國中數學/指數記號

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當 $n$ 為正整數^{[註 1]}， $a$ 為任意數時，我們定義 $a^{n}=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots \times a} _{n}$ 。

如 $5^{3}=5\times 5\times 5=125$ 。

名詞介紹

在式子 $a^{n}$ 當中：

$a^{n}$ 讀作 $a$ 的 $n$ 次方。
$a$ 稱作底數。
$n$ 稱作指數。
當指數 $n=1$ 時，我們會省略不寫。
當指數 $n=2$ 時，我們有時會稱 $a^{2}$ 為 $a$ 的平方。
當指數 $n=3$ 時，我們有時會稱 $a^{3}$ 為 $a$ 的立方。

如：在 $7^{4}$ 中，

$7^{4}$ 的底數為 $7$ 。
$7^{4}$ 的指數為 $4$ 。
$7^{4}$ 稱作「七的四次方」。

有時人們也會將 $a^{n}$ 用「a^n」這樣的形式表示。

底數為正整數

底數為正整數的指數運算就是直接將正整數乘以 $n$ 次。

如： $7^{4}=7\times 7\times 7\times 7=2401$ 。

1的任意整數次方都是1^{[註 2]}。

另見：

10的整數次方

底數為0

0的任意正整數次方都是0^{[註 3]}。

底數為負整數

底數為負整數的指數運算就是直接將負整數乘以 $n$ 次。

如： $(-7)^{4}=(-7)\times (-7)\times (-7)\times (-7)=2401$ 。

但是必須注意：

$-a^{n}$ 與 $(-a)^{n}$ 意義不相同， $-a^{n}$ 是 $a^{n}$ 的相反數， $(-a)^{n}$ 是 $\underbrace {(-a)\times (-a)\times (-a)\times \cdots \times (-a)} _{n}$ 。
-1的偶數次方為1，-1的奇數次方為-1。
當指數為奇數時，答案為負數。(即 $(-a)^{n}=-a^{n}$ )
當指數為偶數時，答案為正數。(即 $(-a)^{n}=a^{n}$ )

底數為小數

底數為小數的指數運算就是直接將小數乘以 $n$ 次。

如： $0.3^{3}=0.3\times 0.3\times 0.3=0.027$ 。

但是必須注意：

當底數 $0<a<1$ 時， $n$ 愈大， $a^{n}$ 的值就愈小。
當底數 $a>1$ 時， $n$ 愈大， $a^{n}$ 的值就愈大。

底數為分數

底數為分數的指數運算有兩種算法：

直接將分數乘以 $n$ 次。
先將分子乘以 $n$ 次得到 $A$ ，再將分母乘以 $n$ 次得到 $B$ ，答案就是 ${\frac {A}{B}}$ 。

如：

$({\frac {4}{5}})^{3}={\frac {4}{5}}\times {\frac {4}{5}}\times {\frac {4}{5}}={\frac {64}{125}}$ 。
因為 $4^{3}=4\times 4\times 4=64$ ， $5^{3}=5\times 5\times 5=125$ ，所以 $({\frac {4}{5}})^{3}={\frac {64}{125}}$ 。

但是必須注意：

${\frac {a}{b}}^{n}$ 可能會與 ${\frac {a^{n}}{b}}$ 的意義混淆，所以分數的次方需要先加上小括號，寫成 $({\frac {a}{b}})^{n}$ 。
帶分數必須先換成假分數再作次方的運算。如 $(1{\frac {4}{11}})^{2}=({\frac {15}{11}})^{2}={\frac {225}{121}}$ 。
當底數 $0<a<1$ 時， $n$ 愈大， $a^{n}$ 的值就愈小。
當底數 $a>1$ 時， $n$ 愈大， $a^{n}$ 的值就愈大。

指數與四則運算

在數學式的運算中，有指數必須先算。如： $3\times 5^{2}=3\times 25=75$ ，而不是 $3\times 5^{2}=15^{2}=225$ 。

指數律

底下算式中， $a$ 、 $b$ 是隨意兩個數^{[註 4]}， $m$ 、 $n$ 是兩個正整數，則：

$a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$
$a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$ ( $a\neq 0$ )
$(a\times b)^{n}=a^{n}\times b^{n}$
$(a\div b)^{n}=a^{n}\div b^{n}$ ( $b\neq 0$ )^{[註 5]}^{[註 6]}
$(a^{m})^{n}=(a^{n})^{m}=a^{mn}$

指數為0

除了0之外，我們定義任意數的零次方為1，即 $a^{0}=1$ 。^{[註 7]}

使用計算機計算指數

在工程計算機會有「 $x^{y}$ 」這樣的按鍵。根據功能的不同也有不同的輸入方式，在大部分的情況都是依序輸入「底數」→「 $x^{y}$ 」→「指數」，不過還是要依據計算機功能來決定。

例如要算 $7^{4}$ 就依序按下「 $7$ 」→「 $x^{y}$ 」→「 $4$ 」即可得到螢幕顯示 $2401$ 。

如果你只有傳統計算機，你還是可以計算指數為正整數的情形。只要依序按下「底數」→「 $\times$ 」→「底數」→「 $=$ 」→ $\cdots$ →「 $=$ 」，按「 $=$ 」的次數取決於指數數字，要按下「指數 $-1$ 」次。

例如要算 $7^{4}$ 就依序按下「 $7$ 」→「 $\times$ 」→「 $7$ 」→「 $=$ 」→「 $=$ 」→「 $=$ 」(共 $4-1=3$ 次「 $=$ 」)即可得到螢幕顯示 $2401$ 。

因為螢幕顯示的數字具有上限的限制，故有時計算的結果為近似值。如「 $2^{100}$ 」實際上是「 $1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376$ 」，但用計算機計算「 $2^{100}$ 」可能會出現「 $1.2676506\times 10^{30}$ 」或「 $12676506E+30$ 」的字樣。那這代表的意思為何？我們會在科學記號做進一步的說明。

指數的應用

林多紙草書第79題^{[課外連結 1]}
草履蟲的無性生殖^{[課外連結 2]}。在恰當的環境下，每次分裂1隻可以分裂成2隻，再一次分裂就會從2隻變4隻，再一次分裂就會從4隻變8隻，……，所以經過 $n$ 次分裂，原本1隻草履蟲會變成 $2^{n}$ 隻草履蟲。
如果能夠摺一張厚度 $0.1$ 毫米的紙 $42$ 次，那麼就可以抵達月球。

課外補充：指數為負整數

我們知道若 $a\neq 0$ ，則 $a^{0}=1$ 。那麼根據指數律第2條 $a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$ ( $a\neq 0$ )，我們知道 $a^{0}\div a^{n}=a^{0-n}=a^{-n}$ ，又因為 $a^{0}\div a^{n}=1\div a^{n}={\frac {1}{a^{n}}}$ ，所以自然的，我們定義 $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$ (當然， $a\neq 0$ )。

而利用指數律第4條，你會發現 $({\frac {1}{a}})^{n}=(1\div a)^{n}=1^{n}\div a^{n}=1\div a^{n}={\frac {1}{a^{n}}}$ ，所以有時也會定義 $a^{-n}=({\frac {1}{a}})^{n}$ ( $a\neq 0$ )。^{[註 8]}^{[註 9]}

註釋

↑ 在國中階段只討論指數為正整數與0的情況(10是例外，有討論10的整數次方)。
↑ 因為1自己乘幾次都是1。
↑ 因為0自己乘幾次都是0。
↑ 部分要求 $a$ 或 $b\neq 0$ 的原因是因為不能除以0。
↑ 另外常見的形式為 $({\frac {a}{b}})^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$ ( $b\neq 0$ )。
↑ 為什麼底數為分數可以有第二個算法的原因。
↑ 依照指數律觀點來看， $a^{n}\div a^{n}=a^{n-n}=a^{0}$ ，又 $a^{n}\div a^{n}=1$ 是本來就成立的式子，所以 $a^{0}=1$ 。不定義 $0^{0}$ 的原因在這裏，因為不能除以0。
↑ ${\frac {1}{a}}$ 為 $a$ 的倒數。
↑ 這條通常用於分數。要計算 $({\frac {3}{2}})^{-5}$ ，只要算 $({\frac {2}{3}})^{5}$ 即可。