高中數學/微積分初步/導數與單調性和極值的關係

閱讀指南

希望快速了解或快速回顧高中數學的讀者可以只看基礎知識部分。其餘部分是為需要參加學科考試或需要一定知識提升的讀者準備的。

預備知識

閱讀本節，需要先學習有關函數的單調性、一階導數的概念與求導法則的知識。

基礎知識

導數與單調性

由於導數代表函數在一點處的局部走勢情況，我們可以通過導數或導函數的取值正負來判斷函數的單調性：

• 如果函數的導數在某一點處取值大於0，說明函數在該點附近應該是單調遞增的；如果函數的導數在某一點處取值小於0，說明函數在該點附近應該是單調遞減的。
• 如果函數的導函數在整個所考察的區間上都取值大於0，則說明函數在該區間上是單調遞增的；如果函數的導函數在整個所考察的區間上都取值小於0，則說明函數在該區間上是單調遞減的。

提示：函數的單調性可以使用定義進行判斷，也可以使用求導數的方法判斷。對於大多數常見的函數，求導的方法會明顯快一些。

通過求導法判斷單調性，不僅一般速度快，而且能比較方便地判斷某些從圖象上看不太好分辨的問題。

相關例題1： 求$f(x)=x^{3}$的單調遞增區間和單調遞減區間。

相關例題2： 利用求導的方法，分別判斷下列函數是不是單調函數：

(1)$f(x)=x-\sin x\quad (x>0)$；

(2)$f(x)=\sin x-\tan x\quad (x<0)$；

(3)$f(x)=x-\ln x\quad (x>0)$。

相關例題3： 分析函數$f(x)=x+\sin x$的單調性。

注意：上面這個例子表明，增函數與遞減函數或與震盪型函數的和可能仍然為（嚴格的）增函數。

極值與最值

如果函數f(x)在點a附近有定義，且對於a附近的所有的其它點，都有f(x) < f(a)成立，那麼我們就稱f(a)是函數f(x)的一個（局部）極大值（local maximum）；反之，如果對a附近的各點都有f(x) > f(a)成立，那麼我們就稱f(a)是函數f(x)的一個（局部）極小值（local minimum）。極大值和極小值統稱為極值（extremum）。

注意：極值是函數在一個點的鄰域上的性質，不是在一個單點上的性質。換句話說，不能單從一個點上的函數取值來判斷該點是不是極值點、是哪一種極值點，必須結合該點的函數值以及該點鄰域內的函數值進行比較判斷，然後才能得到結論。取多大的鄰域作判斷都行，只要能按定義驗證是極大值還是極小值即可。當然，我們馬上就會講到，通過導數的正負性判斷極值及其類型，比通過極值的原始定義來分析一個點鄰域上的函數取值大小要更方便。

提示：(1)英文中只有局部極大值（local maximum）、局部極小值（local minimum）、全局極大值（global maximum）、全局極小值（global minimum）的說法。專門把全局極值叫做最值是漢語的習慣。(2)由於沿襲自拉丁語名詞變化規則的緣故，這幾個拼寫以「-mum」結尾的單數名詞，其複數形式的變化規則都是變為「-ma」。感興趣的讀者可查閱拉丁語的第二類名詞變格法。

與最大值或最小值不同，一個函數可以存在多個極大值或極小值。

相關例題1： 結合圖象特點，分別指出下列函數有無極大值、極小值、最大值、最小值：

(1) $f(x)=-x^{2}-2x+1$；

(2) $f(x)=|(x-1)(x-2)|$；

(3) $f(x)={\frac {1}{x}}$；

(4) $f(x)=x+{\frac {1}{x}}$。

相關例題2： 分別判斷下列說法的對錯：

(1) 函數可以沒有最大值；

(2) 函數可以沒有任何極值；

(3) 平移函數圖象後，其所有極值點也會跟着一起進行相同的平移；

(4) 極大值中最大的那個一定是函數的最大值；

(5) 函數f(x)有極大值A，那麼-f(x)一定有極小值-A；

(6) 奇函數的最大值和最小值一定絕對值大小相同；

(7) 存在有2個極大值但是沒有極小值的函數；

(8) 函數f(x)和g(x)都有最大值，所以它們之和f(x)+g(x)也一定有最大值；

(9) 函數f(x)有2個極大值，函數g(x)有1個極大值，那麼那麼它們之和可能只有1個極大值。

取極值的導數條件

從常見函數圖象上，可以觀察出下列結論：

當函數f'(x)在點a附近連續時，判斷f(a)是極大值或極小值的方法是：

• 如果在x = a的左側附近始終有f'(x) > 0，右側附近始終有f'(x) < 0，那麼f(a)就是1個極大值。
• 如果在x = a的左側附近始終有f'(x) < 0，右側附近始終有f'(x) > 0，那麼f(a)就是1個極小值。
• 極值點一定是導數為零的點，反之則未必。

不過導數為0的點不一定是極值點。首先，常函數的導數處處為0，但從圖象上看顯然沒有任何一點明顯高於附近的其它點，即它並沒有極值點。再以前面分析過單調性的函數$f(x)=x^{3}$為例，它在x=0處的導數是0，但這個x值對應的點也不是極值點。$f(x)=x^{3}$在點(0, f(0))上雖然導數為0，但是在其鄰域內是始終單調的。

提示：由於導數為0的點可能對應多種不同情況，我們還會在二階導數一節對這樣的點進行更進一步的分類討論。

注意：極值點可以出現在函數不可求導或導函數不連續的地方。例如函數f(x) = |x|在x = 0處不可導，但是卻取得極小值。這些情形雖然在高中的考試題中不多見（高中常見導數考題中的函數一般都會在定義域內可導且導函數連續），但是對於梳理清楚極值點與導數取值之間的關係來說是非常重要的。

相關例題1： 使用求導法，分別求二次函數在下列形式下的對稱軸公式：

(1) 一般形式：$f(x)=ax^{2}+bx+c\quad (a\neq 0,a,b,c\in \mathbb {R} )$；

(2) 頂點式：$f(x)=a(x-h)^{2}+k\quad (h,k\in \mathbb {R} )$；

(3) 兩根式：$f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\quad (x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} )$。

相關例題2： 求$f(x)={\frac {1}{3}}x^{3}-4x+4$的極值。

相關例題3： 求函數$f(x)=(x^{2}-1)^{3}+1$的極值。

相關例題4： 求函數$f(x)=x+{\frac {1}{x^{2}}}$的極值。

相關例題5： 不藉助輔助角公式，利用導數法求函數$f(x)=A\sin x+B\cos x\quad (A,B\neq 0,x\in \mathbb {R} )$的所有極值點構成的集合。

相關例題6： 分別求下列函數的極值：

(1) $f(x)={\frac {x}{x^{2}+3}}$；

(2) $x^{6}-12x^{3}+16$；

(3) $x^{\frac {1}{2}}-x^{\frac {3}{2}}+6\quad (x>0)$；

(4) $12x^{5}+10x^{3}+15x+18$。

相關例題7： 舉例說明即使f(x)存在使得導數取值為0的點，它仍可能是（嚴格）遞增的函數。

不適合優先採用求導判斷單調性或極值的問題主要包括：

• 能用複合函數的單調性直接解決的問題。
• 能用基本不等式直接解決的問題。
• 求導以後式子變複雜，難於手工求解的問題。
• 具體解析式還未知或根本不能求導的函數。

相關例題8： 判斷求導法是否是求解下列問題的最便捷方法：

(1) 求函數$f(x)=1-{\sqrt {x^{2}+1}}$的極值；

(2) 求函數$f(x)=x^{3}+x^{-3}$的極值；

(3) 求雙曲餘弦函數$f(x)={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$的極值；

(4) 求函數$f(x)=\tan ^{4}x$的極值；

(5) 求函數$f(x)={\frac {1}{x(x-2)}}$的極值。

常用結論與常見模型

簡化求導分析單調性的方法常用包括：

• 先化簡後求導。
• 有時可以利用函數的奇偶性（或廣義奇偶性）簡化對稱區間上的單調性分析。
• 有時可以利用函數圖象平移的性質簡化問題。例如求$f(x)={\frac {x-1}{e^{x-1}}}$的極值點等價於先求$g(x)={\frac {x}{e^{x}}}$的極值點，再將得到g(x)的極值點向右平移1個單位，就得到f(x)的極值點。
• 考慮到極值點就是導函數的零點。如果極值點不好求但是數目很少，可以用波爾查諾二分法估計導函數的零點位置。

我們挑一部分例子在這裏作介紹。

根據形式特點求極值

相關例題1： 求函數$f(x)={\sqrt {x^{3}+2x^{2}+1}}$的極值。

相關例題2： 求函數$f(x)=e^{\sin ^{3}2x\cos ^{3}x}$的極值。

相關例題3： 求函數$f(x)={\sqrt {x}}(x-4)$的極值。

相關例題4： 求函數$f(x)=|4x^{2}||x^{2}-2|$的極值。

相關例題5： 已知實數軸上的3個數a = -2、b = 1、c = 4。

(1) 求數軸上到這3個點距離之和最小的數。

(2) 求數軸上到這3個點距離的平方和最小的數。

相關例題6： 已知平面上的2個點A(1, 0)、B(2, 0)和直線L：y = x。

(1) 求直線L上到A、B這2點距離的平方之和的最小值p。

(2) 判斷前一問中的p是不是也是直線L上到A、B這2個點距離之和的最小值。

知識背景：(1)若去除所考察的點必須在給定直線上運動的條件，上述問題實際上都可視作費馬點的求解問題。(2)上述求直線距離和的最值的問題會因為遇到難以處理的絕對值或根號，導致問題難於利用導數進行直接計算。當涉及的點的數量增加時（例如求到5個定點的最短距離和），手工分析討論的複雜程度會更加大。相比之下，如果要求最值的是距離的平方和，則會因平方項都易於求導而容易不少。這是一種「高維距離」比「低維距離」更好討論的例子。讀者以後在學習隨機遊走理論時，也會遇到非常類似的情況。

需要多次求導的問題

判斷函數單調性時，如果遇到極值點不易求出的情況，就可能需要多次求導，以便估計極值點的數量和位置。這種需要多次求導的問題常見於涉及導數的不等式證明問題中，是解決考試中的導數壓軸題的常用技巧。考試中常見的這類問題一般會同時涉及多項式、對數函數、指數函數的和與差，求導以後另一階導數為零得到的仍然是一個不能精確求解的超越方程（即求不出解析解），換句話說求導一次後還不能直接求出極值點的精確表達式，只能再通過繼續求導、不等式放縮等其它補救方法估計極值點的數量和位置。

相關例題1： 判斷函數$f(x)=e^{x}-x^{2}-2x-1$的極值點個數。

提示：對一階導函數再次求導的結果也被叫做二階導數。更多相關知識，可以參見二階導數的一般性討論。

補充習題

外部連結

維基百科中的相關條目：

極值