如果在一個函數的定義域I中任取2個點 ,都能證明關係式 成立,則這個函數就是在區間I上嚴格單調遞增的( strictly monotonically increasing),或者說是區間I上的嚴格增函數(strictly increasing function)。
如果在一個函數的定義域I中任取2個點 ,都能證明關係式 成立,則這個函數就是在區間I上嚴格單調遞減的( strictly monotonically decreasing),或者說是區間I上的嚴格減函數(strictly decreasing function)。
嚴格單調遞增函數與嚴格單調遞減函數統稱為嚴格單調函數(monotonic function或monotone function)。
單調性最明顯的重要性在於容易找到單調函數的最大值與最小值。如果已知或者能判斷出一個函數在某個區間上是單調函數,那麼它在該區間上的最大值與最小值始終在其兩側的端點處取到。單調性還可以用於比較函數值大小和查找函數的零點(即後面會學到的二分法)。
在高中教材中規定的單調就等同於上面的嚴格單調。[1]
注意:之所以在這裡強調「嚴格」二字,是因為在許多高等數學教材中對單調遞增函數的定義是「 」,對嚴格單調遞增函數的定義才是 。為了保證數學學習的連續性以及避免可能產生的誤解,特此加以強調。
證明函數單調性的基本方法主要有2種:
- 作差判斷法,即在定義域內任取 ,判斷 的正負。
- 作商判斷法,即在有 恆成立的前提下,在定義域內任取 ,判斷 與1的大小關係。
相關例題1:若函數 在[a, b]上是嚴格增函數,則對任意不相同的 ,下列結論正確的是( ):
- A. ;
- B. ;
- C. ;
- D. 。
相關例題2:下列說法正確的是( )。
- A.定義在(a, b)上的函數 ,若存在 ,且 ,滿足 ,則 在(a, b)上單調遞增。
- B.定義在(a, b)上的函數 ,若有無窮多對 ,使得 時,有 ,則 在(a, b)上單調遞增。
- C.若 在區間A上單調遞增,在區間B上也單調遞增,那麼 在 上也一定單調遞增。
- D.若 在區間I上單調遞增,且 ,則 。
相關例題3:判斷並證明函數 的單調性。
相關例題4:判斷並證明函數 的單調性。
相關例題5:判斷並證明函數 的單調性。
相關例題6:判斷並證明函數 在 上的單調性。
相關例題7:已知不等式 的解集為 。
- (1) 求實數a和b的值。
- (2) 若 ,求函數 的最小值。
有時一個函數可能在不同的子區域中具有不同的單調性,這時需要根據不同的區間範圍單獨討論單調性。例如包含絕對值的函數在討論單調性時,一般需要先分不同情況去除絕對值,此時就可能會得到這種分段單調的函數。
即使函數在定義域內的每一個子集合上具有相同的單調性,也不能保證函數就一定在整個定義域上也單調。例如 在區間 上是單調遞減的,在區間 上也是單調遞減的,但是由於顯然的事實 ,導致它在 上總體來看並沒有一致的單調性。
注意:若一個函數 在2個不相交的閉區間上都有定義,如果希望函數在這2個區間的併集上仍然保持相同的單調性,除了分別檢查 在2個子區間上的單調性是否一致,還必須檢查函數在2個區間的端點上的取值是否也有同樣的單調關係。
相關例題1:判斷函數 在區間[-3, 0]上的單調性。
相關例題2:求函數 的單調遞增區間。
相關例題3:已知 ,是定義在 上的減函數,求a的取值範圍。
相關例題4:設函數 ,是定義在 上的增函數,求實數a的取值範圍。
相關例題5:設函數 , ,求 的值域。
相關例題6:證明:若函數 在2個部分相交的區間(a, c)和(b, d)上分別都是單調遞增的(保證 ),則 在(a, d)上也是單調遞增的。
相關例題7:判斷下列說法的正誤:
(1) 若一個函數在2個相交的集合A、B上分別都是單調遞增的,則此函數在 上也一定是單調遞增的。( )
(2) 若一個函數在2個不相交的集合A、B上分別都是單調遞增的,則此函數在 上也一定是單調遞增的。( )
(3) 若區間I可以分為A、B這2個不相交的集合,且某個函數在A、B上分別都是單調遞增的,則此函數一定在I的某個開的子區間上會是單調遞增的。( )
(4) 存在一個函數,它不是常函數,但是它在其定義域的任何子區間內都不是單調的。( )
一般來說,增函數是保持單調性的映射,減函數是顛倒單調性的映射。
當參與複合的任何一個函數在其定義域內是分段單調函數時,就需要很小心地分類討論。
相關例題1:判斷函數 的單調性。
相關例題2:判斷函數 的單調性。
相關例題3:判斷函數 的單調性。
相關例題4:求函數 的值域。
相關例題5:求函數 的單調遞減區間。
相關例題6:求函數 的值域。
相關例題7:已知函數 ,求 的單調遞增區間。