本單元將要介紹連乘的簡易表示法,並且了解科學記號的表示方法。關於指數律,請見2-5 指數律。
當 為正整數[註 1], 為任意數時,我們定義 。
如 。
在式子 當中:
- 讀作「 的 次方」。
- 稱作底數。
- 稱作指數。
- 當指數 時,我們會省略不寫。
- 當指數 時,我們有時會稱 為 的平方。
- 當指數 時,我們有時會稱 為 的立方。
如:在 中,
- 的底數為 。
- 的指數為 。
- 稱作「七的四次方」。
有時人們也會將 用「a^n」這樣的形式表示。
底數為正整數的指數運算就是直接將正整數乘以 次。
如: 。
1的任意整數次方都是1[註 2]。
0的任意正整數次方都是0[註 3]。
底數為負整數的指數運算就是直接將負整數乘以 次。
如: 。
但是必須注意:
- 與 意義不相同, 是 的相反數, 是 。
- -1的偶數次方為1,-1的奇數次方為-1。
- 當指數為奇數時,答案為負數。(即 )
- 當指數為偶數時,答案為正數。(即 )
例題 計算以下各式的值。
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解
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可以注意到指數 為奇數,所以 。
例題 計算以下各式的值。
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解
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可以注意到指數 為偶數,所以 。
小測
底數為小數的指數運算就是直接將小數乘以 次。
如: 。
但是必須注意:
- 當底數 時, 愈大, 的值就愈小。
- 當底數 時, 愈大, 的值就愈大。
例題 計算以下各式的值。
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解
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小測
雖然以下兩題都是比較次方數的大小,但是答案卻不盡相同,請讀者好好體會。
例題 在 四數當中,哪一個數最大?哪一個數最小?
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例題 在 四數當中,哪一個數最大?哪一個數最小?
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小測
在數學式的運算中,有指數必須先算。
如: ,而不是 。
例題 計算以下各式的值。
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在工程計算機會有「 」這樣的按鍵。根據功能的不同也有不同的輸入方式,在大部分的情況都是依序輸入「底數」→「 」→「指數」,不過還是要依據計算機功能來決定。
例如要算 就依序按下「 」→「 」→「 」即可得到螢幕顯示 。
如果你只有傳統計算機,你還是可以計算指數為正整數的情形。只要依序按下「底數」→「 」→「底數」→「 」→ →「 」,按「 」的次數取決於指數數字,要按下「指數 」次。
例如要算 就依序按下「 」→「 」→「 」→「 」→「 」→「 」(共 次「 」)即可得到螢幕顯示 。
因為螢幕顯示的數字具有上限的限制,故有時計算的結果為近似值。如「 」實際上是「 」,但用計算機計算「 」可能會出現「 」或「 」的字樣。那這代表的意思為何?我們會在底下的科學記號做進一步的說明。
- 林多紙草書第79題[課外連結 1]
- 草履蟲的無性生殖[課外連結 2]。在恰當的環境下,每次分裂1隻可以分裂成2隻,再一次分裂就會從2隻變4隻,再一次分裂就會從4隻變8隻,……,所以經過 次分裂,原本1隻草履蟲會變成 隻草履蟲。
- 如果能夠摺一張厚度 毫米的紙 次,那麼就可以抵達月球。
將一個不是科學記號的數,如 轉換成科學記號,應該要怎麼做呢?我們底下舉例說明:
例題 將以下各數寫成科學記號。
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- ↑ 在國中階段只討論指數為正整數與0的情況(10是例外,有討論10的整數次方)。
- ↑ 因為1自己乘幾次都是1。
- ↑ 因為0自己乘幾次都是0。
- ↑ 根據Google引擎搜尋的資料[1]。
- ↑ 大腸桿菌長為 ,而 。詳見此文章:大腸桿菌。
- ↑ 電腦或是某些計算機會顯示為 ,如Google搜尋引擎找尋地球的質量會出現 ,這個數意思就是 ,也是科學記號表示法。
- ↑ 可以記成 ,此符號會在7-1 一元一次不等式的地方學習。
- ↑ 小數的次方我們會在高中階段介紹「指數」的時候介紹。詳情請參閱:指數(高中課程)。
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題號 |
科學記號 |
展開的結果 |
整數部分為幾位數
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科學記號 |
展開的結果 |
小數點後第幾位開始出現不為 的數字
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