高中數學/函數與三角/分段函數、複合函數與反函數的概念

閱讀指南

基礎知識

分段函數

函數可以在不同的幾個定義域上分別單獨給出定義，這樣表示的函數叫做分段函數（piecewise function）。分段函數最常用於表達某些人為構造的函數例子，例如圖象有間斷點的函數、各子區域上對應法則各不相同的函數。某些特殊方程在不同的情形下有不同的解，這時也會需要用到分段函數的形式表示。

高中階段涉及分段函數的常見題型是求值題和解方程題。

分段函數的多輪迭代求值

這裡列舉一些典型的求值時需要多次迭代分段函數的問題。還有一些同類型的多次求值問題涉及函數的遞推關係式，我們會在學習周期函數的章節中繼續補充此類問題。

相關例題1：設 $f(x)=\left\{{\begin{array}{l}|x-1|-2,\quad |x|\leq 1\\{\frac {1}{1+x^{2}}},\quad |x|>1\end{array}}\right.$ ，求 $f(f({\frac {1}{2}}))$ 的值。

相關例題2：已知 $f(x)={\frac {1}{2}}(x+|x|)$ ，則 $f(f(x))$ 的等價表達式為( )。
A. $x+\left\vert x\right\vert$
B.0
C. $\left\{{\begin{array}{l}x,\quad x\leq 2\\0,\quad x>2\end{array}}\right.$
D. $\left\{{\begin{array}{l}x,\quad x\geq 2\\0,\quad x<2\end{array}}\right.$

相關例題3：設 $f(x)=\left\{{\begin{array}{l}2x-1,\quad x\geq 2\\f(f(x+1))+1,\quad x<2\end{array}}\right.$ ，求 $f(1)$ 的值。

包含分段函數的解方程題

相關例題1：已知函數 $f(x)=\left\{{\begin{array}{l}x(x+4),\quad x\geq 0\\x(x-4),\quad x<0\end{array}}\right.$ ，若 $f(x)=12$ ，求 $x$ 的值。

相關例題2：已知函數 $f(x)=\left\{{\begin{array}{l}x^{2}-1,\quad x\leq 0\\2x-1,\quad x>0\end{array}}\right.$ ，且 $f(a)=1$ ，求 $a$ 的值。

相關例題3：已知函數 $f(x)=\left\{{\begin{array}{l}x+2,\quad x\leq 0\\-x+2,\quad x>0\end{array}}\right.$ ，求方程 $f(x)=x^{2}$ 的解。

函數的簡單複合與還原

函數可以彼此相互嵌套，形成複合函數（composite function），其嵌套的過程叫做函數複合（function composition）。 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的複合函數 $f(g(x))$ 可以記作 $g\cdot f$ 。函數的內部發生換元或嵌入其它函數後，定義域一般也會有對應變化。