由兩角和的三角函數公式,容易得到如下的二倍角公式(double-angle identities)[1]:
-
-
-
注意:二倍角公式只適合將角執行一分為二的變形,三倍角和多倍角的三角函數另可推導出專門的公式。二倍角公式與三倍角公式、多倍角公式的形式都差別較大,不能直接認為也有 成立。
我們先看無特殊限制條件的簡單求值問題。這種題目大部分難度不大,初學時需要留意的是同時混有三種及以上三角函數的問題。一般這類混有正/餘弦、正切的代數式或等式應該利用上關係式 ,儘量往只含有正弦或餘弦符號的方向化簡,即抓住「弦化切」的思路。只有一些特殊情形是需要反其道而行之,即進行「切化弦」的,我們等遇到了再講。
相關例題1:
下列各式中,與 相等的是( )。
- A. ;B. ;C. ;D.
相關例題2:
計算或化簡下列各式:
- (1) ;
- (2) ;
- (3) ;
- (4) ;
- (5) ;
- (6) 。
- (7) ;
- (8) ;
- (9) 。
相關例題3:
下列各式中,結果為 的是( )。
- A. ;B. ;C. ;D.
相關例題4:
求證: 。
相關例題5:
求函數 的最大值。
(提示:此題也可以使用柯西不等式求解。)
相關例題6:
求同時滿足 的x的取值範圍。
相關例題7:
已知 ,則下列選項中與 始終相等的是( )。
- A. ;B. ;C. ;D.
解決條件求值問題則需要在化簡或變形時緊密結合條件特點。
相關例題8:
已知 ,求 的值。
相關例題9:
已知 ,求 的值。
相關例題10:
已知 ,求 的值。
相關例題11:
已知 ,求 的值。
相關例題12:
已知 。
- (1) 求 的值。
- (2) 求 的值。
相關例題13:
已知 ,求 的值。
相關例題14:
已知 ,求 的值。
相關例題15:
已知A和B是銳角,且滿足 ,求證: 。
相關例題16:
已知 。
- (1) 求 的值。
- (2) 求 的值。
相關例題17:
在平面直角坐標系xOy中,角A的頂點與坐標原點O重合,始邊與x軸的非負半軸重合,它的終邊經過點 。再以角A的終邊為始邊,逆時針旋轉 得到角B。
- (1) 求 的值。
- (2) 求 的值。
有時候通過初步的化簡只能得到 這樣的關係式,這時還可以結合已知角度範圍和隱含條件畢氏三角學恆等式 聯立方程得到所求角度的正餘弦值。
相關例題18:
已知 ,求 的值。
答案: 。
相關例題19:
已知 ,求 的值。
相關例題20:
已知 ,求 的值。
相關例題21:
已知 ,求 的值。
相關例題22:
設函數 。
- (1) 求 的值。
- (2) 已知 ,求 的值。
相關例題23:
已知角A的頂點與坐標原點重合,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊在直線y = 2x上。
- (1) 求 的值。
- (2) 已知 ,求 的值。
由二倍角公式,容易得到以下的半角公式(half-angle identities)[1]:
-
-
-
上述的半角公式也叫做升冪公式。
升冪公式的常見變形為降冪公式:
-
-
-
相關例題1:
計算 。
相關例題2:
求函數 的最小正周期。
相關例題3:
已知 ,化簡: 。
相關例題4:
已知 。
- (1) 求 的值。
- (2) 求 的值。
相關例題5:
已知A為鈍角,B為鈍角,且滿足 。
- (1) 求 的值。
- (2) 求 的值。
數學家李善蘭(1810年-1882年)曾命名如下的輔助角公式:
形如 (a、b不同時為零)的式子可引入輔助角 並逆用兩角和的公式變形為 或 的形式:
-
其中輔助角 所在的象限由a、b的符號決定, 的值由 確定。
提示:輔助角公式雖然很常用,但是並沒有正式的外文名稱。
相關例題1:
下列函數中,以 為最小正周期的是( )。
- A. ;B. ;C. ;D.
相關例題2:
已知 ,求A和b的值。
解答:
將上述結果與 比較系數可得:A = 2, b = 1。
相關例題3:
求函數 的值域。
答案: 。
相關例題4:
求函數 的最大值。
解答:
答案: 。
輔助角公式在物理學中常用於合成同頻率的簡諧波函數。
知識背景:如果不使用添加輔助角的做法也可以通過利用波動理論中會學到的「旋轉向量法」並結合解三角形的方法求解合成結果。這種基於向量的幾何法直觀,但是不如使用輔助角公式的代數方法快捷。我們也會在介紹複數與三角學的章節里繼續討論這一做法。
相關例題5:
求函數 的最大值。
我們集中列出考試中最常用的三角函數變換公式:
由於這些公式都是從和角公式和差角公式推出來的,原則上只要知道和角公式和差角公式,就可以推出其它公式。但是由於考試的時間限制,熟記這些衍生公式也並無壞處。讀者應該在練習習題的過程中反覆熟悉它們,而非一味死記硬背。此外,和差化積、積化和差公式、萬能公式也比較有名,但是在高中階段的考試和實際應用中都不如上述公式常用。
提示:不少教科書上會列出大量的「誘導公式」[2]。這些誘導公式都可以通過和角公式和差角公式快速得到,並無記憶的價值。
相關例題1:
已知 ,求 的值。
相關例題2:
已知 ,求 的值。
相關例題3:
已知 ,求 的值。
相關例題4:
已知 ,求 的值。
相關例題5:
已知 ,求 的值。
相關例題6:
已知 ,求 的值。
相關例題7:
已知 。
- (1) 求 的值。
- (2) 求 的值。
相關例題8:
已知 。
- (1) 求 和 的值。
- (2) 求 和 的值。
相關例題8:
求證正弦與餘弦的下列平方差公式:
- (1) ;
- (2) 。
有的問題只要設法同時拼湊出 與 之和,再套用畢氏三角學恆等式 替換掉成對的正餘弦平方和,即可基本解決問題。
相關例題1:
已知 ,求 的值。
相關例題2:
已知 ,求 的值。
相關例題3:
已知 ,求 的值。
相關例題4:
已知 ,求 的值。
相關例題5:
已知 。
- (1) 求 的值。
- (2) 求 的值。
有一類「正餘弦組成的齊次分式」問題需要對分子和分母同除以 或 ,將正餘弦反過來化為正切的形式。
相關例題6:
已知 ,求 的值。
相關例題7:
已知 ,求 的值。
當計算或化簡的分式不是齊次式時,有時也可以通過對「1」的分解構造齊次式。由於 ,所以單獨出現的「1」可以被轉換為三角函數的2次項。
相關例題8:
計算或化簡下列各式:
- (1)
- (2)
相關例題9:
已知 ,求 的值。
相關例題10:
已知 ,求 的值。
相關例題11:
已知 。
- (1) 求 的值。
- (2) 求 的值。
相關例題1:
已知函數 。
- (1) 求函數 的最大值以及取得最大值時相應的x的集合。
- (2) 若 ,求 的值。
答案:(1)當 時,函數f(x)取得最大值1;(2) 。
相關例題2:
設函數 。
- (1) 求函數 的最大值及取得最大值時x的集合。
- (2) 若 ,求 的值。
答案:(1)當 時,函數f(x)取得最大值2;(2) 。
相關例題1:
已知函數 ,則下列說法中正確的是( )。
- A.存在 ,當 時,有 成立。
- B. 在區間 上單調遞增。
- C.函數 的圖象關於點 對稱。
- D.函數 的圖象關於直線 對稱。
相關例題2:
求函數 在區間 上的最大值。
相關例題3:
設函數 。
- (1) 求 的最小正周期。
- (2) 分析 在區間 上的單調性。
相關例題4:
設函數 。
- (1) 求函數 的最小正周期和單調遞增區間。
- (2) 若 是函數 的2個零點,求 的最小值。
相關例題:
求函數 的最小值。
相關例題1:
已知函數 圖象的一條對稱軸是直線 ,求a的值。
相關例題2:
已知 ,求實數m的值。
相關例題3:
已知A是第三象限的角,且滿足 ,求實數m的值。
需要求解或化簡的公式具有與三角恆等式一致的形式時,可以考慮採用三角換元的方法,將其換元後變為三角函數的變換問題處理。就中學階段而言,在後面涉及極坐標與參數方程的章節中,也會看到一些三角換元法的應用。
相關例題:
求函數 的最大值。
相關例題1:
已知等腰三角形的一個底角的餘弦值為 ,求這個三角形頂角的正弦值。
相關例題2:
已知三角形ABC滿足 ,則此三角形的形狀是( )。
- A.等邊三角形;B.等腰三角形;C.等腰直角三角形;D.直角三角形
相關例題3:
已知三角形ABC滿足 ,則此三角形的形狀是( )。
- A.等腰三角形;B.直角三角形;C.等腰直角三角形;D.等腰三角形或直角三角形
相關例題4:
已知三角形ABC的3個內角滿足條件 ,求證: 。