函數可以在不同的幾個定義域上分別單獨給出定義,這樣表示的函數叫做分段函數(piecewise function)。分段函數最常用於表達某些人為構造的函數例子,例如圖象有間斷點的函數、各子區域上對應法則各不相同的函數。某些特殊方程在不同的情形下有不同的解,這時也會需要用到分段函數的形式表示。
高中階段涉及分段函數的常見題型是求值題和解方程題。
這裏列舉一些典型的求值時需要多次迭代分段函數的問題。還有一些同類型的多次求值問題涉及函數的遞推關係式,我們會在學習周期函數的章節中繼續補充此類問題。
相關例題1:設 ,求 的值。
相關例題2:已知 ,則 的等價表達式為( )。
A.
B.0
C.
D.
相關例題3:設 ,求 的值。
相關例題1:已知函數 ,若 ,求 的值。
相關例題2:已知函數 ,且 ,求 的值。
相關例題3:已知函數 ,求方程 的解。
函數可以彼此相互嵌套,形成複合函數(composite function),其嵌套的過程叫做函數複合(function composition)。 和 的複合函數 可以記作 。函數的內部發生換元或嵌入其它函數後,定義域一般也會有對應變化。
相關例題1:已知函數 ,求函數 的表達式。
相關例題2:已知函數 的定義域為[-2, 1],求函數 的定義域。
相關例題3:已知 的定義域為[-2, 2],求 的定義域。
相關例題4:已知函數 的定義域為[0, 2],求函數 的定義域。
相關例題5:已知 是一次函數,且 ,求 的表達式。
相關例題6:已知函數 滿足 ,求 的表達式。
相關例題7:若函數 ,且 ,求a的值。
原函數與其反函數的圖象關於特殊直線 一定是軸對稱的。