国中数学/指数记号

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为正整数[注 1]为任意数时,我们定义

名词介绍

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在式子 当中:

  1.  读作  次方。
  2.  称作底数
  3.  称作指数
  4. 当指数 时,我们会省略不写。
  5. 当指数 时,我们有时会称  平方
  6. 当指数 时,我们有时会称  立方

如:在 中,

  •  的底数为 
  •  的指数为 
  •  称作“七的四次方”。

有时人们也会将 用“a^n”这样的形式表示。

底数为正整数

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底数为正整数的指数运算就是直接将正整数乘以 次。

如: 

1的任意整数次方都是1[注 2]

另见:

底数为0

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0的任意正整数次方都是0[注 3]

底数为负整数

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底数为负整数的指数运算就是直接将负整数乘以 次。

如: 

但是必须注意:

  1.   意义不相同,  相反数  
  2. -1的偶数次方为1,-1的奇数次方为-1。
  3. 当指数为奇数时,答案为负数。(即 )
  4. 当指数为偶数时,答案为正数。(即 )

底数为小数

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底数为小数的指数运算就是直接将小数乘以 次。

如: 

但是必须注意:

  1. 当底数 时, 愈大, 的值就愈
  2. 当底数 时, 愈大, 的值就愈

底数为分数

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底数为分数的指数运算有两种算法:

  1. 直接将分数乘以 次。
  2. 先将分子乘以 次得到 ,再将分母乘以 次得到 ,答案就是 

如:

  1.  
  2. 因为  ,所以 

但是必须注意:

  1.  可能会与 的意义混淆,所以分数的次方需要先加上小括号,写成 
  2. 带分数必须先换成假分数再作次方的运算。如 
  3. 当底数 时, 愈大, 的值就愈
  4. 当底数 时, 愈大, 的值就愈

指数与四则运算

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在数学式的运算中,有指数必须先算。 如: ,而不是 

指数律

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底下算式中,  是随意两个数[注 4]  是两个正整数,则:

  1.  
  2.  ( )
  3.  
  4.  ( )[注 5][注 6]
  5.  

指数为0

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除了0之外,我们定义任意数的零次方为1,即 [注 7]

使用计算机计算指数

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在工程计算机会有“ ”这样的按键。根据功能的不同也有不同的输入方式,在大部分的情况都是依序输入“底数”→“ ”→“指数”,不过还是要依据计算机功能来决定。

例如要算 就依序按下“ ”→“ ”→“ ”即可得到屏幕显示 

如果你只有传统计算机,你还是可以计算指数为正整数的情形。只要依序按下“底数”→“ ”→“底数”→“ ”→ →“ ”,按“ ”的次数取决于指数数字,要按下“指数 ”次。

例如要算 就依序按下“ ”→“ ”→“ ”→“ ”→“ ”→“ ”(共 次“ ”)即可得到屏幕显示 

因为屏幕显示的数字具有上限的限制,故有时计算的结果为近似值。如“ ”实际上是“ ”,但用计算机计算“ ”可能会出现“ ”或“ ”的字样。那这代表的意思为何?我们会在科学记号做进一步的说明。

指数的应用

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  • 林多纸草书第79题[课外连结 1]
  • 草履虫的无性生殖[课外连结 2]。在恰当的环境下,每次分裂1只可以分裂成2只,再一次分裂就会从2只变4只,再一次分裂就会从4只变8只,……,所以经过 次分裂,原本1只草履虫会变成 只草履虫。
  • 如果能够折一张厚度 毫米的纸 次,那么就可以抵达月球。

课外补充:指数为负整数

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我们知道若 ,则 。那么根据指数律第2条 ( ),我们知道 ,又因为 ,所以自然的,我们定义 (当然, )。

而利用指数律第4条,你会发现 ,所以有时也会定义 ( )。[注 8][注 9]

注释

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  1. 在国中阶段只讨论指数为正整数与0的情况(10是例外,有讨论10的整数次方)。
  2. 因为1自己乘几次都是1。
  3. 因为0自己乘几次都是0。
  4. 部分要求  的原因是因为不能除以0。
  5. 另外常见的形式为 ( )。
  6. 为什么底数为分数可以有第二个算法的原因。
  7. 依照指数律观点来看, ,又 是本来就成立的式子,所以 。不定义 的原因在这里,因为不能除以0。
  8.   倒数
  9. 这条通常用于分数。要计算 ,只要算 即可。

课外连结

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  1. 世界第一题趣味数学(五梦网)
  2. 草履虫(维基百科)

更多资料

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