国中数学/指数记号

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当 $n$ 为正整数^{[注 1]}， $a$ 为任意数时，我们定义 $a^{n}=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots \times a} _{n}$ 。

如 $5^{3}=5\times 5\times 5=125$ 。

名词介绍

在式子 $a^{n}$ 当中：

$a^{n}$ 读作 $a$ 的 $n$ 次方。
$a$ 称作底数。
$n$ 称作指数。
当指数 $n=1$ 时，我们会省略不写。
当指数 $n=2$ 时，我们有时会称 $a^{2}$ 为 $a$ 的平方。
当指数 $n=3$ 时，我们有时会称 $a^{3}$ 为 $a$ 的立方。

如：在 $7^{4}$ 中，

$7^{4}$ 的底数为 $7$ 。
$7^{4}$ 的指数为 $4$ 。
$7^{4}$ 称作“七的四次方”。

有时人们也会将 $a^{n}$ 用“a^n”这样的形式表示。

底数为正整数

底数为正整数的指数运算就是直接将正整数乘以 $n$ 次。

如： $7^{4}=7\times 7\times 7\times 7=2401$ 。

1的任意整数次方都是1^{[注 2]}。

另见：

10的整数次方

底数为0

0的任意正整数次方都是0^{[注 3]}。

底数为负整数

底数为负整数的指数运算就是直接将负整数乘以 $n$ 次。

如： $(-7)^{4}=(-7)\times (-7)\times (-7)\times (-7)=2401$ 。

但是必须注意：

$-a^{n}$ 与 $(-a)^{n}$ 意义不相同， $-a^{n}$ 是 $a^{n}$ 的相反数， $(-a)^{n}$ 是 $\underbrace {(-a)\times (-a)\times (-a)\times \cdots \times (-a)} _{n}$ 。
-1的偶数次方为1，-1的奇数次方为-1。
当指数为奇数时，答案为负数。(即 $(-a)^{n}=-a^{n}$ )
当指数为偶数时，答案为正数。(即 $(-a)^{n}=a^{n}$ )

底数为小数

底数为小数的指数运算就是直接将小数乘以 $n$ 次。

如： $0.3^{3}=0.3\times 0.3\times 0.3=0.027$ 。

但是必须注意：

当底数 $0<a<1$ 时， $n$ 愈大， $a^{n}$ 的值就愈小。
当底数 $a>1$ 时， $n$ 愈大， $a^{n}$ 的值就愈大。

底数为分数

底数为分数的指数运算有两种算法：

直接将分数乘以 $n$ 次。
先将分子乘以 $n$ 次得到 $A$ ，再将分母乘以 $n$ 次得到 $B$ ，答案就是 ${\frac {A}{B}}$ 。

如：

$({\frac {4}{5}})^{3}={\frac {4}{5}}\times {\frac {4}{5}}\times {\frac {4}{5}}={\frac {64}{125}}$ 。
因为 $4^{3}=4\times 4\times 4=64$ ， $5^{3}=5\times 5\times 5=125$ ，所以 $({\frac {4}{5}})^{3}={\frac {64}{125}}$ 。

但是必须注意：

${\frac {a}{b}}^{n}$ 可能会与 ${\frac {a^{n}}{b}}$ 的意义混淆，所以分数的次方需要先加上小括号，写成 $({\frac {a}{b}})^{n}$ 。
带分数必须先换成假分数再作次方的运算。如 $(1{\frac {4}{11}})^{2}=({\frac {15}{11}})^{2}={\frac {225}{121}}$ 。
当底数 $0<a<1$ 时， $n$ 愈大， $a^{n}$ 的值就愈小。
当底数 $a>1$ 时， $n$ 愈大， $a^{n}$ 的值就愈大。

指数与四则运算

在数学式的运算中，有指数必须先算。如： $3\times 5^{2}=3\times 25=75$ ，而不是 $3\times 5^{2}=15^{2}=225$ 。

指数律

底下算式中， $a$ 、 $b$ 是随意两个数^{[注 4]}， $m$ 、 $n$ 是两个正整数，则：

$a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$
$a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$ ( $a\neq 0$ )
$(a\times b)^{n}=a^{n}\times b^{n}$
$(a\div b)^{n}=a^{n}\div b^{n}$ ( $b\neq 0$ )^{[注 5]}^{[注 6]}
$(a^{m})^{n}=(a^{n})^{m}=a^{mn}$

指数为0

除了0之外，我们定义任意数的零次方为1，即 $a^{0}=1$ 。^{[注 7]}

使用计算机计算指数

在工程计算机会有“ $x^{y}$ ”这样的按键。根据功能的不同也有不同的输入方式，在大部分的情况都是依序输入“底数”→“ $x^{y}$ ”→“指数”，不过还是要依据计算机功能来决定。

例如要算 $7^{4}$ 就依序按下“ $7$ ”→“ $x^{y}$ ”→“ $4$ ”即可得到萤幕显示 $2401$ 。

如果你只有传统计算机，你还是可以计算指数为正整数的情形。只要依序按下“底数”→“ $\times$ ”→“底数”→“ $=$ ”→ $\cdots$ →“ $=$ ”，按“ $=$ ”的次数取决于指数数字，要按下“指数 $-1$ ”次。

例如要算 $7^{4}$ 就依序按下“ $7$ ”→“ $\times$ ”→“ $7$ ”→“ $=$ ”→“ $=$ ”→“ $=$ ”(共 $4-1=3$ 次“ $=$ ”)即可得到萤幕显示 $2401$ 。

因为萤幕显示的数字具有上限的限制，故有时计算的结果为近似值。如“ $2^{100}$ ”实际上是“ $1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376$ ”，但用计算机计算“ $2^{100}$ ”可能会出现“ $1.2676506\times 10^{30}$ ”或“ $12676506E+30$ ”的字样。那这代表的意思为何？我们会在科学记号做进一步的说明。

指数的应用

林多纸草书第79题^{[课外连结 1]}
草履虫的无性生殖^{[课外连结 2]}。在恰当的环境下，每次分裂1只可以分裂成2只，再一次分裂就会从2只变4只，再一次分裂就会从4只变8只，……，所以经过 $n$ 次分裂，原本1只草履虫会变成 $2^{n}$ 只草履虫。
如果能够折一张厚度 $0.1$ 毫米的纸 $42$ 次，那么就可以抵达月球。

课外补充：指数为负整数

我们知道若 $a\neq 0$ ，则 $a^{0}=1$ 。那么根据指数律第2条 $a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$ ( $a\neq 0$ )，我们知道 $a^{0}\div a^{n}=a^{0-n}=a^{-n}$ ，又因为 $a^{0}\div a^{n}=1\div a^{n}={\frac {1}{a^{n}}}$ ，所以自然的，我们定义 $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$ (当然， $a\neq 0$ )。

而利用指数律第4条，你会发现 $({\frac {1}{a}})^{n}=(1\div a)^{n}=1^{n}\div a^{n}=1\div a^{n}={\frac {1}{a^{n}}}$ ，所以有时也会定义 $a^{-n}=({\frac {1}{a}})^{n}$ ( $a\neq 0$ )。^{[注 8]}^{[注 9]}

注释

↑ 在国中阶段只讨论指数为正整数与0的情况(10是例外，有讨论10的整数次方)。
↑ 因为1自己乘几次都是1。
↑ 因为0自己乘几次都是0。
↑ 部分要求 $a$ 或 $b\neq 0$ 的原因是因为不能除以0。
↑ 另外常见的形式为 $({\frac {a}{b}})^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$ ( $b\neq 0$ )。
↑ 为什么底数为分数可以有第二个算法的原因。
↑ 依照指数律观点来看， $a^{n}\div a^{n}=a^{n-n}=a^{0}$ ，又 $a^{n}\div a^{n}=1$ 是本来就成立的式子，所以 $a^{0}=1$ 。不定义 $0^{0}$ 的原因在这里，因为不能除以0。
↑ ${\frac {1}{a}}$ 为 $a$ 的倒数。
↑ 这条通常用于分数。要计算 $({\frac {3}{2}})^{-5}$ ，只要算 $({\frac {2}{3}})^{5}$ 即可。