国中数学/国中数学七年级/1-3 正负数的乘除

1-2 正负数的加减

◄

国中数学七年级 1-3 正负数的乘除

►

1-4 指数记法与科学记号

本单元将介绍正负整数与正负小数的乘除运算。关于分数的部分请见2-4 分数的乘除。

正负数的乘法

雨婷的妈妈经营小本生意，每天可以赚取$5$万元，在最近雨婷的妈妈达到收支平衡。
如果雨婷的妈妈在今天达到收支平衡，那代表$1$天后雨婷的妈妈可以赚取$5$万元，$2$天后雨婷的妈妈可以赚取$10$万元，$3$天后雨婷的妈妈可以赚取$15$万元，……
相反的，$1$天前雨婷的妈妈还赔$5$万元，$2$天前雨婷的妈妈还赔$10$万元，$3$天前雨婷的妈妈还赔$15$万元，……

时间	赚/赔
$3$天后	赚$15$万元
$2$天后	赚$10$万元
$1$天后	赚$5$万元
今天	$0$万元(不赚不赔)
$1$天前	赔$5$万元
$2$天前	赔$10$万元
$3$天前	赔$15$万元

如果“赚”记作正，“赔”记作负，则我们可以纪录成

时间	赚/赔	算式纪录
$3$天后	赚$15$万元	$({\color {blue}+}5)\times ({\color {blue}+}3)={\color {blue}+}15$
$2$天后	赚$10$万元	$({\color {blue}+}5)\times ({\color {blue}+}2)={\color {blue}+}10$
$1$天后	赚$5$万元	$({\color {blue}+}5)\times ({\color {blue}+}1)={\color {blue}+}5$
今天	$0$万元(不赚不赔)	$({\color {blue}+}5)\times 0=0$
$1$天前	赔$5$万元	$({\color {blue}+}5)\times ({\color {red}-}1)={\color {red}-}5$
$2$天前	赔$10$万元	$({\color {blue}+}5)\times ({\color {red}-}2)={\color {red}-}10$
$3$天前	赔$15$万元	$({\color {blue}+}5)\times ({\color {red}-}3)={\color {red}-}15$

所以我们可以得到以下结果：

 $a,b$為正數，則$(+a)\times (-b)=-(a\times b)$

这个式子中，$-(a\times b)$代表$(a\times b)$这个数的相反数。

我们利用以下的例题练习上述式子的运用。

例题$1$ 计算以下各式： $(1)5\times (-4)$ $(2)0.3\times (-1.2)$

解 $(1)5\times (-4)=-(5\times 4)=-20$ $(2)0.3\times (-1.2)=-(0.3\times 1.2)=-0.36$

小测

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

1 $3\times (-7)=?$

	$21$
	$-21$

2 $1.4\times (-5)=?$

	$7$
	$-7$

但是雨婷的哥哥可就不同，每天都会赔$5$万元，在最近雨婷的哥哥达到收支平衡。
如果雨婷的哥哥在今天达到收支平衡，那代表$1$天后雨婷的哥哥会赔$5$万元，$2$天后雨婷的哥哥会赔$10$万元，$3$天后雨婷的哥哥会赔$15$万元，……
相反的，$1$天前雨婷的哥哥还赚$5$万元，$2$天前雨婷的哥哥赚$10$万元，$3$天前雨婷的哥哥赚$15$万元，……

时间	赚/赔
$3$天后	赔$15$万元
$2$天后	赔$10$万元
$1$天后	赔$5$万元
今天	$0$万元(不赚不赔)
$1$天前	赚$5$万元
$2$天前	赚$10$万元
$3$天前	赚$15$万元

如果“赚”记作正，“赔”记作负，则我们可以纪录成

时间	赚/赔	算式纪录
$3$天后	赔$15$万元	$({\color {red}-}5)\times ({\color {blue}+}3)={\color {red}-}15$
$2$天后	赔$10$万元	$({\color {red}-}5)\times ({\color {blue}+}2)={\color {red}-}10$
$1$天后	赔$5$万元	$({\color {red}-}5)\times ({\color {blue}+}1)={\color {red}-}5$
今天	$0$万元(不赚不赔)	$({\color {red}-}5)\times 0=0$
$1$天前	赚$5$万元	$({\color {red}-}5)\times ({\color {red}-}1)={\color {blue}+}5$
$2$天前	赚$10$万元	$({\color {red}-}5)\times ({\color {red}-}2)={\color {blue}+}10$
$3$天前	赚$15$万元	$({\color {red}-}5)\times ({\color {red}-}3)={\color {blue}+}15$

所以我们可以得到以下结果：

 $a,b$為正數，則$(-a)\times (+b)=-(a\times b)$；$(-a)\times (-b)=a\times b$

我们利用以下的例题练习上述式子的运用。

例题$2$ 计算以下各式： $(1)(-3)\times (-9)$ $(2)(-3.6)\times 1.2$

解 $(1)(-3)\times (-9)=3\times 9=27$ $(2)(-3.6)\times 1.2=-(3.6\times 1.2)=-4.32$

小测

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

1 $(-3)\times (-7)=?$

	$21$
	$-21$

2 $(-2.9)\times 10=?$

	$29$
	$-29$

3 $(-11)\times 7=?$

	$77$
	$-77$

4 $(-1.4)\times (-1.6)=?$

	$2.24$
	$-2.24$

正负数乘法的口诀

正负数乘法的口诀为：

 正正得正，正負得負，負正得負，負負得正

这个口诀的意思为当两个正数相乘，得到的答案为正数；一正一负相乘，得到的答案为负数；两个负数相乘，得到的答案为正数。所以进一步的，我们得到

 同號數相乘，其值為正；異號數相乘，其值為負。

例题$3$ 计算下列各式的值。 $(1)(-9)\times (-3)$ $(2)(-1.2)\times 0.3$ $(3)1.2\times (-3.6)$

解 $(1)$因为负负得正的关系，所以$(-9)\times (-3)=9\times 3=27$ $(2)$因为负正得负的关系，所以$(-1.2)\times 0.3=-(1.2\times 0.3)=-0.36$ $(3)$因为正负得负的关系，所以$1.2\times (-3.6)=-(1.2\times 3.6)=-4.32$

乘法的交换律

以前我们学过$3\times 5=5\times 3=15$，在负数的计算上正确吗？
将例题$3$的第$(1)$题与例题$2$的第$(1)$题做比较：

比较项目	例题$3$第$(1)$题	例题$2$第$(1)$题
题目	$(-9)\times (-3)$	$(-3)\times (-9)$
答案	$27$	$27$

你发现了吗？两题的答案是相同的！
习题
$1.$比较例题$3$第$(2)$题与例题$1$第$(2)$题，是否相同？
$2.$比较例题$3$第$(3)$题与例题$2$第$(2)$题，是否相同？

 若$a$、$b$為兩數，則$a\times b=b\times a$。

乘法的结合律

以前我们也学过$(3\times 5)\times 7=3\times (5\times 7)$，可是在负数的计算上正确吗？

例题$4$ 计算下列各式的值。 $(1)[(-9)\times (-10)]\times 8$ $(2)(-9)\times [(-10)\times 8]$

解 $(1)[(-9)\times (-10)]\times 8$ $=(9\times 10)\times 8$(负负得正) $=90\times 8$ $=720$ $(2)$$(-9)\times [(-10)\times 8]$ $=(-9)\times [-(10\times 8)]$(负正得负) $=(-9)\times (-80)$ $=9\times 80$(负负得正) $=720$

小测

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

1 计算$[3\times (-5)]\times 8$与$3\times [(-5)\times 8]$的结果，答案是否相同？

	相同
	不相同

2 计算$[(-0.6)\times 1.5]\times (-3)$与$(-0.6)\times [1.5\times (-3)]$的结果，答案是否相同？

	相同
	不相同

3 计算$(10\times 12)\times (-0.4)$与$10\times [12\times (-0.4)]$的结果，答案是否相同？

	相同
	不相同

4 计算$[(-0.3)\times (-0.4)]\times (-0.5)$与$(-0.3)\times [(-0.4)\times (-0.5)]$的结果，答案是否相同？

	相同
	不相同

事实上：

 若$a$、$b$、$c$為三數，則$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$。

1、0、-1的乘法

1. 任何数乘以$1$之后皆等于自己本身。即若$a$是任意数，则$a\times 1=1\times a=a$。
2. 任何数乘以$0$之后皆等于$0$。即若$a$是任意数，则$a\times 0=0\times a=0$。
3. 任何数乘以$-1$之后皆等于该数的相反数。即若$a$是任意数，则$a\times (-1)=(-1)\times a=-a$。

小测

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

1 计算$(-1313)\times 1=?$

	$1313$
	$0$
	$-1313$

2 计算$(-1313)\times 0=?$

	$1313$
	$0$
	$-1313$

3 计算$(-1313)\times (-1)=?$

	$1313$
	$0$
	$-1313$

4 计算$1\times (-0.734)=?$

	$0.734$
	$0$
	$-0.734$

5 计算$0\times (-0.734)=?$

	$0.734$
	$0$
	$-0.734$

6 计算$(-1)\times 0.734=?$

	$0.734$
	$0$
	$-0.734$

连续数的乘法

进行连续数的乘法时，

1. 有括号要先算。
2. 从左而右计算。
3. 可以利用交换律与结合律简化计算。

例题$5$ 计算$[(-25)\times (-17)]\times (4\times 3)$的值。

解 $[(-25)\times (-17)]\times (4\times 3)$ $=(-25)\times (-17)\times 4\times 3$(拿掉括号) $=(-25)\times [(-17)\times 4]\times 3$(括中间) $=(-25)\times [4\times (-17)]\times 3$(交换律) $=[(-25)\times 4]\times (-17)\times 3$(结合律) $=(-100)\times [(-17)\times 3]$(结合律) $=(-100)\times (-51)$ $=5100$

习题
$3.$计算下列各式的值：

• $(1)125\times [37\times (-8)]$
• $(2)(-13)\times (-4)\times [(-5)\times (-7)]$

连续多数的乘法之正负性

因为负负得正的关系，所以：

1. 如果连乘算式当中有奇数个负数时，答案为负数。
2. 如果连乘算式当中有偶数个负数时，答案为正数。
3. 如果连乘算式当中有${\color {green}0}$，答案为${\color {green}0}$。

例题$6$ 判断以下各式计算的结果为正数、负数或$0$？ $(1)(-333)\times (-4444)\times (-55555)\times (-666666)$ $(2)(-2)\times 3\times (-4)\times 5\times (-6)\times 7$

解 $(1)$式子中没有$0$，有$4$个负数，为偶数，所以计算结果为正数。 $(2)$式子中没有$0$，有$3$个负数，为奇数，所以计算结果为负数。

小测

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

1 连乘算式$134\times 73\times 0\times (-32)\times (-79)\times (-137)$的值为正数、负数或$0$？

	正数
	$0$
	负数

2 连乘算式$(-2)\times (-4)\times (-6)\times \cdots \times (-50)$的值为正数、负数或$0$？

	正数
	$0$
	负数

数的除法

我们在国小时期有学过乘除互逆规则。例如因为$3\times 5=15$，所以$15\div 3=5$而且$15\div 5=3$。
利用这样的想法，我们可以知道

乘法算式	除法算式$1$	除法算式$2$
$(-3)\times 5=-15$	$(-15)\div (-3)=5$	$(-15)\div 5=-3$
$4\times (-7)=-28$	$(-28)\div 4=-7$	$(-28)\div (-7)=4$
$(-6)\times (-9)=54$	$54\div (-6)=-9$	$54\div (-9)=-6$

你可以发现：

 同號數相除，其值為正；異號數相除，其值為負。

所以事实上，除法的运算规则也符合乘法运算口诀：

正正得正，正負得負，負正得負，負負得正。

关于1的除法

1. 设$a$是任意数，则$a\div 1=a$。
2. 设$a$是任意非$0$的数，则$1\div a={\frac {1}{a}}$，其中${\frac {1}{a}}$为$a$的倒数。

关于-1的除法

1. 设$a$是任意数，则$a\div (-1)=-a$，即$a$的相反数。
2. 设$a$是任意非$0$的数，则$(-1)\div a=-{\frac {1}{a}}$。

关于0的除法

1. 设$a$是任意数，则$0\div a=0$。
2. 我们不定义任何数除以$0$的结果。即$0$不能是除数。

例题$7$ 计算下列各式的值： $(1)(-98)\div (-7)$ $(2)(-130)\div 13$ $(3)87\div (-29)$

解 $(1)$因为负负得正，所以$(-98)\div (-7)=98\div 7=14$。 $(2)$因为负正得负，所以$(-130)\div 13=-(130\div 13)=-10$。 $(3)$因为正负得负，所以$87\div (-29)=-(87\div 29)=-3$。

小测

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

1 $(-45)\div (-9)=?$

	$5$
	$-5$

2 $84\div (-12)=?$

	$7$
	$-7$

3 $(-72)\div 9=?$

	$8$
	$-8$

4 若$(-121)\div a=11$，则$a=?$

	$11$
	$-11$

5 哪一个算式没有意义？

	$1\div (-12)$
	$13\div (-1)$
	$0\div (-14)$
	$(-15)\div 0$

正负数乘除混合运算

如同正负数的加减运算一样，以下是计算正负数的乘除混合运算的时候要注意的规则：

1. 有绝对值要先算。
2. 有括号要先算，顺序依序为$()\rightarrow []\rightarrow${}。
3. 没括号时，从左而右计算。

另外，乘除混合运算也有类似于交换律的运算：
设$a$、$b$、$c$为三个任意数(但不能除以$0$)，则：

1. $a\times b\div c=a\div c\times b$
2. $a\div b\times c=a\times c\div b$
3. $a\div b\div c=a\div c\div b$

我们将利用这些式子练习以下例题：

例题$8$ 计算下列各式的值： $(1)(-96)\div (-2)\div 8$ $(2)(-390)\div (13\times 5)$ $(3)805\div |(-23)\times 5|$ $(4)139\times (-97)\div (-139)$

解 $(1)$因为没有括号，所以需要从左而右计算。 $(-96)\div (-2)\div 8$ $=48\div 8$ $=6$ $(2)$因为有括号要先算，所以 $(-390)\div (13\times 5)$ $=(-390)\div 65$ $=-6$ $(3)$因为有绝对值要先算，所以 $805\div |(-23)\times 5|$ $=805\div |-115|$ $=805\div 115$ $=7$ $(4)$观察$139\div (-139)$比较好算，利用交换性，所以 $139\times (-97)\div (-139)$ $=139\div (-139)\times (-97)$ $=(-1)\times (-97)$ $=97$

习题
习题$4.$计算下列各式的值：
$(1)12\div (-3)\times 13$
$(2)(-168)\div [(-3)\times 7]$
$(3)123\div |-41|\times (-9)$
$(4)(-9600)\div (-25)\div 96$

正负数四则运算

以下是计算正负数四则运算的时候要注意的规则：

1. 有绝对值要先算。
2. 有括号要先算，顺序依序为$()\rightarrow []\rightarrow${}。
3. 先乘除后加减。
4. 从左而右计算。

例题$9$ 计算下列各式的值： $(1)54-(-27)\div (-9)$ $(2)(-91)\div 13-|-12|\times (-4)$ $(3)(-39)\div [24+7\times (-3)]$

解 $(1)54-(-27)\div (-9)$ $=54-3$(先乘除后加减) $=51$ $(2)(-91)\div 13-|-12|\times (-4)$ $=(-91)\div 13-12\times (-4)$(有绝对值要先算) $=(-7)-(-48)$(先乘除后加减) $=41$ $(3)(-39)\div [24+7\times (-3)]$ $=(-39)\div [24+(-21)]$(有括号要先算、先乘除后加减) $=(-39)\div 3$ $=-13$

习题
习题$5.$计算下列各式的值：
$(1)5\times (-3)+66\div (-11)$
$(2)(-450)\div |29-(-3)\times 7|$
$(3)6\times [|-21|+3\times (-9)]$
$(4)(-12)-260\div (-5)\div (-13)$