函数可以在不同的几个定义域上分别单独给出定义,这样表示的函数叫做分段函数(piecewise function)。分段函数最常用于表达某些人为构造的函数例子,例如图象有间断点的函数、各子区域上对应法则各不相同的函数。某些特殊方程在不同的情形下有不同的解,这时也会需要用到分段函数的形式表示。
高中阶段涉及分段函数的常见题型是求值题和解方程题。
这里列举一些典型的求值时需要多次迭代分段函数的问题。还有一些同类型的多次求值问题涉及函数的递推关系式,我们会在学习周期函数的章节中继续补充此类问题。
相关例题1:设 ,求 的值。
相关例题2:已知 ,则 的等价表达式为( )。
A.
B.0
C.
D.
相关例题3:设 ,求 的值。
相关例题1:已知函数 ,若 ,求 的值。
相关例题2:已知函数 ,且 ,求 的值。
相关例题3:已知函数 ,求方程 的解。
函数可以彼此相互嵌套,形成复合函数(composite function),其嵌套的过程叫做函数复合(function composition)。 和 的复合函数 可以记作 。函数的内部发生换元或嵌入其它函数后,定义域一般也会有对应变化。
相关例题1:已知函数 ,求函数 的表达式。
相关例题2:已知函数 的定义域为[-2, 1],求函数 的定义域。
相关例题3:已知 的定义域为[-2, 2],求 的定义域。
相关例题4:已知函数 的定义域为[0, 2],求函数 的定义域。
相关例题5:已知 是一次函数,且 ,求 的表达式。
相关例题6:已知函数 满足 ,求 的表达式。
相关例题7:若函数 ,且 ,求a的值。
原函数与其反函数的图象关于特殊直线 一定是轴对称的。