国中数学/国中数学八年级/2-3 毕氏定理

2-2 根式的运算

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国中数学八年级 2-3 毕氏定理

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3-1 利用提公因式作因式分解

本单元将介绍毕氏定理。关于其他直角三角形边长关系，请参见第五册 1-5 三角比。

直角三角形的两股及斜边

图一。此为一直角三角形。

图二。由三个正方形组成。每个方格边长皆为1cm。

定义

有一个$\triangle ABC$为直角三角形，如图一。∠$ACB$为该三角形之直角，其邻边$a$和$b$被称为直角三角形的“股”，对边$c$被称为直角三角形的“斜边”。

股及斜边的关系

请看图二，每个方格边长皆为1厘米。该图有3个正方形，分别为$ABCG$、$GEFG$、$GHIA$，而其中还有一个以${\overline {AD}}$、${\overline {DG}}$、${\overline {AG}}$三线段组成的直角$\triangle ADG$。
仔细观察会发现：正方形$ABCG$和$GEFG$面积的和与$GHIA$相同。

毕氏定理

由来

由上面的观察可得出：
正方形$ABCG$面积+正方形$GEFG$面积=正方形$GHIA$面积
${\overline {AD}}^{2}+{\overline {DG}}^{2}={\overline {AG}}^{2}$
而若将直角$\triangle ADG$拉出，并令两股分别为$a,b$、斜边为$c$，则：
$a^{2}+b^{2}=c^{2}(a,b,c>0)$
此即为毕氏定理，也可以称为毕达哥拉斯定理或勾股定理等，为古希腊数学家毕达哥拉斯所发现。

其他形式

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$经过移项后也可以写成$c^{2}-b^{2}=a^{2}$或$c^{2}-a^{2}=b^{2}$
经过开根号后还可以写成${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=c$、${\sqrt {c^{2}-b^{2}}}=a$、${\sqrt {c^{2}-a^{2}}}=b$

毕氏数

毕氏数也可以称为勾股数或商高数等，是指符合毕氏定理的$(a,b,c)$三数。常见$a,b,c$互质的毕氏数有：
$(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41),(20,21,29)$

平面座标上两点距离

图三。平面座标上求两点距离。

今有三个点$A(5,1),B(1,4),C(-1,2)$在直角座标平面上，如图三。若要求$A$点和$C$点的距离，即为求${\overline {AC}}$，可以用这个方法：
1.做两直线分别通过$A$点和$C$点并分别平行两轴交于P点 2.做${\overline {AC}}$
此时形成一个直角$\triangle APC$，即可使用毕氏定理
${\overline {AP}}^{2}+{\overline {CP}}^{2}={\overline {AC}}^{2}$
$\Rightarrow |X_{P}-X_{A}|^{2}+|Y_{P}-Y_{C}|^{2}={\overline {AC}}^{2}$
$\Rightarrow {\overline {AC}}={\sqrt {(X_{P}-X_{A})^{2}+(Y_{P}-Y_{C})^{2}}}$
而$P$点的$X$座标必为$A,C$其中一点的$X$座标，$P$点的$Y$座标必为$A,C$中另一点的$Y$座标，因此公式可以改写成
$\Rightarrow {\overline {AC}}={\sqrt {(X_{A}-X_{C})^{2}+(Y_{A}-Y_{C})^{2}}}$
此即为两点距离公式。
将$A,C$点座标带入可得${\overline {AC}}={\sqrt {37}}$
同理，若要求${\overline {AB}}$，则将$A,B$点座标带入得${\overline {AB}}=5$

习题

习题图一

习题图二

1.如习题图一，已知${\overline {AB}}=5$，${\overline {BC}}=4$，${\overline {AD}}=2$，则${\overline {DC}}=?$
(A) ${\sqrt {35}}$ (B) ${\sqrt {37}}$ (C) ${\sqrt {39}}$ (D) ${\sqrt {41}}$
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答案：(B)
解析：
做${\overline {AV}}$，使四边形$ABCD$分成两个直角三角形$ABC$与$ADC$，如解析图一。
根据毕氏定理，
${\begin{aligned}&{\overline {AC}}^{2}={\overline {AB}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}\\\Rightarrow &AC={\sqrt {5^{2}+4^{2}}}={\sqrt {41}}\\&{\overline {AC}}^{2}={\overline {AD}}^{2}+{\overline {DC}}^{2}\\\Rightarrow &{\sqrt {41}}^{2}=2^{2}+{\overline {DC}}^{2}\\\Rightarrow &{\sqrt {41-4}}={\overline {DC}}={\sqrt {37}}\end{aligned}}$
故选(B)。

解析图一

2.承上题，四边形 $ABCD$ 的面积为多少平方单位？
(A) $2{\sqrt {37}}+10$ (B) ${\sqrt {37}}+10$ (C) $2{\sqrt {41}}+10$ (D) ${\sqrt {41}}+10$
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答案：(B)
解析：
四边形ABCD面积
${\begin{aligned}&=\triangle ABC+\triangle ADC\\&={\frac {4\times 5}{2}}+{\frac {2\times {\sqrt {37}}}{2}}\\&=10+{\sqrt {37}}\end{aligned}}$
故选(B)。

解析图一

3.如图，小名拿着3.5m的梯子，在离墙2.8m处斜放于墙边，唯恐梯子下滑，他又将梯脚往墙的方向推近0.7m，则梯顶上移了多少m？
(A) 0.1 (B) 0.5 (C) 0.7 (D) 2.1 m
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答案：(C)
解析：
${\begin{aligned}&{\sqrt {(3.5)^{2}-(2.8)^{2}}}=2.1\\&{\sqrt {(3.5)^{2}-(2.8-0.7)^{2}}}={\sqrt {(3.5)^{2}-(2.1)^{2}}}=2.8\\&2.8-2.1=0.7(m)\end{aligned}}$
故选(C)。

应用

1.有一个周长为36厘米的等腰三角形，其腰长为11厘米，求此三角形的面积。

三角形的面积=底×高÷2

底边的长度，用11减掉36两次：

36－11－11＝14厘米

底边上的高将底边分成相等的两段，一段为7厘米，因其腰长为11厘米，依毕氏定理，得：

高=${\sqrt {11^{2}-7^{2}}}={\sqrt {72}}=6{\sqrt {2}}$厘米

面积=${\frac {14\times 6{\sqrt {2}}}{2}}=42{\sqrt {2}}$平方厘米。