由上面的觀察可得出:
正方形 面積+正方形 面積=正方形 面積
而若將直角 拉出,並令兩股分別為 、斜邊為 ,則:
此即為畢氏定理,也可以稱為畢達哥拉斯定理或勾股定理等,為古希臘數學家畢達哥拉斯所發現。
經過移項後也可以寫成 或
經過開根號後還可以寫成 、 、
畢氏數也可以稱為勾股數或商高數等,是指符合畢氏定理的 三數。常見 互質的畢氏數有:
今有三個點 在直角座標平面上,如圖三。若要求 點和 點的距離,即為求 ,可以用這個方法:
1.做兩直線分別通過 點和 點並分別平行兩軸交於P點
2.做
此時形成一個直角 ,即可使用畢氏定理
而 點的 座標必為 其中一點的 座標, 點的 座標必為 中另一點的 座標,因此公式可以改寫成
此即為兩點距離公式。
將 點座標帶入可得
同理,若要求 ,則將 點座標帶入得
1.有一個周長為36公分的等腰三角形,其腰長為11公分,求此三角形的面積。
三角形的面積=底×高÷2
底邊的長度,用11減掉36兩次:
36-11-11=14公分
底邊上的高將底邊分成相等的兩段,一段為7公分,因其腰長為11公分,依畢氏定理,得:
高= 公分
面積= 平方公分。