國中數學/指數記號

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為正整數[註 1]為任意數時,我們定義

名詞介紹

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在式子 當中:

  1.  讀作  次方。
  2.  稱作底數
  3.  稱作指數
  4. 當指數 時,我們會省略不寫。
  5. 當指數 時,我們有時會稱  平方
  6. 當指數 時,我們有時會稱  立方

如:在 中,

  •  的底數為 
  •  的指數為 
  •  稱作「七的四次方」。

有時人們也會將 用「a^n」這樣的形式表示。

底數為正整數

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底數為正整數的指數運算就是直接將正整數乘以 次。

如: 

1的任意整數次方都是1[註 2]

另見:

底數為0

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0的任意正整數次方都是0[註 3]

底數為負整數

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底數為負整數的指數運算就是直接將負整數乘以 次。

如: 

但是必須注意:

  1.   意義不相同,  相反數  
  2. -1的偶數次方為1,-1的奇數次方為-1。
  3. 當指數為奇數時,答案為負數。(即 )
  4. 當指數為偶數時,答案為正數。(即 )

底數為小數

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底數為小數的指數運算就是直接將小數乘以 次。

如: 

但是必須注意:

  1. 當底數 時, 愈大, 的值就愈
  2. 當底數 時, 愈大, 的值就愈

底數為分數

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底數為分數的指數運算有兩種算法:

  1. 直接將分數乘以 次。
  2. 先將分子乘以 次得到 ,再將分母乘以 次得到 ,答案就是 

如:

  1.  
  2. 因為  ,所以 

但是必須注意:

  1.  可能會與 的意義混淆,所以分數的次方需要先加上小括號,寫成 
  2. 帶分數必須先換成假分數再作次方的運算。如 
  3. 當底數 時, 愈大, 的值就愈
  4. 當底數 時, 愈大, 的值就愈

指數與四則運算

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在數學式的運算中,有指數必須先算。 如: ,而不是 

指數律

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底下算式中,  是隨意兩個數[註 4]  是兩個正整數,則:

  1.  
  2.  ( )
  3.  
  4.  ( )[註 5][註 6]
  5.  

指數為0

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除了0之外,我們定義任意數的零次方為1,即 [註 7]

使用計算機計算指數

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在工程計算機會有「 」這樣的按鍵。根據功能的不同也有不同的輸入方式,在大部分的情況都是依序輸入「底數」→「 」→「指數」,不過還是要依據計算機功能來決定。

例如要算 就依序按下「 」→「 」→「 」即可得到螢幕顯示 

如果你只有傳統計算機,你還是可以計算指數為正整數的情形。只要依序按下「底數」→「 」→「底數」→「 」→ →「 」,按「 」的次數取決於指數數字,要按下「指數 」次。

例如要算 就依序按下「 」→「 」→「 」→「 」→「 」→「 」(共 次「 」)即可得到螢幕顯示 

因為螢幕顯示的數字具有上限的限制,故有時計算的結果為近似值。如「 」實際上是「 」,但用計算機計算「 」可能會出現「 」或「 」的字樣。那這代表的意思為何?我們會在科學記號做進一步的說明。

指數的應用

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  • 林多紙草書第79題[課外連結 1]
  • 草履蟲的無性生殖[課外連結 2]。在恰當的環境下,每次分裂1隻可以分裂成2隻,再一次分裂就會從2隻變4隻,再一次分裂就會從4隻變8隻,……,所以經過 次分裂,原本1隻草履蟲會變成 隻草履蟲。
  • 如果能夠摺一張厚度 毫米的紙 次,那麼就可以抵達月球。

課外補充:指數為負整數

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我們知道若 ,則 。那麼根據指數律第2條 ( ),我們知道 ,又因為 ,所以自然的,我們定義 (當然, )。

而利用指數律第4條,你會發現 ,所以有時也會定義 ( )。[註 8][註 9]

註釋

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  1. 在國中階段只討論指數為正整數與0的情況(10是例外,有討論10的整數次方)。
  2. 因為1自己乘幾次都是1。
  3. 因為0自己乘幾次都是0。
  4. 部分要求  的原因是因為不能除以0。
  5. 另外常見的形式為 ( )。
  6. 為什麼底數為分數可以有第二個算法的原因。
  7. 依照指數律觀點來看, ,又 是本來就成立的式子,所以 。不定義 的原因在這裏,因為不能除以0。
  8.   倒數
  9. 這條通常用於分數。要計算 ,只要算 即可。

課外連結

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  1. 世界第一題趣味數學(五夢網)
  2. 草履蟲(維基百科)

更多資料

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