國中數學/國中數學七年級/1-3 正負數的乘除

1-2 正負數的加減

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國中數學七年級 1-3 正負數的乘除

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1-4 指數記法與科學記號

本單元將介紹正負整數與正負小數的乘除運算。關於分數的部分請見2-4 分數的乘除。

正負數的乘法

雨婷的媽媽經營小本生意，每天可以賺取$5$萬元，在最近雨婷的媽媽達到收支平衡。
如果雨婷的媽媽在今天達到收支平衡，那代表$1$天後雨婷的媽媽可以賺取$5$萬元，$2$天後雨婷的媽媽可以賺取$10$萬元，$3$天後雨婷的媽媽可以賺取$15$萬元，……
相反的，$1$天前雨婷的媽媽還賠$5$萬元，$2$天前雨婷的媽媽還賠$10$萬元，$3$天前雨婷的媽媽還賠$15$萬元，……

時間	賺/賠
$3$天後	賺$15$萬元
$2$天後	賺$10$萬元
$1$天後	賺$5$萬元
今天	$0$萬元(不賺不賠)
$1$天前	賠$5$萬元
$2$天前	賠$10$萬元
$3$天前	賠$15$萬元

如果「賺」記作正，「賠」記作負，則我們可以紀錄成

時間	賺/賠	算式紀錄
$3$天後	賺$15$萬元	$({\color {blue}+}5)\times ({\color {blue}+}3)={\color {blue}+}15$
$2$天後	賺$10$萬元	$({\color {blue}+}5)\times ({\color {blue}+}2)={\color {blue}+}10$
$1$天後	賺$5$萬元	$({\color {blue}+}5)\times ({\color {blue}+}1)={\color {blue}+}5$
今天	$0$萬元(不賺不賠)	$({\color {blue}+}5)\times 0=0$
$1$天前	賠$5$萬元	$({\color {blue}+}5)\times ({\color {red}-}1)={\color {red}-}5$
$2$天前	賠$10$萬元	$({\color {blue}+}5)\times ({\color {red}-}2)={\color {red}-}10$
$3$天前	賠$15$萬元	$({\color {blue}+}5)\times ({\color {red}-}3)={\color {red}-}15$

所以我們可以得到以下結果：

 $a,b$為正數，則$(+a)\times (-b)=-(a\times b)$

這個式子中，$-(a\times b)$代表$(a\times b)$這個數的相反數。

我們利用以下的例題練習上述式子的運用。

例題$1$ 計算以下各式： $(1)5\times (-4)$ $(2)0.3\times (-1.2)$

解 $(1)5\times (-4)=-(5\times 4)=-20$ $(2)0.3\times (-1.2)=-(0.3\times 1.2)=-0.36$

小測

答對得到的分數：
錯誤答案減少的分數：
忽略問題的係數：

1 $3\times (-7)=?$

	$21$
	$-21$

2 $1.4\times (-5)=?$

	$7$
	$-7$

但是雨婷的哥哥可就不同，每天都會賠$5$萬元，在最近雨婷的哥哥達到收支平衡。
如果雨婷的哥哥在今天達到收支平衡，那代表$1$天後雨婷的哥哥會賠$5$萬元，$2$天後雨婷的哥哥會賠$10$萬元，$3$天後雨婷的哥哥會賠$15$萬元，……
相反的，$1$天前雨婷的哥哥還賺$5$萬元，$2$天前雨婷的哥哥賺$10$萬元，$3$天前雨婷的哥哥賺$15$萬元，……

時間	賺/賠
$3$天後	賠$15$萬元
$2$天後	賠$10$萬元
$1$天後	賠$5$萬元
今天	$0$萬元(不賺不賠)
$1$天前	賺$5$萬元
$2$天前	賺$10$萬元
$3$天前	賺$15$萬元

如果「賺」記作正，「賠」記作負，則我們可以紀錄成

時間	賺/賠	算式紀錄
$3$天後	賠$15$萬元	$({\color {red}-}5)\times ({\color {blue}+}3)={\color {red}-}15$
$2$天後	賠$10$萬元	$({\color {red}-}5)\times ({\color {blue}+}2)={\color {red}-}10$
$1$天後	賠$5$萬元	$({\color {red}-}5)\times ({\color {blue}+}1)={\color {red}-}5$
今天	$0$萬元(不賺不賠)	$({\color {red}-}5)\times 0=0$
$1$天前	賺$5$萬元	$({\color {red}-}5)\times ({\color {red}-}1)={\color {blue}+}5$
$2$天前	賺$10$萬元	$({\color {red}-}5)\times ({\color {red}-}2)={\color {blue}+}10$
$3$天前	賺$15$萬元	$({\color {red}-}5)\times ({\color {red}-}3)={\color {blue}+}15$

所以我們可以得到以下結果：

 $a,b$為正數，則$(-a)\times (+b)=-(a\times b)$；$(-a)\times (-b)=a\times b$

我們利用以下的例題練習上述式子的運用。

例題$2$ 計算以下各式： $(1)(-3)\times (-9)$ $(2)(-3.6)\times 1.2$

解 $(1)(-3)\times (-9)=3\times 9=27$ $(2)(-3.6)\times 1.2=-(3.6\times 1.2)=-4.32$

小測

答對得到的分數：
錯誤答案減少的分數：
忽略問題的係數：

1 $(-3)\times (-7)=?$

	$21$
	$-21$

2 $(-2.9)\times 10=?$

	$29$
	$-29$

3 $(-11)\times 7=?$

	$77$
	$-77$

4 $(-1.4)\times (-1.6)=?$

	$2.24$
	$-2.24$

正負數乘法的口訣

正負數乘法的口訣為：

 正正得正，正負得負，負正得負，負負得正

這個口訣的意思為當兩個正數相乘，得到的答案為正數；一正一負相乘，得到的答案為負數；兩個負數相乘，得到的答案為正數。所以進一步的，我們得到

 同號數相乘，其值為正；異號數相乘，其值為負。

例題$3$ 計算下列各式的值。 $(1)(-9)\times (-3)$ $(2)(-1.2)\times 0.3$ $(3)1.2\times (-3.6)$

解 $(1)$因為負負得正的關係，所以$(-9)\times (-3)=9\times 3=27$ $(2)$因為負正得負的關係，所以$(-1.2)\times 0.3=-(1.2\times 0.3)=-0.36$ $(3)$因為正負得負的關係，所以$1.2\times (-3.6)=-(1.2\times 3.6)=-4.32$

乘法的交換律

以前我們學過$3\times 5=5\times 3=15$，在負數的計算上正確嗎？
將例題$3$的第$(1)$題與例題$2$的第$(1)$題做比較：

比較項目	例題$3$第$(1)$題	例題$2$第$(1)$題
題目	$(-9)\times (-3)$	$(-3)\times (-9)$
答案	$27$	$27$

你發現了嗎？兩題的答案是相同的！
習題
$1.$比較例題$3$第$(2)$題與例題$1$第$(2)$題，是否相同？
$2.$比較例題$3$第$(3)$題與例題$2$第$(2)$題，是否相同？

 若$a$、$b$為兩數，則$a\times b=b\times a$。

乘法的結合律

以前我們也學過$(3\times 5)\times 7=3\times (5\times 7)$，可是在負數的計算上正確嗎？

例題$4$ 計算下列各式的值。 $(1)[(-9)\times (-10)]\times 8$ $(2)(-9)\times [(-10)\times 8]$

解 $(1)[(-9)\times (-10)]\times 8$ $=(9\times 10)\times 8$(負負得正) $=90\times 8$ $=720$ $(2)$$(-9)\times [(-10)\times 8]$ $=(-9)\times [-(10\times 8)]$(負正得負) $=(-9)\times (-80)$ $=9\times 80$(負負得正) $=720$

小測

答對得到的分數：
錯誤答案減少的分數：
忽略問題的係數：

1 計算$[3\times (-5)]\times 8$與$3\times [(-5)\times 8]$的結果，答案是否相同？

	相同
	不相同

2 計算$[(-0.6)\times 1.5]\times (-3)$與$(-0.6)\times [1.5\times (-3)]$的結果，答案是否相同？

	相同
	不相同

3 計算$(10\times 12)\times (-0.4)$與$10\times [12\times (-0.4)]$的結果，答案是否相同？

	相同
	不相同

4 計算$[(-0.3)\times (-0.4)]\times (-0.5)$與$(-0.3)\times [(-0.4)\times (-0.5)]$的結果，答案是否相同？

	相同
	不相同

事實上：

 若$a$、$b$、$c$為三數，則$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$。

1、0、-1的乘法

1. 任何數乘以$1$之後皆等於自己本身。即若$a$是任意數，則$a\times 1=1\times a=a$。
2. 任何數乘以$0$之後皆等於$0$。即若$a$是任意數，則$a\times 0=0\times a=0$。
3. 任何數乘以$-1$之後皆等於該數的相反數。即若$a$是任意數，則$a\times (-1)=(-1)\times a=-a$。

小測

答對得到的分數：
錯誤答案減少的分數：
忽略問題的係數：

1 計算$(-1313)\times 1=?$

	$1313$
	$0$
	$-1313$

2 計算$(-1313)\times 0=?$

	$1313$
	$0$
	$-1313$

3 計算$(-1313)\times (-1)=?$

	$1313$
	$0$
	$-1313$

4 計算$1\times (-0.734)=?$

	$0.734$
	$0$
	$-0.734$

5 計算$0\times (-0.734)=?$

	$0.734$
	$0$
	$-0.734$

6 計算$(-1)\times 0.734=?$

	$0.734$
	$0$
	$-0.734$

連續數的乘法

進行連續數的乘法時，

1. 有括號要先算。
2. 從左而右計算。
3. 可以利用交換律與結合律簡化計算。

例題$5$ 計算$[(-25)\times (-17)]\times (4\times 3)$的值。

解 $[(-25)\times (-17)]\times (4\times 3)$ $=(-25)\times (-17)\times 4\times 3$(拿掉括號) $=(-25)\times [(-17)\times 4]\times 3$(括中間) $=(-25)\times [4\times (-17)]\times 3$(交換律) $=[(-25)\times 4]\times (-17)\times 3$(結合律) $=(-100)\times [(-17)\times 3]$(結合律) $=(-100)\times (-51)$ $=5100$

習題
$3.$計算下列各式的值：

• $(1)125\times [37\times (-8)]$
• $(2)(-13)\times (-4)\times [(-5)\times (-7)]$

連續多數的乘法之正負性

因為負負得正的關係，所以：

1. 如果連乘算式當中有奇數個負數時，答案為負數。
2. 如果連乘算式當中有偶數個負數時，答案為正數。
3. 如果連乘算式當中有${\color {green}0}$，答案為${\color {green}0}$。

例題$6$ 判斷以下各式計算的結果為正數、負數或$0$？ $(1)(-333)\times (-4444)\times (-55555)\times (-666666)$ $(2)(-2)\times 3\times (-4)\times 5\times (-6)\times 7$

解 $(1)$式子中沒有$0$，有$4$個負數，為偶數，所以計算結果為正數。 $(2)$式子中沒有$0$，有$3$個負數，為奇數，所以計算結果為負數。

小測

答對得到的分數：
錯誤答案減少的分數：
忽略問題的係數：

1 連乘算式$134\times 73\times 0\times (-32)\times (-79)\times (-137)$的值為正數、負數或$0$？

	正數
	$0$
	負數

2 連乘算式$(-2)\times (-4)\times (-6)\times \cdots \times (-50)$的值為正數、負數或$0$？

	正數
	$0$
	負數

數的除法

我們在國小時期有學過乘除互逆規則。例如因為$3\times 5=15$，所以$15\div 3=5$而且$15\div 5=3$。
利用這樣的想法，我們可以知道

乘法算式	除法算式$1$	除法算式$2$
$(-3)\times 5=-15$	$(-15)\div (-3)=5$	$(-15)\div 5=-3$
$4\times (-7)=-28$	$(-28)\div 4=-7$	$(-28)\div (-7)=4$
$(-6)\times (-9)=54$	$54\div (-6)=-9$	$54\div (-9)=-6$

你可以發現：

 同號數相除，其值為正；異號數相除，其值為負。

所以事實上，除法的運算規則也符合乘法運算口訣：

正正得正，正負得負，負正得負，負負得正。

關於1的除法

1. 設$a$是任意數，則$a\div 1=a$。
2. 設$a$是任意非$0$的數，則$1\div a={\frac {1}{a}}$，其中${\frac {1}{a}}$為$a$的倒數。

關於-1的除法

1. 設$a$是任意數，則$a\div (-1)=-a$，即$a$的相反數。
2. 設$a$是任意非$0$的數，則$(-1)\div a=-{\frac {1}{a}}$。

關於0的除法

1. 設$a$是任意數，則$0\div a=0$。
2. 我們不定義任何數除以$0$的結果。即$0$不能是除數。

例題$7$ 計算下列各式的值： $(1)(-98)\div (-7)$ $(2)(-130)\div 13$ $(3)87\div (-29)$

解 $(1)$因為負負得正，所以$(-98)\div (-7)=98\div 7=14$。 $(2)$因為負正得負，所以$(-130)\div 13=-(130\div 13)=-10$。 $(3)$因為正負得負，所以$87\div (-29)=-(87\div 29)=-3$。

小測

答對得到的分數：
錯誤答案減少的分數：
忽略問題的係數：

1 $(-45)\div (-9)=?$

	$5$
	$-5$

2 $84\div (-12)=?$

	$7$
	$-7$

3 $(-72)\div 9=?$

	$8$
	$-8$

4 若$(-121)\div a=11$，則$a=?$

	$11$
	$-11$

5 哪一個算式沒有意義？

	$1\div (-12)$
	$13\div (-1)$
	$0\div (-14)$
	$(-15)\div 0$

正負數乘除混合運算

如同正負數的加減運算一樣，以下是計算正負數的乘除混合運算的時候要注意的規則：

1. 有絕對值要先算。
2. 有括號要先算，順序依序為$()\rightarrow []\rightarrow${}。
3. 沒括號時，從左而右計算。

另外，乘除混合運算也有類似於交換律的運算：
設$a$、$b$、$c$為三個任意數(但不能除以$0$)，則：

1. $a\times b\div c=a\div c\times b$
2. $a\div b\times c=a\times c\div b$
3. $a\div b\div c=a\div c\div b$

我們將利用這些式子練習以下例題：

例題$8$ 計算下列各式的值： $(1)(-96)\div (-2)\div 8$ $(2)(-390)\div (13\times 5)$ $(3)805\div |(-23)\times 5|$ $(4)139\times (-97)\div (-139)$

解 $(1)$因為沒有括號，所以需要從左而右計算。 $(-96)\div (-2)\div 8$ $=48\div 8$ $=6$ $(2)$因為有括號要先算，所以 $(-390)\div (13\times 5)$ $=(-390)\div 65$ $=-6$ $(3)$因為有絕對值要先算，所以 $805\div |(-23)\times 5|$ $=805\div |-115|$ $=805\div 115$ $=7$ $(4)$觀察$139\div (-139)$比較好算，利用交換性，所以 $139\times (-97)\div (-139)$ $=139\div (-139)\times (-97)$ $=(-1)\times (-97)$ $=97$

習題
習題$4.$計算下列各式的值：
$(1)12\div (-3)\times 13$
$(2)(-168)\div [(-3)\times 7]$
$(3)123\div |-41|\times (-9)$
$(4)(-9600)\div (-25)\div 96$

正負數四則運算

以下是計算正負數四則運算的時候要注意的規則：

1. 有絕對值要先算。
2. 有括號要先算，順序依序為$()\rightarrow []\rightarrow${}。
3. 先乘除後加減。
4. 從左而右計算。

例題$9$ 計算下列各式的值： $(1)54-(-27)\div (-9)$ $(2)(-91)\div 13-|-12|\times (-4)$ $(3)(-39)\div [24+7\times (-3)]$

解 $(1)54-(-27)\div (-9)$ $=54-3$(先乘除後加減) $=51$ $(2)(-91)\div 13-|-12|\times (-4)$ $=(-91)\div 13-12\times (-4)$(有絕對值要先算) $=(-7)-(-48)$(先乘除後加減) $=41$ $(3)(-39)\div [24+7\times (-3)]$ $=(-39)\div [24+(-21)]$(有括號要先算、先乘除後加減) $=(-39)\div 3$ $=-13$

習題
習題$5.$計算下列各式的值：
$(1)5\times (-3)+66\div (-11)$
$(2)(-450)\div |29-(-3)\times 7|$
$(3)6\times [|-21|+3\times (-9)]$
$(4)(-12)-260\div (-5)\div (-13)$