如果在一个函数的定义域I中任取2个点 ,都能证明关系式 成立,则这个函数就是在区间I上严格单调递增的( strictly monotonically increasing),或者说是区间I上的严格增函数(strictly increasing function)。
如果在一个函数的定义域I中任取2个点 ,都能证明关系式 成立,则这个函数就是在区间I上严格单调递减的( strictly monotonically decreasing),或者说是区间I上的严格减函数(strictly decreasing function)。
严格单调递增函数与严格单调递减函数统称为严格单调函数(monotonic function或monotone function)。
单调性最明显的重要性在于容易找到单调函数的最大值与最小值。如果已知或者能判断出一个函数在某个区间上是单调函数,那么它在该区间上的最大值与最小值始终在其两侧的端点处取到。单调性还可以用于比较函数值大小和查找函数的零点(即后面会学到的二分法)。
在高中教材中规定的单调就等同于上面的严格单调。[1]
注意:之所以在这里强调“严格”二字,是因为在许多高等数学教材中对单调递增函数的定义是“ ”,对严格单调递增函数的定义才是 。为了保证数学学习的连续性以及避免可能产生的误解,特此加以强调。
证明函数单调性的基本方法主要有2种:
- 作差判断法,即在定义域内任取 ,判断 的正负。
- 作商判断法,即在有 恒成立的前提下,在定义域内任取 ,判断 与1的大小关系。
相关例题1:若函数 在[a, b]上是严格增函数,则对任意不相同的 ,下列结论正确的是( ):
- A. ;
- B. ;
- C. ;
- D. 。
相关例题2:下列说法正确的是( )。
- A.定义在(a, b)上的函数 ,若存在 ,且 ,满足 ,则 在(a, b)上单调递增。
- B.定义在(a, b)上的函数 ,若有无穷多对 ,使得 时,有 ,则 在(a, b)上单调递增。
- C.若 在区间A上单调递增,在区间B上也单调递增,那么 在 上也一定单调递增。
- D.若 在区间I上单调递增,且 ,则 。
相关例题3:判断并证明函数 的单调性。
相关例题4:判断并证明函数 的单调性。
相关例题5:判断并证明函数 的单调性。
相关例题6:判断并证明函数 在 上的单调性。
相关例题7:已知不等式 的解集为 。
- (1) 求实数a和b的值。
- (2) 若 ,求函数 的最小值。
有时一个函数可能在不同的子区域中具有不同的单调性,这时需要根据不同的区间范围单独讨论单调性。例如包含绝对值的函数在讨论单调性时,一般需要先分不同情况去除绝对值,此时就可能会得到这种分段单调的函数。
即使函数在定义域内的每一个子集合上具有相同的单调性,也不能保证函数就一定在整个定义域上也单调。例如 在区间 上是单调递减的,在区间 上也是单调递减的,但是由于显然的事实 ,导致它在 上总体来看并没有一致的单调性。
注意:若一个函数 在2个不相交的闭区间上都有定义,如果希望函数在这2个区间的并集上仍然保持相同的单调性,除了分别检查 在2个子区间上的单调性是否一致,还必须检查函数在2个区间的端点上的取值是否也有同样的单调关系。
相关例题1:判断函数 在区间[-3, 0]上的单调性。
相关例题2:求函数 的单调递增区间。
相关例题3:已知 ,是定义在 上的减函数,求a的取值范围。
相关例题4:设函数 ,是定义在 上的增函数,求实数a的取值范围。
相关例题5:设函数 , ,求 的值域。
相关例题6:证明:若函数 在2个部分相交的区间(a, c)和(b, d)上分别都是单调递增的(保证 ),则 在(a, d)上也是单调递增的。
相关例题7:判断下列说法的正误:
(1) 若一个函数在2个相交的集合A、B上分别都是单调递增的,则此函数在 上也一定是单调递增的。( )
(2) 若一个函数在2个不相交的集合A、B上分别都是单调递增的,则此函数在 上也一定是单调递增的。( )
(3) 若区间I可以分为A、B这2个不相交的集合,且某个函数在A、B上分别都是单调递增的,则此函数一定在I的某个开的子区间上会是单调递增的。( )
(4) 存在一个函数,它不是常函数,但是它在其定义域的任何子区间内都不是单调的。( )
一般来说,增函数是保持单调性的映射,减函数是颠倒单调性的映射。
当参与复合的任何一个函数在其定义域内是分段单调函数时,就需要很小心地分类讨论。
相关例题1:判断函数 的单调性。
相关例题2:判断函数 的单调性。
相关例题3:判断函数 的单调性。
相关例题4:求函数 的值域。
相关例题5:求函数 的单调递减区间。
相关例题6:求函数 的值域。
相关例题7:已知函数 ,求 的单调递增区间。