {x}{2}}-{\frac {\pi }{12}}))\\&=4\cos x\cdot \sin(2({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{12}}))\cdot (-\sin(2({\frac {x}{2}}-{\frac {\pi }{12}})))\\&=4\cos x\cdot \sin(x+{\frac {\pi }{6}})\cdot (-\sin(x-{\frac {\pi }{6}}))\\&=4\cos x\sin({\frac {\pi }{6}}+x)\sin({\frac {\pi }{6}}-x)\\&=4\cos x\cos({\frac {\pi }{2}}-({\frac {\pi }{6}}+x))\cos({\frac {\pi }{2}}-({\frac {\pi }{6}}-x))\\&=4\cos x\cos({\frac {\pi }{3}}-x)\cos({\frac {\pi }{3}}+x)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\tan 3x&={\frac {\sin 3x}{\cos 3x}}\\&={\frac {4\sin x\cdot \sin({\frac {\pi }{3}}+x)\cdot \sin({\frac {\pi }{3}}-x)}{4\cos x\cos({\frac {\pi }{3}}-x)\cos({\frac {\pi }{3}}+x)}}\\&={\frac {\sin x}{\cos x}}\cdot {\frac {\sin({\frac {\pi }{3}}+x)}{\cos({\frac {\pi }{3}}+x)}}\cdot {\frac {\sin({\frac {\pi }{3}}-x)}{\cos({\frac {\pi }{3}}-x)}}\\&=\tan x\tan({\frac {\pi }{3}}+x)\tan({\frac {\pi }{3}}-x)\end{aligned}}$

三倍角的常見公式列舉如下：

• $\sin(3x)=3\sin x-4\sin ^{3}x=4\sin x\sin({\frac {\pi }{3}}+x)\sin({\frac {\pi }{3}}-x)$
• $\cos(3x)=4\cos ^{3}x-3\cos x=4\cos x\cos({\frac {\pi }{3}}-x)\cos({\frac {\pi }{3}}+x)$
• $\tan 3x=\tan x\tan({\frac {\pi }{3}}+x)\tan({\frac {\pi }{3}}-x)$

上述正弦和餘弦的三倍角公式的前半部分都比較簡單，考試時萬一需要用到，完全可以現場推導；後半部分形式統一，比較好記，但是推導步驟較多。

相關例題：在三角形ABC中，角A、B、C的對邊長度分別是a、b、c。已知$a=32,b={\sqrt {2}},A=2B$，求c的值。

解答：由正弦定理可知：
${\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {32}{\sin 2B}}={\frac {16{\sqrt {2}}}{\sin B}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {32}{2\sin B\cos B}}={\frac {16{\sqrt {2}}}{\sin B}}\quad \Rightarrow \quad \cos B={\frac {\sqrt {2}}{2}}$
因為$\sin B>0$，所以$\sin B={\sqrt {1-\cos ^{2}B}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}$。
再用一次正弦定理可得：
${\frac {c}{\sin C}}={\frac {b}{\sin B}}\quad \Rightarrow \quad c={\frac {b\sin C}{\sin B}}={\frac {32\times \sin(A+B)}{2}}=16\sin(3B)$
使用正弦函數的三倍角公式可得：
$c=16\sin(3B)=16(3\sin B-4\sin ^{3}B)=16(3\times {\frac {\sqrt {2}}{2}}-4({\frac {\sqrt {2}}{2}})^{3})=8{\sqrt {2}}$

答案：$8{\sqrt {2}}$。

多倍角公式簡介

n倍角的正弦、餘弦公式是比較繁瑣的求和式，需要使用二項式係數表示，求和時還需要區分奇數情形與偶數情形：

${\begin{aligned}\sin(n\theta )&=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta \\\cos(n\theta )&=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta \end{aligned}}$

上式中的求和指標k應該取遍滿足式子中奇偶條件的所有不超過n的非負整數。

巴夫努提·切比雪夫通過遞歸求解的思路，也得到了同樣的結果。

例如，他將$\cos(nx)$寫成$\cos((n-1)x)$、$\cos((n-2)x)$和$\cos x$的如下遞推式：

$\cos(nx)=2\cdot \cos x\cdot \cos((n-1)x)-\cos((n-2)x)$

類似地，還有：

$\sin(nx)=2\cdot \cos x\cdot \sin((n-1)x)-\sin((n-2)x)$

$\tan(nx)={\frac {\tan((n-1)x)+\tan x}{1-\tan((n-1)x)\tan x}}$

知識背景：$\cos(n\theta )$和$\cos \theta$滿足的函數關係$T_{n}(x)=f_{n}(\cos \theta )$是一種以n為參數的知名多項式，叫做第一類切比雪夫多項式。

補充習題

外部連結

維基百科中的相關條目：

萬能公式