高中數學/函數與三角/三角恆等變換

閱讀指南

希望快速了解或快速回顧高中數學的讀者可以只看基礎知識部分。其餘部分是為需要參加學科考試或需要一定知識提升的讀者準備的。

本節是高中數學三角函數的最重要內容，也是後續微積分課程的重要基礎。利用本節的公式，可以導出很多的特殊三角函數值。

預備知識

閱讀本節內容需要掌握弧度制與任意角的三角函數值與和/差角公式章節的知識。

考試要求

在中國大陸的高考中，三角恆等變換是每年必考內容。高考中的三角函數題目一般是一到兩道選擇題以及一道解答題的某個分支，分值大多在8到13分之間，難度一般為中低等級。隨著新課程標準的實施，對這部分內容的要求有一定的降低傾向，突出「和、差、倍角公式」的作用，突出對正餘弦函數的圖像與性質的考察。由於新課程標準中向量的引入，將它和平面向量結合起來考察也是高考的一個重要方向。

學習本節，需要熟練背誦本章的所有公式，並且需要熟練地正用、逆用、變形用其中的公式。為了要達到這個目標，需要大量做題，熟練運用公式，熟能生巧，方可學好此章。

基礎知識

二倍角公式

由兩角和的三角函數公式，容易得到如下的二倍角公式（double-angle identities）：

• $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$
• $\cos 2\theta =\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta$
• $\tan 2\theta ={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$

注意：二倍角公式只適合將角執行一分為二的變形，三倍角和多倍角的三角函數另可推導出專門的公式。二倍角公式與三倍角公式、多倍角公式的形式都差別較大，不能直接認為也有$\sin 3\theta =3\sin \theta \cos \theta$成立。

我們先看無特殊限制條件的簡單求值問題。這種題目大部分難度不大，初學時需要留意的是同時混有三種及以上三角函數的問題。一般這類混有正/餘弦、正切的代數式或等式應該利用上關係式$\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}$，儘量往只含有正弦或餘弦符號的方向化簡，即抓住「弦化切」的思路。只有一些特殊情形是需要反其道而行之，即進行「切化弦」的，我們等遇到了再講。

相關例題1： 下列各式中，與${\sqrt {1-\sin 4}}$相等的是(    )。

A.$\sin 2-\cos 2$；B.$\cos 2-\sin 2$；C.$\cos 2$；D.$-\cos 2$

相關例題2： 計算或化簡下列各式：

(1) $(\cos {\frac {\pi }{12}}-\sin {\frac {\pi }{12}})(\cos {\frac {\pi }{12}}+\sin {\frac {\pi }{12}})$；

(2) $\sin ^{4}{\frac {\pi }{12}}-\cos ^{2}{\frac {\pi }{12}}$；

(3) ${\sqrt {2-\sin ^{2}2+\cos 4}}$；

(4) ${\frac {\sqrt {3}}{\cos 10^{\circ }}}-{\frac {1}{\sin 170^{\circ }}}$；

(5) ${\frac {1-\tan ^{2}75^{\circ }}{\tan 75^{\circ }}}$；

(6) ${\frac {\tan 14^{\circ }}{1-\tan ^{2}14^{\circ }}}\cdot \cos 28^{\circ }$。

(7) $\sin 50^{\circ }(1+{\sqrt {3}}\tan 10^{\circ })$；

(8) $4\cos 50^{\circ }-\tan 40^{\circ }$；

(9) $\tan {\frac {\pi }{8}}-\cot {\frac {\pi }{8}}$。

相關例題3： 下列各式中，結果為${\frac {\sqrt {3}}{2}}$的是(    )。

A.$2\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }$；B.$1-2\sin ^{2}15^{\circ }$；C.$\sin ^{2}15^{\circ }+\cos ^{2}15^{\circ }$；D.${\frac {3\tan 15^{\circ }}{1-\tan ^{2}15^{\circ }}}$

相關例題4： 求證：$\cos ^{2}(A+B)-\sin ^{2}(A-B)=\cos 2A\cos 2B$。

相關例題5： 求函數$f(x)={\sqrt {1+\cos x}}+{\sqrt {3-3\cos x}}$的最大值。
（提示：此題也可以使用柯西不等式求解。）

相關例題6： 求同時滿足$0\leq x<2\pi ,{\sqrt {1-\sin 2x}}=\sin x-\cos x$的x的取值範圍。

相關例題7： 已知$0<x<{\frac {\pi }{4}},\sin 2x=m,\cos 2x=n,m\neq n$，則下列選項中與$\tan({\frac {\pi }{4}}-x)$始終相等的是(    )。

A.${\frac {n}{1+m}}$；B.${\frac {m}{1+n}}$；C.${\frac {1-n}{m}}$；D.${\frac {1-m}{n}}$

解決條件求值問題則需要在化簡或變形時緊密結合條件特點。

相關例題8： 已知${\frac {\cos 2x}{{\sqrt {2}}\cos(x+{\frac {\pi }{4}})}}={\frac {1}{5}}$，求$\sin 2x$的值。

相關例題9： 已知$\sin(x-{\frac {\pi }{4}})={\frac {2}{3}}$，求$\sin 2x$的值。

相關例題10： 已知$\sin({\frac {\pi }{6}}-x)={\frac {\sqrt {3}}{3}}$，求$\sin(2x+{\frac {\pi }{6}})$的值。

相關例題11： 已知${\frac {9-\cos 2x}{\cos x+1}}=4$，求$(\sin x)^{2015}+(\cos x)^{2015}$的值。

相關例題12： 已知$A,B\in (0,{\frac {\pi }{2}}),\sin A={\frac {1}{7}},\cos(A+B)={\frac {3}{5}}$。

(1) 求$\sin(2A-{\frac {\pi }{2}})$的值。

(2) 求$\cos B$的值。

相關例題13： 已知$x\in (-{\frac {\pi }{2}},0),\cos x={\frac {4}{5}}$，求$\tan 2x$的值。

相關例題14： 已知$\tan x=2$，求$\tan(x-{\frac {\pi }{4}})+\tan 2x$的值。

相關例題15： 已知A和B是銳角，且滿足$\tan(A-B)=\sin 2B$，求證：$\tan A+\tan B=2\tan 2B$。

相關例題16： 已知$x\in ({\frac {\pi }{2}},\pi ),\sin x={\frac {4}{5}}$。

(1) 求$\tan 2x$的值。

(2) 求$\cos(2x-{\frac {\pi }{4}})$的值。

相關例題17： 在平面直角坐標系xOy中，角A的頂點與坐標原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊經過點$P({\frac {-3}{5}},{\frac {4}{5}})$。再以角A的終邊為始邊，逆時針旋轉${\frac {\pi }{4}}$得到角B。

(1) 求$\tan A$的值。

(2) 求$\cos(A+B)$的值。

有時候通過初步的化簡只能得到$A\sin x+B\cos x=C,A,B,C\in \mathbb {R}$這樣的關係式，這時還可以結合已知角度範圍和隱含條件畢氏三角學恆等式$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$聯立方程得到所求角度的正餘弦值。

相關例題18： 已知${\frac {\sin x-2\cos x}{\sin x+\cos x}}=2$，求$\sin 2x$的值。

解答：
${\begin{array}{l}{\frac {\sin x-2\cos x}{\sin x+\cos x}}=2\\\Rightarrow \quad \sin x-2\cos x=2\sin x+2\cos x\\\Rightarrow \quad \sin x=-4\cos x\end{array}}$
聯立 $\left\{{\begin{array}{l}\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\\\sin x=-4\cos x\end{array}}\right.$，可得$17\sin ^{2}x=1$，即$\sin ^{2}x={\frac {1}{17}}$。
$\sin 2x=1-2\sin ^{2}x=1-2\cdot {\frac {1}{17}}=1-{\frac {2}{17}}={\frac {15}{17}}$。

答案：${\frac {15}{17}}$。

相關例題19： 已知$x\in [{\frac {\pi }{2}},\pi ],\cos 2x=-{\frac {4}{5}}$，求$\sin x$的值。

相關例題20： 已知$x\in (-{\frac {\pi }{2}},0),\cos x={\frac {3}{5}}$，求$\sin 2x$的值。

相關例題21： 已知$\tan({\frac {\pi }{4}}-x)={\frac {1}{2}}$，求$\tan 2x+{\frac {1}{\cos 2x}}$的值。

相關例題22： 設函數$f(x)=2\cos(x-{\frac {\pi }{6}})\quad (x\in \mathbb {R} )$。

(1) 求$f(\pi )$的值。

(2) 已知$t\in (-{\frac {\pi }{2}},0),f(t+{\frac {2\pi }{3}})={\frac {6}{5}}$，求$f(2t)$的值。

相關例題23： 已知角A的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊在直線y = 2x上。

(1) 求$\cos(2A+{\frac {\pi }{4}})$的值。

(2) 已知$A\in (0,{\frac {\pi }{2}}),B\in (-{\frac {\pi }{2}},0),\sin(B+{\frac {\pi }{4}})={\frac {\sqrt {10}}{10}}$，求$A-B$的值。

半角公式與冪的升降

由二倍角公式，容易得到以下的半角公式（half-angle identities）：

• $\sin \theta =2\sin({\frac {\theta }{2}})\cos({\frac {\theta }{2}})$
• $\cos \theta =2\cos ^{2}({\frac {\theta }{2}})-1=1-2\sin ^{2}({\frac {\theta }{2}})=\cos ^{2}({\frac {\theta }{2}})-\sin ^{2}({\frac {\theta }{2}})$
• $\tan \theta ={\frac {2\tan({\frac {\theta }{2}})}{1-\tan ^{2}({\frac {\theta }{2}})}}$

上述的半角公式也叫做升冪公式。

升冪公式的常見變形為降冪公式：

• $\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}$
• $\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}$
• $\tan ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{1+\cos 2\theta }}$

相關例題1： 計算$\sin {\frac {\pi }{12}}$。

相關例題2： 求函數$y={\frac {\sin x}{1+\cos x}}$的最小正周期。

相關例題3： 已知$180^{\circ }<x<360^{\circ }$，化簡：${\frac {(1+\sin x+\cos x)(\sin {\frac {x}{2}}-\cos {\frac {x}{2}})}{\sqrt {2+2\cos x}}}$。

相關例題4： 已知$x\in (-\pi ,0),\cos(\pi -x)={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}$。

(1) 求$\sin x$的值。

(2) 求$\cos ^{2}({\frac {\pi }{4}}-{\frac {x}{2}})+\sin(3\pi +{\frac {x}{2}})\sin({\frac {3\pi }{2}}-{\frac {x}{2}})$的值。

相關例題5： 已知A為鈍角，B為鈍角，且滿足$\sin A={\frac {4}{5}},\sin B={\frac {12}{13}}$。

(1) 求$\cos {\frac {A-B}{2}}$的值。

(2) 求$\tan {\frac {A-B}{2}}$的值。

輔助角公式

數學家李善蘭（1810年－1882年）曾命名如下的輔助角公式： 形如$a\sin x+b\cos x$（a、b不同時為零）的式子可引入輔助角$\phi$並逆用兩角和的公式變形為$A\sin(x+\phi )$或$A\cos(x+\phi )$的形式：

${\begin{array}{l}a\sin x+b\cos x\\={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}({\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\sin x+{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\cos x)\\={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}(\cos \phi \sin x+\sin \phi \cos x)\\={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+\phi )\end{array}}$

其中輔助角$\phi$所在的象限由a、b的符號決定，$\phi$的值由$\tan \phi ={\frac {b}{a}}$確定。

提示：輔助角公式雖然很常用，但是並沒有正式的外文名稱。

相關例題1： 下列函數中，以${\frac {\pi }{2}}$為最小正周期的是(    )。

A.$y=\sin 2x+\cos 2x$；B.$y=\sin 2x\cos 2x$；C.$y=\cos(4x+{\frac {\pi }{2}})$；D.$y=\sin ^{2}2x-\cos ^{2}2x$

相關例題2： 已知$A>0,b\in \mathbb {R} ,2\cos ^{2}x+\sin 2x=A\sin(\omega x+\phi )+b$，求A和b的值。

解答：
${\begin{array}{l}2\cos ^{2}x+\sin 2x=2\cdot {\frac {1+\cos 2x}{2}}+\sin 2x\\=1+\cos 2x+\sin 2x\\=1+2(\sin 2x\cdot {\frac {1}{2}}+\cos 2x\cdot {\frac {1}{2}})\\=1+2\sin(2x+{\frac {\pi }{4}})\end{array}}$
將上述結果與$A\sin(\omega x+\phi )+b$比較係數可得：A = 2, b = 1。

答案：A = 2, b = 1。

相關例題3： 求函數$y={\frac {1}{2}}\sin 2x+\sin ^{2}x\quad (x\in \mathbb {R} )$的值域。

解答：
${\begin{array}{l}y={\frac {1}{2}}\sin 2x+{\frac {1-\cos 2x}{2}}\\={\frac {1}{2}}\sin 2x-\cos 2x{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}=(\sin 2x\cdot {\frac {1}{2}}-\cos 2x\cdot {\frac {1}{2}})+{\frac {1}{2}}=(\sin 2x\cos {\frac {\pi }{4}}-\cos 2x\sin {\frac {\pi }{4}})+{\frac {1}{2}}=\sin(2x-{\frac {\pi }{4}})+{\frac {1}{2}}\end{array}}$
因為$-1\leq \sin(2x-{\frac {\pi }{4}})\geq 1$，所以$-{\frac {1}{2}}\leq \sin(2x-{\frac {\pi }{4}})+{\frac {1}{2}}\geq {\frac {3}{2}}$。即y的值域是$[-{\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}}]$。

答案：$[-{\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}}]$。

相關例題4： 求函數$y=\sin(x-{\frac {\pi }{6}})\cos x$的最大值。

解答：
${\begin{array}{l}y=(\sin x\cos {\frac {\pi }{6}}-\cos x\sin {\frac {\pi }{6}})\cos x\\=(\sin x\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}-\cos x\cdot {\frac {1}{2}})\cos x\\={\frac {\sqrt {3}}{2}}\sin x\cos x-{\frac {1}{2}}\cos ^{2}x\\={\frac {\sqrt {3}}{4}}\cdot 2\sin x\cos x-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1+\cos 2x}{2}}\\={\frac {1}{2}}({\frac {\sqrt {3}}{2}}\sin 2x-{\frac {1}{2}}\cos 2x)+{\frac {1}{4}}\\={\frac {1}{2}}(\cos {\frac {\pi }{6}}\sin 2x-\sin {\frac {\pi }{6}}\cos 2x)+{\frac {1}{4}}\\={\frac {1}{2}}\sin(2x-{\frac {\pi }{6}})+{\frac {1}{4}}\\\leq {\frac {1}{2}}\cdot 1+{\frac {1}{4}}={\frac {3}{4}}\end{array}}$

答案：${\frac {3}{4}}$。

點評：本題也適合使用積化和差公式求解。

輔助角公式在物理學中常用於合成同頻率的簡諧波函數。

知識背景：如果不使用添加輔助角的做法也可以通過利用波動理論中會學到的「旋轉向量法」並結合解三角形的方法求解合成結果。這種基於向量的幾何法直觀，但是不如使用輔助角公式的代數方法快捷。我們也會在介紹複數與三角學的章節里繼續討論這一做法。

相關例題5： 求函數$f(x)=\cos(x+a)+\cos x\quad (a\neq 0)$的最大值。

三角恆等變換常用公式匯總

我們集中列出考試中最常用的三角函數變換公式：

公式名稱或類別	內容
和角公式與差角公式	$\sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$ $\cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$ $\tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$
二倍角公式	$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ $\cos 2\theta =\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta$ $\tan 2\theta ={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$
半角公式/升冪公式	$\sin \theta =2\sin({\frac {\theta }{2}})\cos({\frac {\theta }{2}})$ $\cos \theta =2\cos ^{2}({\frac {\theta }{2}})-1=1-2\sin ^{2}({\frac {\theta }{2}})=\cos ^{2}({\frac {\theta }{2}})-\sin ^{2}({\frac {\theta }{2}})$ $\tan \theta ={\frac {2\tan({\frac {\theta }{2}})}{1-\tan ^{2}({\frac {\theta }{2}})}}$
降冪公式	$\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}$ $\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}$ $\tan ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{1+\cos 2\theta }}$
輔助角公式	$a\sin \theta +b\cos \theta ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin \left(\theta +\arctan {\frac {b}{a}}\right)$

由於這些公式都是從和角公式和差角公式推出來的，原則上只要知道和角公式和差角公式，就可以推出其它公式。但是由於考試的時間限制，熟記這些衍生公式也並無壞處。讀者應該在練習習題的過程中反覆熟悉它們，而非一味死記硬背。此外，和差化積、積化和差公式、萬能公式也比較有名，但是在高中階段的考試和實際應用中都不如上述公式常用。

提示：不少教科書上會列出大量的「誘導公式」。這些誘導公式都可以通過和角公式和差角公式快速得到，並無記憶的價值。

相關例題1： 已知$\cos(x+{\frac {\pi }{2}})={\frac {4}{5}}$，求$\cos 2x$的值。

相關例題2： 已知$A,B\in ({\frac {\pi }{2}},\pi ),\sin A={\frac {2{\sqrt {5}}}{5}},\sin(A-B)={\frac {-{\sqrt {10}}}{10}}$，求$\sin B$的值。

相關例題3： 已知$\cos(x+{\frac {\pi }{12}})={\frac {\sqrt {2}}{3}}$，求$\sin({\frac {\pi }{3}}-2x)$的值。

相關例題4： 已知$A\in ({\frac {\pi }{2}},\pi ),B\in (0,{\frac {\pi }{2}}),\sin(A+{\frac {\pi }{8}})={\frac {\sqrt {5}}{5}},\cos(B+{\frac {3\pi }{8}})=-{\frac {3}{5}}$，求$\cos(A+B)$的值。

相關例題5： 已知$\tan(A-B)={\frac {2}{3}},\tan({\frac {\pi }{6}}-B)={\frac {1}{2}}$，求$\tan(A-{\frac {\pi }{6}})$的值。

相關例題6： 已知$A,B\in (0,{\frac {\pi }{2}}),\sin(2A+B)={\frac {3}{2}}\sin B$，求${\frac {\tan(A+B)}{\tan A}}$的值。

相關例題7： 已知$A,B\in (0,\pi ),\sin(A+B)={\frac {5}{13}},\tan({\frac {A}{2}}+{\frac {\pi }{4}})=3$。

(1) 求$\cos A$的值。

(2) 求$\cos B$的值。

相關例題8： 已知$x\in ({\frac {\pi }{2}},\pi ),\sin x={\frac {3}{5}}$。

(1) 求$\cos x$和$\tan(x+\pi )$的值。

(2) 求$\sin(x+{\frac {\pi }{4}})$和$\cos(x-{\frac {\pi }{3}})$的值。

相關例題8： 求證正弦與餘弦的下列平方差公式：

(1) $\sin(\alpha +\beta )\cdot \sin(\alpha -\beta )=\sin ^{2}\alpha -\sin ^{2}\beta$；

(2) $\cos(\alpha +\beta )\cdot \cos(\alpha -\beta )=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\beta$。

常用結論與常見模型

弦化切的技巧與數字「1」的轉換

有的問題只要設法同時拼湊出$\sin ^{2}x$與$\cos ^{2}x$之和，再套用畢氏三角學恆等式$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$替換掉成對的正餘弦平方和，即可基本解決問題。

相關例題1： 已知$\tan x+{\frac {1}{\tan x}}=4$，求$\sin 2x$的值。

相關例題2： 已知$\sin x+\cos x=-2$，求$\tan x+{\frac {1}{\tan x}}$的值。

相關例題3： 已知${\frac {\cos 2x}{{\sqrt {2}}\sin(x+{\frac {\pi }{4}})}}={\frac {1}{2}}$，求$\tan x+{\frac {1}{\tan x}}$的值。

相關例題4： 已知$x\in ({\frac {\pi }{4}},{\frac {\pi }{2}}),\sin({\frac {\pi }{4}}-x)={\frac {-3}{5}}$，求$\cos 2x$的值。

相關例題5： 已知$x\in (0,{\frac {\pi }{3}}),{\sqrt {6}}\sin x+{\sqrt {2}}\cos x={\sqrt {3}}$。

(1) 求$\tan(x+{\frac {\pi }{6}})$的值。

(2) 求$\cos(2x+{\frac {7\pi }{12}})$的值。

有一類「正餘弦組成的齊次分式」問題需要對分子和分母同除以$\cos x$或$\cos ^{2}x$，將正餘弦反過來化為正切的形式。

相關例題6： 已知$\tan x=3$，求${\frac {\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}}$的值。

相關例題7： 已知$\tan x=3$，求${\frac {\sin 2x}{1+\cos ^{2}x}}$的值。

當計算或化簡的分式不是齊次式時，有時也可以通過對「1」的分解構造齊次式。由於$1=\sin ^{2}x+\cos ^{2}x$，所以單獨出現的「1」可以被轉換為三角函數的2次項。

相關例題8： 計算或化簡下列各式：

(1) ${\sqrt {1+\sin 2}}$

(2) ${\frac {\cos 20^{\circ }}{\cos 35^{\circ }{\sqrt {1-\sin 20^{\circ }}}}}$

相關例題9： 已知$\tan x=3$，求$\sin ^{2}x+2\cos ^{2}x$的值。

相關例題10： 已知$x\in ({\frac {\pi }{2}},\pi )$，求${\sqrt {1-\sin x}}-{\sqrt {{\frac {1}{2}}(1-\cos x)}}$的值。

相關例題11： 已知$x\in ({\frac {\pi }{2}},\pi ),\cos x={\frac {-3}{5}}$。

(1) 求$\tan x$的值。

(2) 求${\frac {\cos 2x}{\sin 2x+1}}$的值。

角的拼拆

相關例題1： 已知函數$f(x)=\sin(2x-{\frac {\pi }{6}})+2\cos ^{2}x-1\quad (x\in \mathbb {R} )$。

(1) 求函數$f(x)$的最大值以及取得最大值時相應的x的集合。

(2) 若$t\in ({\frac {\pi }{4}},{\frac {\pi }{2}}),f(t)={\frac {4}{5}}$，求$\cos 2t$的值。

解答（方法1）：
(1)
${\begin{array}{l}f(x)=\sin(2x-{\frac {\pi }{6}})+2\cos ^{2}x-1\\=\sin(2x-{\frac {\pi }{6}})+(2\cos ^{2}x-1)\\=(\sin 2x\cos {\frac {\pi }{6}}-\cos 2x\sin {\frac {\pi }{6}})+\cos 2x\\=(\sin 2x\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}-\cos 2x\cdot {\frac {1}{2}})+\cos 2x\\=\sin 2x\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}+\cos 2x\cdot {\frac {1}{2}}\\=\sin 2x\cos {\frac {\pi }{6}}+\cos 2x\sin {\frac {\pi }{6}}=\sin(2x+{\frac {\pi }{6}})\leq 1\end{array}}$
由於這是一個正弦型函數，易知當$2x+{\frac {\pi }{6}}={\frac {\pi }{2}}+2k\pi \quad (k\in \mathbb {Z} )$（即$x={\frac {\pi }{6}}+k\pi \quad (k\in \mathbb {Z} )$）時，函數$f(x)=\sin(2x+{\frac {\pi }{6}})$取得最大值1。
(2) 由前一問所得的化簡結果和t的已知範圍可知：
$f(t)=\sin(2t+{\frac {\pi }{6}})\quad (t\in ({\frac {\pi }{4}},{\frac {\pi }{2}})$
又因為已知$f(t)={\frac {4}{5}}$，所以有：
${\begin{array}{l}\sin(2t+{\frac {\pi }{6}})={\frac {4}{5}}\\\Rightarrow \quad \sin 2t\cos {\frac {\pi }{6}}+\cos 2t\sin {\frac {\pi }{6}}={\frac {4}{5}}\\\Rightarrow \quad \sin 2t\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}+\cos 2t\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {4}{5}}\\\Rightarrow \quad {\sqrt {3}}\sin 2t+\cos 2t={\frac {8}{5}}\end{array}}$
將畢氏三角學恆等式$\sin ^{2}2t+\cos ^{2}2t=1$代入，並注意到$\sin 2t>0\quad (2t\in ({\frac {\pi }{2}},\pi ))$，可得：
${\begin{array}{l}{\sqrt {3}}{\sqrt {1-\cos ^{2}2t}}+\cos 2t={\frac {8}{5}}\\{\sqrt {3}}{\sqrt {1-\cos ^{2}2t}}={\frac {8}{5}}-\cos 2t\\3({\sqrt {1-\cos ^{2}2t}})^{2}=({\frac {8}{5}}-\cos 2t)^{2}\\3(1-\cos ^{2}2t)=({\frac {8}{5}})^{2}-{\frac {16}{5}}\cos 2t+\cos ^{2}2t\\4\cos ^{2}2t-{\frac {16}{5}}\cos 2t-{\frac {11}{25}}=0\end{array}}$
這可以看成是關於$\cos 2t$的二次函數。解得：$\cos 2t={\frac {4-3{\sqrt {3}}}{10}}$或$\cos 2t={\frac {4+3{\sqrt {3}}}{10}}$（因此時$\cos 2t<0\quad (2t\in ({\frac {\pi }{2}},\pi ))$故捨去後一個根）。

解答（方法2，僅限第2問）：
(2) 根據前面的討論和已知條件，容易得到：
$\sin(2t+{\frac {\pi }{6}})={\frac {4}{5}}$
由於$t\in ({\frac {\pi }{4}},{\frac {\pi }{2}})$，也即$2t+{\frac {\pi }{6}}\in ({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{6}},\pi +{\frac {\pi }{6}})\subset ({\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}})$，所以有：
${\begin{array}{l}\cos(2t+{\frac {\pi }{6}})=-{\sqrt {1-\sin ^{2}(2t+{\frac {\pi }{6}})}}=-{\sqrt {1-({\frac {4}{5}})^{2}}}=-{\frac {3}{5}}\\\Rightarrow \quad \cos 2t=\cos((2t+{\frac {\pi }{6}})-{\frac {\pi }{6}})=\cos(2t+{\frac {\pi }{6}})\cos {\frac {\pi }{6}}+\sin(2t+{\frac {\pi }{6}})\sin {\frac {\pi }{6}}\\={\frac {4}{5}}\cdot {\frac {1}{2}}+(-{\frac {3}{5}})\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {4}{10}}-{\frac {3{\sqrt {3}}}{10}}={\frac {4-3{\sqrt {3}}}{10}}\end{array}}$

答案：(1)當$x={\frac {\pi }{6}}+k\pi \quad (k\in \mathbb {Z}$時，函數f(x)取得最大值1；(2)${\frac {4-3{\sqrt {3}}}{10}}$。

點評：第2問求$\cos 2t$的值時，可以使用聯立方程組的方法，也可以使用巧妙拼湊角的方法。巧妙拼湊角的方法由於比較簡短，一般更常用，但是需要注意角的範圍對相關函數取值正負的影響。

相關例題2： 設函數$f(x)=\cos(2x+{\frac {\pi }{3}})+2\sin ^{2}x\quad (x\in \mathbb {R} )$。

(1) 求函數$f(x)$的最大值及取得最大值時x的集合。

(2) 若$t\in ({\frac {\pi }{4}},{\frac {\pi }{2}}),f(t)={\frac {2}{5}}$，求$\sin 2t$的值。

解答：
(1)
${\begin{array}{l}f(x)=\cos 2x\cos {\frac {\pi }{3}}-\sin 2x\sin {\frac {\pi }{3}}+2{\frac {1-\cos 2x}{2}}\\=-({\frac {\sqrt {3}}{2}}\sin 2x+{\frac {1}{2}}\cos 2x)+1\\=-\sin(2x+{\frac {\pi }{6}})+1\leq -(-1)+1=2\end{array}}$
這是一個正弦型函數，所以$f(x)_{max}=2$，並且取得最大值時滿足$2x+{\frac {\pi }{6}}=2k\pi -{\frac {\pi }{2}}\quad (k\in \mathbb {Z} )$，即$x=k\pi -{\frac {\pi }{3}}\quad (k\in \mathbb {Z} )$。
(2) 因為$f(t)={\frac {3}{5}}$，所以$\sin(2t+{\frac {\pi }{6}})={\frac {3}{5}}$。
又因為$t\in ({\frac {\pi }{4}},{\frac {\pi }{2}})$，即$2t+{\frac {\pi }{6}}\in ({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{6}},\pi +{\frac {\pi }{6}})\subset ({\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}})$，所以$\cos(2t+{\frac {\pi }{6}})=-{\frac {4}{5}}$，即：
${\begin{array}{l}\sin 2t=\sin((2t+{\frac {\pi }{6}})-{\frac {\pi }{6}})=\sin(2t+{\frac {\pi }{6}})\cos {\frac {\pi }{6}}-\cos(2t+{\frac {\pi }{6}})\sin {\frac {\pi }{6}}\\={\frac {3}{5}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}-(-{\frac {4}{5}})\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {3{\sqrt {3}}}{10}}+{\frac {4}{10}}={\frac {4+3{\sqrt {3}}}{10}}\end{array}}$

答案：(1)當$x=k\pi -{\frac {\pi }{3}},k\in \mathbb {Z}$時，函數f(x)取得最大值2；(2)${\frac {4+3{\sqrt {3}}}{10}}$。

三角函數的單調性與圖象性質

相關例題1： 已知函數$f(x)=\cos 2x-2{\sqrt {3}}\sin x\cos x$，則下列說法中正確的是(    )。

A.存在$x_{1},x_{2}$，當$x_{1}-x_{2}=\pi$時，有$f(x_{1})=f(x_{2})$成立。

B.$f(x)$在區間$[{\frac {-\pi }{6}},{\frac {\pi }{3}}]$上單調遞增。

C.函數$f(x)$的圖象關於點$({\frac {\pi }{12}},0)$對稱。

D.函數$f(x)$的圖象關於直線$x={\frac {5\pi }{12}}$對稱。

相關例題2： 求函數$f(x)=\sin ^{2}x+{\sqrt {3}}\sin x\cos x$在區間$[{\frac {\pi }{4}},{\frac {\pi }{2}}]$上的最大值。

相關例題3： 設函數$f(x)=2\cos x\sin(x-{\frac {\pi }{3}})+{\sqrt {3}}\sin ^{2}x+\sin x\cos x$。

(1) 求$f(x)$的最小正周期。

(2) 分析$f(x)$在區間$[0,\pi ]$上的單調性。

相關例題4： 設函數$f(x)=\sin({\frac {5\pi }{6}}-2x)-2\sin(x-{\frac {\pi }{4}})\cos(x+{\frac {3\pi }{4}})$。

(1) 求函數$f(x)$的最小正周期和單調遞增區間。

(2) 若$x_{1},x_{2}$是函數$y=f(x)-{\frac {1}{2}}$的2個零點，求$|x_{1}-x_{2}|$的最小值。

涉及其它常見函數單調性或極值的問題

相關例題： 求函數$f(x)=2\sin x+\sin 2x\quad (x\in \mathbb {R} )$的最小值。

參數求值問題

相關例題1： 已知函數$f(x)=\sin x+a\cos x\quad (a\in \mathbb {R} )$圖象的一條對稱軸是直線$x={\frac {\pi }{6}}$，求a的值。

相關例題2： 已知$\tan {\frac {\pi }{12}}\cdot \cos {\frac {5\pi }{12}}=\sin {\frac {5\pi }{12}}-m\sin {\frac {\pi }{12}}$，求實數m的值。

相關例題3： 已知A是第三象限的角，且滿足$\sin A+\cos A=2m,\sin 2A=m^{2}$，求實數m的值。

三角換元法

需要求解或化簡的公式具有與三角恆等式一致的形式時，可以考慮採用三角換元的方法，將其換元後變為三角函數的變換問題處理。就中學階段而言，在後面涉及極坐標與參數方程的章節中，也會看到一些三角換元法的應用。

相關例題： 求函數$f(x)=x+{\sqrt {1-x^{2}}}\quad (0\leq x\leq 1)$的最大值。

解答：
因為$0\leq x\leq 1$，且比較麻煩的${\sqrt {1-x^{2}}}$這一項具有與之形式匹配的三角恆等式，於是可以作代換$x=\cos \theta \quad (\theta \in [0,{\frac {\pi }{2}}])$。
注意到此時$0\leq \cos \theta \leq 1$，那麼有：
${\begin{array}{l}f(x)=x+{\sqrt {1-x^{2}}}\\=\cos \theta +{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}\\=\cos \theta +{\sqrt {\cos ^{2}\theta }}\\=\cos \theta +\cos \theta \\=2\cos \theta \leq 2\cdot 1=2\end{array}}$

答案：2。

點評：(1)作換元時，可能會需要在最後一步進行回代，也就是可能會將化簡後的表達式重新換回原來的變量。這需要作逆代換，也就是用到原代換的反函數。出於這一考慮，一般需要尋找合適的單調性函數進行換元。通常來說，只有單調且連續的函數容易保證反函數的存在性，也就是使後續回代步驟的邏輯前提得到滿足。對於三角換元法的例子而言，我們一般只會選取三角函數的一段單調區間作為變量代換的範圍。(2)如果題目的限制條件變為$-1\leq x\leq 1$，那麼仍然能使用三角換元法，但是開平方時需要按正負兩種不同情況分類討論，做法本質還是一樣的。

涉及三角形的問題

相關例題1： 已知等腰三角形的一個底角的餘弦值為${\frac {2}{3}}$，求這個三角形頂角的正弦值。

相關例題2： 已知三角形ABC滿足$\sin A\sin B=\cos ^{2}{\frac {C}{2}}$，則此三角形的形狀是(    )。

A.等邊三角形；B.等腰三角形；C.等腰直角三角形；D.直角三角形

相關例題3： 已知三角形ABC滿足$\sin C+\sin(B-A)=\sin 2A$，則此三角形的形狀是(    )。

A.等腰三角形；B.直角三角形；C.等腰直角三角形；D.等腰三角形或直角三角形

相關例題4： 已知三角形ABC的3個內角滿足條件$\sin A\cos ^{2}{\frac {C}{2}}+\sin C\cos ^{2}{\frac {A}{2}}={\frac {3}{2}}\sin B$，求證：$\sin A+\sin C=2\sin B$。

補充習題

• 下列各式中，結果為1的是(    )。

A.${\frac {22.5^{\circ }}{1-\tan ^{2}22.5^{\circ }}}$；B.$\tan 15^{\circ }\cos ^{2}15^{\circ }$；C.${\frac {\sqrt {3}}{3}}\cos ^{2}{\frac {\pi }{12}}-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\sin ^{2}{\frac {\pi }{12}}$；D.${\sqrt {\frac {1-\cos 60^{\circ }}{2}}}$

• 下列各式與$\tan x$相等的是(    )。

A.${\sqrt {\frac {1-\cos 2x}{1+\cos 2x}}}$；B.${\frac {\sin x}{1+\cos x}}$

C.${\frac {1-\cos 2x}{\sin 2x}}$；D.${\sqrt {\frac {1+\cos(\pi +2x)}{2}}}\cdot {\frac {1}{\cos x}}\quad (x\in (0,\pi ))$

• 計算或化簡下列各式：
  

(1) $\tan 9^{\circ }+\cot 117^{\circ }-\tan 243^{\circ }-\cot 351^{\circ }$；

(2) $\tan 15^{\circ }-\cot 15^{\circ }$；

(3) ${\frac {\sqrt {3}}{\sin 20^{\circ }}}-{\frac {1}{\cos 20^{\circ }}}$。

• 已知$\tan x={\frac {1}{3}}$，求${\frac {\sin x+2\cos x}{5\cos x-\sin x}}$的值。
• 已知A是函數$f(x)=2\sin(2018x+{\frac {\pi }{4}})+\cos(2018x-{\frac {\pi }{4}})$的最大值。若存在實數$x_{1},x_{2}$，使得對於任意實數x總有$f(x_{1})\leq f(x)\leq f(x_{2})$成立，求$A\cdot |x_{1}-x_{2}|$的最小值。
• 已知下列3個式子都等於同一個常數：
  

$\cos ^{2}15^{\circ }+\cos ^{2}15^{\circ }-{\sqrt {3}}\sin 15^{\circ }\sin 15^{\circ }$

$\cos ^{2}80^{\circ }+\cos ^{2}(-50^{\circ })-{\sqrt {3}}\sin 80^{\circ }\sin(-50^{\circ })$

$\cos ^{2}170+\cos ^{2}(-140^{\circ })-{\sqrt {3}}\sin 170^{\circ }\sin(-140^{\circ })$

(1) 求出這個常數。

(2) 將其推廣為一個三角恆等式，並給出證明。

參見

• 萬能公式與多倍角相關公式
• 複數與三角學

外部連結

維基百科中的相關條目：

三角恆等式

維基百科中的相關條目：

二倍角公式