國中數學/國中數學七年級/1-3 正負數的乘除

◄

國中數學七年級
1-3 正負數的乘除

►

本單元將介紹正負整數與正負小數的乘除運算。關於分數的部分請見2-4 分數的乘除。

正負數的乘法

雨婷的媽媽經營小本生意，每天可以賺取 $5$ 萬元，在最近雨婷的媽媽達到收支平衡。
如果雨婷的媽媽在今天達到收支平衡，那代表 $1$ 天後雨婷的媽媽可以賺取解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikibooks.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle 5} 萬元， $2$ 天後雨婷的媽媽可以賺取 $10$ 萬元， $3$ 天後雨婷的媽媽可以賺取 $15$ 萬元，……
相反的， $1$ 天前雨婷的媽媽還賠 $5$ 萬元， $2$ 天前雨婷的媽媽還賠 $10$ 萬元， $3$ 天前雨婷的媽媽還賠 $15$ 萬元，……

時間	賺/賠
$3$ 天後	賺 $15$ 萬元
$2$ 天後	賺 $10$ 萬元
$1$ 天後	賺 $5$ 萬元
今天	$0$ 萬元(不賺不賠)
$1$ 天前	賠 $5$ 萬元
$2$ 天前	賠 $10$ 萬元
$3$ 天前	賠 $15$ 萬元

如果「賺」記作正，「賠」記作負，則我們可以紀錄成

時間	賺/賠	算式紀錄
$3$ 天後	賺 $15$ 萬元	$({\color {blue}+}5)\times ({\color {blue}+}3)={\color {blue}+}15$
$2$ 天後	賺 $10$ 萬元	$({\color {blue}+}5)\times ({\color {blue}+}2)={\color {blue}+}10$
$1$ 天後	賺 $5$ 萬元	$({\color {blue}+}5)\times ({\color {blue}+}1)={\color {blue}+}5$
今天	$0$ 萬元(不賺不賠)	$({\color {blue}+}5)\times 0=0$
$1$ 天前	賠 $5$ 萬元	$({\color {blue}+}5)\times ({\color {red}-}1)={\color {red}-}5$
$2$ 天前	賠 $10$ 萬元	$({\color {blue}+}5)\times ({\color {red}-}2)={\color {red}-}10$
$3$ 天前	賠 $15$ 萬元	$({\color {blue}+}5)\times ({\color {red}-}3)={\color {red}-}15$

所以我們可以得到以下結果：

  $a,b$ 為正數，則 $(+a)\times (-b)=-(a\times b)$

這個式子中， $-(a\times b)$ 代表 $(a\times b)$ 這個數的相反數。

我們利用以下的例題練習上述式子的運用。

例題

1

計算以下各式：

$(1)5\times (-4)$
$(2)0.3\times (-1.2)$

解

(1)5\times (-4)=-(5\times 4)=-20

$(2)0.3\times (-1.2)=-(0.3\times 1.2)=-0.36$

小測

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

	$21$
	$-21$

	$7$
	$-7$

但是雨婷的哥哥可就不同，每天都會賠 $5$ 萬元，在最近雨婷的哥哥達到收支平衡。
如果雨婷的哥哥在今天達到收支平衡，那代表 $1$ 天後雨婷的哥哥會賠 $5$ 萬元， $2$ 天後雨婷的哥哥會賠 $10$ 萬元， $3$ 天後雨婷的哥哥會賠 $15$ 萬元，……
相反的， $1$ 天前雨婷的哥哥還賺 $5$ 萬元， $2$ 天前雨婷的哥哥賺 $10$ 萬元， $3$ 天前雨婷的哥哥賺 $15$ 萬元，……

時間	賺/賠
$3$ 天後	賠 $15$ 萬元
$2$ 天後	賠 $10$ 萬元
$1$ 天後	賠 $5$ 萬元
今天	$0$ 萬元(不賺不賠)
$1$ 天前	賺 $5$ 萬元
$2$ 天前	賺 $10$ 萬元
$3$ 天前	賺 $15$ 萬元

如果「賺」記作正，「賠」記作負，則我們可以紀錄成

時間	賺/賠	算式紀錄
$3$ 天後	賠 $15$ 萬元	$({\color {red}-}5)\times ({\color {blue}+}3)={\color {red}-}15$
$2$ 天後	賠 $10$ 萬元	$({\color {red}-}5)\times ({\color {blue}+}2)={\color {red}-}10$
$1$ 天後	賠 $5$ 萬元	$({\color {red}-}5)\times ({\color {blue}+}1)={\color {red}-}5$
今天	$0$ 萬元(不賺不賠)	$({\color {red}-}5)\times 0=0$
$1$ 天前	賺 $5$ 萬元	$({\color {red}-}5)\times ({\color {red}-}1)={\color {blue}+}5$
$2$ 天前	賺 $10$ 萬元	$({\color {red}-}5)\times ({\color {red}-}2)={\color {blue}+}10$
$3$ 天前	賺 $15$ 萬元	$({\color {red}-}5)\times ({\color {red}-}3)={\color {blue}+}15$

所以我們可以得到以下結果：

  $a,b$ 為正數，則 $(-a)\times (+b)=-(a\times b)$ ； $(-a)\times (-b)=a\times b$

我們利用以下的例題練習上述式子的運用。

例題

2

計算以下各式：

$(1)(-3)\times (-9)$
$(2)(-3.6)\times 1.2$

解

(1)(-3)\times (-9)=3\times 9=27

$(2)(-3.6)\times 1.2=-(3.6\times 1.2)=-4.32$

小測

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

	$21$
	$-21$

	$29$
	$-29$

	$77$
	$-77$

	$2.24$
	$-2.24$

正負數乘法的口訣

正負數乘法的口訣為：

 正正得正，正負得負，負正得負，負負得正

這個口訣的意思為當兩個正數相乘，得到的答案為正數；一正一負相乘，得到的答案為負數；兩個負數相乘，得到的答案為正數。所以進一步的，我們得到

 同號數相乘，其值為正；異號數相乘，其值為負。

例題

3

計算下列各式的值。

$(1)(-9)\times (-3)$
$(2)(-1.2)\times 0.3$
$(3)1.2\times (-3.6)$

解

(1)

因為負負得正的關係，所以

(-9)\times (-3)=9\times 3=27

$(2)$ 因為負正得負的關係，所以 $(-1.2)\times 0.3=-(1.2\times 0.3)=-0.36$
$(3)$ 因為正負得負的關係，所以 $1.2\times (-3.6)=-(1.2\times 3.6)=-4.32$

乘法的交換律

以前我們學過 $3\times 5=5\times 3=15$ ，在負數的計算上正確嗎？
將例題 $3$ 的第 $(1)$ 題與例題 $2$ 的第 $(1)$ 題做比較：

比較項目	例題 $3$ 第 $(1)$ 題	例題 $2$ 第 $(1)$ 題
題目	$(-9)\times (-3)$	$(-3)\times (-9)$
答案	$27$	$27$

你發現了嗎？兩題的答案是相同的！
習題
$1.$ 比較例題 $3$ 第 $(2)$ 題與例題 $1$ 第 $(2)$ 題，是否相同？^{[習題解答 1]}
$2.$ 比較例題 $3$ 第 $(3)$ 題與例題 $2$ 第 $(2)$ 題，是否相同？^{[習題解答 2]}

 若 $a$ 、 $b$ 為兩數，則 $a\times b=b\times a$ 。

乘法的結合律

以前我們也學過 $(3\times 5)\times 7=3\times (5\times 7)$ ，可是在負數的計算上正確嗎？

例題

4

計算下列各式的值。

$(1)[(-9)\times (-10)]\times 8$
$(2)(-9)\times [(-10)\times 8]$

解

(1)[(-9)\times (-10)]\times 8

$=(9\times 10)\times 8$ (負負得正)
$=90\times 8$
$=720$
$(2)$ $(-9)\times [(-10)\times 8]$
$=(-9)\times [-(10\times 8)]$ (負正得負)
$=(-9)\times (-80)$
$=9\times 80$ (負負得正)
$=720$

小測

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

	相同
	不相同

	相同
	不相同

	相同
	不相同

4 計算 $[(-0.3)\times (-0.4)]\times (-0.5)$ 與 $(-0.3)\times [(-0.4)\times (-0.5)]$ 的結果，答案是否相同？

	相同
	不相同

事實上：

 若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 為三數，則 $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$ 。

1、0、-1的乘法

任何數乘以 $1$ 之後皆等於自己本身。即若 $a$ 是任意數，則 $a\times 1=1\times a=a$ 。
任何數乘以 $0$ 之後皆等於 $0$ 。即若 $a$ 是任意數，則 $a\times 0=0\times a=0$ 。
任何數乘以 $-1$ 之後皆等於該數的相反數。即若 $a$ 是任意數，則 $a\times (-1)=(-1)\times a=-a$ 。

小測

連續數的乘法

進行連續數的乘法時，

有括號要先算。
從左而右計算。
可以利用交換律與結合律簡化計算。

例題

5

計算

[(-25)\times (-17)]\times (4\times 3)

的值。

解

[(-25)\times (-17)]\times (4\times 3)

$=(-25)\times (-17)\times 4\times 3$ (拿掉括號)
$=(-25)\times [(-17)\times 4]\times 3$ (括中間)
$=(-25)\times [4\times (-17)]\times 3$ (交換律)
$=[(-25)\times 4]\times (-17)\times 3$ (結合律)
$=(-100)\times [(-17)\times 3]$ (結合律)
$=(-100)\times (-51)$
$=5100$

習題
$3.$ 計算下列各式的值：

$(1)125\times [37\times (-8)]$ ^{[習題解答 3]}
$(2)(-13)\times (-4)\times [(-5)\times (-7)]$ ^{[習題解答 4]}

連續多數的乘法之正負性

因為負負得正的關係^{[註 1]}，所以：

如果連乘算式當中有奇數個負數時，答案為負數。
如果連乘算式當中有偶數個負數時，答案為正數。
如果連乘算式當中有 ${\color {green}0}$ ，答案為 ${\color {green}0}$ 。

例題

6

判斷以下各式計算的結果為正數、負數或

0

？

$(1)(-333)\times (-4444)\times (-55555)\times (-666666)$
$(2)(-2)\times 3\times (-4)\times 5\times (-6)\times 7$

解

$(1)$ 式子中沒有 $0$ ，有 $4$ 個負數，為偶數，所以計算結果為正數。
$(2)$ 式子中沒有 $0$ ，有 $3$ 個負數，為奇數，所以計算結果為負數。

小測

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

	正數
	$0$
	負數

	正數
	$0$
	負數

數的除法

我們在國小時期有學過乘除互逆規則。例如因為 $3\times 5=15$ ，所以 $15\div 3=5$ 而且 $15\div 5=3$ 。
利用這樣的想法，我們可以知道

乘法算式	除法算式 $1$	除法算式 $2$
$(-3)\times 5=-15$	$(-15)\div (-3)=5$	$(-15)\div 5=-3$
$4\times (-7)=-28$	$(-28)\div 4=-7$	$(-28)\div (-7)=4$
$(-6)\times (-9)=54$	$54\div (-6)=-9$	$54\div (-9)=-6$

你可以發現：

 同號數相除，其值為正；異號數相除，其值為負。

所以事實上，除法的運算規則也符合乘法運算^{[註 2]}口訣：

正正得正，正負得負，負正得負，負負得正。

關於1的除法

設 $a$ 是任意數，則 $a\div 1=a$ 。
設 $a$ 是任意非 $0$ 的數，則 $1\div a={\frac {1}{a}}$ ，其中 ${\frac {1}{a}}$ 為 $a$ 的倒數^{[註 3]}。

關於-1的除法

設 $a$ 是任意數，則 $a\div (-1)=-a$ ，即 $a$ 的相反數。
設 $a$ 是任意非 $0$ 的數，則 $(-1)\div a=-{\frac {1}{a}}$ 。

關於0的除法

設 $a$ 是任意數，則 $0\div a=0$ 。
我們不定義任何數除以 $0$ 的結果。即 $0$ 不能是除數。

例題

7

計算下列各式的值：

$(1)(-98)\div (-7)$
$(2)(-130)\div 13$
$(3)87\div (-29)$

解

$(1)$ 因為負負得正，所以 $(-98)\div (-7)=98\div 7=14$ 。
$(2)$ 因為負正得負，所以 $(-130)\div 13=-(130\div 13)=-10$ 。
$(3)$ 因為正負得負，所以 $87\div (-29)=-(87\div 29)=-3$ 。

小測

正負數乘除混合運算

如同正負數的加減運算一樣，以下是計算正負數的乘除混合運算的時候要注意的規則：

有絕對值要先算。
有括號要先算，順序依序為 $()\rightarrow []\rightarrow$ {}^{[註 4]}。
沒括號時，從左而右計算。

另外，乘除混合運算也有類似於交換律的運算^{[註 5]}^{[註 6]}：
設 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 為三個任意數(但不能除以 $0$ )，則：

$a\times b\div c=a\div c\times b$
$a\div b\times c=a\times c\div b$ ^{[註 7]}
$a\div b\div c=a\div c\div b$

我們將利用這些式子練習以下例題：

例題

8

計算下列各式的值：

$(1)(-96)\div (-2)\div 8$
$(2)(-390)\div (13\times 5)$
$(3)805\div |(-23)\times 5|$
$(4)139\times (-97)\div (-139)$

解

$(1)$ 因為沒有括號，所以需要從左而右計算。
$(-96)\div (-2)\div 8$
$=48\div 8$
$=6$
$(2)$ 因為有括號要先算，所以
$(-390)\div (13\times 5)$
$=(-390)\div 65$
$=-6$
$(3)$ 因為有絕對值要先算，所以
$805\div |(-23)\times 5|$
$=805\div |-115|$
$=805\div 115$
$=7$
$(4)$ 觀察 $139\div (-139)$ 比較好算，利用交換性，所以
$139\times (-97)\div (-139)$
$=139\div (-139)\times (-97)$
$=(-1)\times (-97)$
$=97$

習題
習題 $4.$ 計算下列各式的值：
$(1)12\div (-3)\times 13$ ^{[習題解答 5]}
$(2)(-168)\div [(-3)\times 7]$ ^{[習題解答 6]}
$(3)123\div |-41|\times (-9)$ ^{[習題解答 7]}
$(4)(-9600)\div (-25)\div 96$ ^{[習題解答 8]}

正負數四則運算

以下是計算正負數四則運算的時候要注意的規則：

有絕對值要先算。
有括號要先算，順序依序為 $()\rightarrow []\rightarrow$ {}。
先乘除後加減。
從左而右計算。

例題

9

計算下列各式的值：

$(1)54-(-27)\div (-9)$
$(2)(-91)\div 13-|-12|\times (-4)$
$(3)(-39)\div [24+7\times (-3)]$

解

$(1)54-(-27)\div (-9)$
$=54-3$ (先乘除後加減)
$=51$
$(2)(-91)\div 13-|-12|\times (-4)$
$=(-91)\div 13-12\times (-4)$ (有絕對值要先算)
$=(-7)-(-48)$ (先乘除後加減)
$=41$
$(3)(-39)\div [24+7\times (-3)]$
$=(-39)\div [24+(-21)]$ (有括號要先算、先乘除後加減)
$=(-39)\div 3$
$=-13$

習題
習題 $5.$ 計算下列各式的值：
$(1)5\times (-3)+66\div (-11)$ ^{[習題解答 9]}
$(2)(-450)\div |29-(-3)\times 7|$ ^{[習題解答 10]}
$(3)6\times [|-21|+3\times (-9)]$ ^{[習題解答 11]}
$(4)(-12)-260\div (-5)\div (-13)$ ^{[習題解答 12]}

註解

↑ 因為無論幾個正數相乘都還是正數，但是乘以一個負數會變成負數，再乘一個負數的話因為負負得正的關係又變成正數，故只要兩兩一組的負數相乘就會變成正數，所以判斷連乘算式的正負性，只要查看負數的數量。至於因為乘以 $0$ 就會變成 $0$ ，所以只要連乘算式裡有乘以 $0$ ，答案必為 $0$ 。
↑ 除法運算符合乘法運算口訣之因為「除以一個數，等於乘以這個數的倒數」。
↑ 倒數會在分數的乘除單元介紹。
↑ 這是大括號符號，通常加在中括號外面。
↑ 正負數加減混合運算也是，只是我們將減法改成加法運算，所以這裡就沒有細談。
↑ 原因依舊是除以一個數，就等於乘以這個數的倒數，再利用乘法交換律得到這樣的結果。
↑ 只是第1條式子 $b$ 改成 $c$ ， $c$ 改成 $b$ 然後等號兩邊顛倒而已。

習題解答

↑ 習題

1.

比較項目	例題 $3$ 第 $(2)$ 題	例題 $1$ 第 $(2)$ 題
題目	$(-1.2)\times 0.3$	$0.3\times (-1.2)$
答案	$-0.36$	$-0.36$

故一樣。

↑ 習題

2.

比較項目	例題 $3$ 第 $(3)$ 題	例題 $2$ 第 $(2)$ 題
題目	$1.2\times (-3.6)$	$(-3.6)\times 1.2$
答案	$-4.32$	$-4.32$

故一樣。

↑ 習題 $3.(1)-37000$
↑ 習題 $3.(2)1820$
↑ 習題 $4.(1)-52$
↑ 習題 $4.(2)8$
↑ 習題 $4.(3)-27$
↑ 習題 $4.(4)4$
↑ 習題 $5.(1)-21$
↑ 習題 $5.(2)-9$
↑ 習題 $5.(3)-36$
↑ 習題 $5.(4)-16$

[5] 因為無論幾個正數相乘都還是正數，但是乘以一個負數會變成負數，再乘一個負數的話因為負負得正的關係又變成正數，故只要兩兩一組的負數相乘就會變成正數，所以判斷連乘算式的正負性，只要查看負數的數量。至於因為乘以 $0$ 就會變成 $0$ ，所以只要連乘算式裡有乘以 $0$ ，答案必為 $0$ 。

[6] 除法運算符合乘法運算口訣之因為「除以一個數，等於乘以這個數的倒數」。

[7] 倒數會在分數的乘除單元介紹。

[8] 這是大括號符號，通常加在中括號外面。

[9] 正負數加減混合運算也是，只是我們將減法改成加法運算，所以這裡就沒有細談。

[10] 原因依舊是除以一個數，就等於乘以這個數的倒數，再利用乘法交換律得到這樣的結果。

[11] 只是第1條式子 $b$ 改成 $c$ ， $c$ 改成 $b$ 然後等號兩邊顛倒而已。

[1] 習題 $1.$

比較項目例題 $3$ 第 $(2)$ 題例題 $1$ 第 $(2)$ 題

題目 $(-1.2)\times 0.3$ $0.3\times (-1.2)$

答案 $-0.36$ $-0.36$

故一樣。

[2] 習題 $2.$

比較項目例題 $3$ 第 $(3)$ 題例題 $2$ 第 $(2)$ 題

題目 $1.2\times (-3.6)$ $(-3.6)\times 1.2$

答案 $-4.32$ $-4.32$

故一樣。

[3] 習題 $3.(1)-37000$

[4] 習題 $3.(2)1820$

[12] 習題 $4.(1)-52$

[13] 習題 $4.(2)8$

[14] 習題 $4.(3)-27$

[15] 習題 $4.(4)4$

[16] 習題 $5.(1)-21$

[17] 習題 $5.(2)-9$

[18] 習題 $5.(3)-36$

[19] 習題 $5.(4)-16$

[習題解答 1]

[習題解答 2]

[習題解答 3]

[習題解答 4]

[註 1]

[註 2]

[註 3]

[註 4]

[註 5]

[註 6]

[註 7]

[習題解答 5]

[習題解答 6]

[習題解答 7]

[習題解答 8]

[習題解答 9]

[習題解答 10]

[習題解答 11]

[習題解答 12]

	$1\div (-12)$
	$13\div (-1)$
	$0\div (-14)$
	$(-15)\div 0$

	$1313$
	$0$
	$-1313$

	$1313$
	$0$
	$-1313$

	$1313$
	$0$
	$-1313$

	$0.734$
	$0$
	$-0.734$