本单元将要介绍连乘的简易表示法,并且了解科学记号的表示方法。关于指数律,请见2-5 指数律。
当 为正整数[注 1], 为任意数时,我们定义 。
如 。
在式子 当中:
- 读作“ 的 次方”。
- 称作底数。
- 称作指数。
- 当指数 时,我们会省略不写。
- 当指数 时,我们有时会称 为 的平方。
- 当指数 时,我们有时会称 为 的立方。
如:在 中,
- 的底数为 。
- 的指数为 。
- 称作“七的四次方”。
有时人们也会将 用“a^n”这样的形式表示。
底数为正整数的指数运算就是直接将正整数乘以 次。
如: 。
1的任意整数次方都是1[注 2]。
0的任意正整数次方都是0[注 3]。
底数为负整数的指数运算就是直接将负整数乘以 次。
如: 。
但是必须注意:
- 与 意义不相同, 是 的相反数, 是 。
- -1的偶数次方为1,-1的奇数次方为-1。
- 当指数为奇数时,答案为负数。(即 )
- 当指数为偶数时,答案为正数。(即 )
例题 计算以下各式的值。
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解
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可以注意到指数 为奇数,所以 。
例题 计算以下各式的值。
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解
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可以注意到指数 为偶数,所以 。
小测
底数为小数的指数运算就是直接将小数乘以 次。
如: 。
但是必须注意:
- 当底数 时, 愈大, 的值就愈小。
- 当底数 时, 愈大, 的值就愈大。
例题 计算以下各式的值。
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解
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小测
虽然以下两题都是比较次方数的大小,但是答案却不尽相同,请读者好好体会。
例题 在 四数当中,哪一个数最大?哪一个数最小?
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例题 在 四数当中,哪一个数最大?哪一个数最小?
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小测
在数学式的运算中,有指数必须先算。
如: ,而不是 。
例题 计算以下各式的值。
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在工程计算机会有“ ”这样的按键。根据功能的不同也有不同的输入方式,在大部分的情况都是依序输入“底数”→“ ”→“指数”,不过还是要依据计算机功能来决定。
例如要算 就依序按下“ ”→“ ”→“ ”即可得到萤幕显示 。
如果你只有传统计算机,你还是可以计算指数为正整数的情形。只要依序按下“底数”→“ ”→“底数”→“ ”→ →“ ”,按“ ”的次数取决于指数数字,要按下“指数 ”次。
例如要算 就依序按下“ ”→“ ”→“ ”→“ ”→“ ”→“ ”(共 次“ ”)即可得到萤幕显示 。
因为萤幕显示的数字具有上限的限制,故有时计算的结果为近似值。如“ ”实际上是“ ”,但用计算机计算“ ”可能会出现“ ”或“ ”的字样。那这代表的意思为何?我们会在底下的科学记号做进一步的说明。
- 林多纸草书第79题[课外连结 1]
- 草履虫的无性生殖[课外连结 2]。在恰当的环境下,每次分裂1只可以分裂成2只,再一次分裂就会从2只变4只,再一次分裂就会从4只变8只,……,所以经过 次分裂,原本1只草履虫会变成 只草履虫。
- 如果能够折一张厚度 毫米的纸 次,那么就可以抵达月球。
将一个不是科学记号的数,如 转换成科学记号,应该要怎么做呢?我们底下举例说明:
例题 将以下各数写成科学记号。
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- ↑ 在国中阶段只讨论指数为正整数与0的情况(10是例外,有讨论10的整数次方)。
- ↑ 因为1自己乘几次都是1。
- ↑ 因为0自己乘几次都是0。
- ↑ 根据Google引擎搜寻的资料[1]。
- ↑ 大肠杆菌长为 ,而 。详见此文章:大肠杆菌。
- ↑ 电脑或是某些计算机会显示为 ,如Google搜索引擎找寻地球的质量会出现 ,这个数意思就是 ,也是科学记号表示法。
- ↑ 可以记成 ,此符号会在7-1 一元一次不等式的地方学习。
- ↑ 小数的次方我们会在高中阶段介绍“指数”的时候介绍。详情请参阅:指数(高中课程)。
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题号 |
科学记号 |
展开的结果 |
整数部分为几位数
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题号 |
科学记号 |
展开的结果 |
小数点后第几位开始出现不为 的数字
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