國中數學/國中數學八年級/2-3 畢氏定理

2-2 根式的運算

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國中數學八年級 2-3 畢氏定理

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3-1 利用提公因式作因式分解

本單元將介紹畢氏定理。關於其他直角三角形邊長關係，請參見第五冊 1-5 三角比。

直角三角形的兩股及斜邊

圖一。此為一直角三角形。

圖二。由三個正方形組成。每個方格邊長皆為1cm。

定義

有一個$\triangle ABC$為直角三角形，如圖一。∠$ACB$為該三角形之直角，其鄰邊$a$和$b$被稱為直角三角形的「股」，對邊$c$被稱為直角三角形的「斜邊」。

股及斜邊的關係

請看圖二，每個方格邊長皆為1公分。該圖有3個正方形，分別為$ABCG$、$GEFG$、$GHIA$，而其中還有一個以${\overline {AD}}$、${\overline {DG}}$、${\overline {AG}}$三線段組成的直角$\triangle ADG$。
仔細觀察會發現：正方形$ABCG$和$GEFG$面積的和與$GHIA$相同。

畢氏定理

由來

由上面的觀察可得出：
正方形$ABCG$面積+正方形$GEFG$面積=正方形$GHIA$面積
${\overline {AD}}^{2}+{\overline {DG}}^{2}={\overline {AG}}^{2}$
而若將直角$\triangle ADG$拉出，並令兩股分別為$a,b$、斜邊為$c$，則：
$a^{2}+b^{2}=c^{2}(a,b,c>0)$
此即為畢氏定理，也可以稱為畢達哥拉斯定理或勾股定理等，為古希臘數學家畢達哥拉斯所發現。

其他形式

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$經過移項後也可以寫成$c^{2}-b^{2}=a^{2}$或$c^{2}-a^{2}=b^{2}$
經過開根號後還可以寫成${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=c$、${\sqrt {c^{2}-b^{2}}}=a$、${\sqrt {c^{2}-a^{2}}}=b$

畢氏數

畢氏數也可以稱為勾股數或商高數等，是指符合畢氏定理的$(a,b,c)$三數。常見$a,b,c$互質的畢氏數有：
$(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41),(20,21,29)$

平面座標上兩點距離

圖三。平面座標上求兩點距離。

今有三個點$A(5,1),B(1,4),C(-1,2)$在直角座標平面上，如圖三。若要求$A$點和$C$點的距離，即為求${\overline {AC}}$，可以用這個方法：
1.做兩直線分別通過$A$點和$C$點並分別平行兩軸交於P點 2.做${\overline {AC}}$
此時形成一個直角$\triangle APC$，即可使用畢氏定理
${\overline {AP}}^{2}+{\overline {CP}}^{2}={\overline {AC}}^{2}$
$\Rightarrow |X_{P}-X_{A}|^{2}+|Y_{P}-Y_{C}|^{2}={\overline {AC}}^{2}$
$\Rightarrow {\overline {AC}}={\sqrt {(X_{P}-X_{A})^{2}+(Y_{P}-Y_{C})^{2}}}$
而$P$點的$X$座標必為$A,C$其中一點的$X$座標，$P$點的$Y$座標必為$A,C$中另一點的$Y$座標，因此公式可以改寫成
$\Rightarrow {\overline {AC}}={\sqrt {(X_{A}-X_{C})^{2}+(Y_{A}-Y_{C})^{2}}}$
此即為兩點距離公式。
將$A,C$點座標帶入可得${\overline {AC}}={\sqrt {37}}$
同理，若要求${\overline {AB}}$，則將$A,B$點座標帶入得${\overline {AB}}=5$

習題

習題圖一

習題圖二

1.如習題圖一，已知${\overline {AB}}=5$，${\overline {BC}}=4$，${\overline {AD}}=2$，則${\overline {DC}}=?$
(A) ${\sqrt {35}}$ (B) ${\sqrt {37}}$ (C) ${\sqrt {39}}$ (D) ${\sqrt {41}}$
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答案：(B)
解析：
做${\overline {AV}}$，使四邊形$ABCD$分成兩個直角三角形$ABC$與$ADC$，如解析圖一。
根據畢氏定理，
${\begin{aligned}&{\overline {AC}}^{2}={\overline {AB}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}\\\Rightarrow &AC={\sqrt {5^{2}+4^{2}}}={\sqrt {41}}\\&{\overline {AC}}^{2}={\overline {AD}}^{2}+{\overline {DC}}^{2}\\\Rightarrow &{\sqrt {41}}^{2}=2^{2}+{\overline {DC}}^{2}\\\Rightarrow &{\sqrt {41-4}}={\overline {DC}}={\sqrt {37}}\end{aligned}}$
故選(B)。

解析圖一

2.承上題，四邊形 $ABCD$ 的面積為多少平方單位？
(A) $2{\sqrt {37}}+10$ (B) ${\sqrt {37}}+10$ (C) $2{\sqrt {41}}+10$ (D) ${\sqrt {41}}+10$
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答案：(B)
解析：
四邊形ABCD面積
${\begin{aligned}&=\triangle ABC+\triangle ADC\\&={\frac {4\times 5}{2}}+{\frac {2\times {\sqrt {37}}}{2}}\\&=10+{\sqrt {37}}\end{aligned}}$
故選(B)。

解析圖一

3.如圖，小名拿著3.5m的梯子，在離牆2.8m處斜放於牆邊，唯恐梯子下滑，他又將梯腳往牆的方向推近0.7m，則梯頂上移了多少m？
(A) 0.1 (B) 0.5 (C) 0.7 (D) 2.1 m
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答案：(C)
解析：
${\begin{aligned}&{\sqrt {(3.5)^{2}-(2.8)^{2}}}=2.1\\&{\sqrt {(3.5)^{2}-(2.8-0.7)^{2}}}={\sqrt {(3.5)^{2}-(2.1)^{2}}}=2.8\\&2.8-2.1=0.7(m)\end{aligned}}$
故選(C)。

應用

1.有一個周長為36公分的等腰三角形，其腰長為11公分，求此三角形的面積。

三角形的面積=底×高÷2

底邊的長度，用11減掉36兩次：

36－11－11＝14公分

底邊上的高將底邊分成相等的兩段，一段為7公分，因其腰長為11公分，依畢氏定理，得：

高=${\sqrt {11^{2}-7^{2}}}={\sqrt {72}}=6{\sqrt {2}}$公分

面積=${\frac {14\times 6{\sqrt {2}}}{2}}=42{\sqrt {2}}$平方公分。