國中數學/國中數學七年級/4-1 二元一次方程式

3-3 一元一次方程式的應用問題

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國中數學七年級 4-1 二元一次方程式

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4-2 解二元一次聯立方程式

生活當中，常常會發生兩個變數在變動的情形。舉例來說：

• 全班有男生和女生。
• 使用五元硬幣和十元硬幣購買商品。
• 許多地方的收費標準會分為全票與半票。

這個時候，如果只有設一個未知數感覺又不太實際。所以在這一節，我們要介紹由兩個未知數所構成的二元一次式，並進一步地介紹二元一次方程式，在4-2 解二元一次聯立方程式進一步會去解兩個未知數的式子。

二元一次式

以剛剛舉的例子為例：

• 若班上有$a$位男學生和$b$位女學生，則全班有$(a+b)$位學生。
• 小琪買早餐花了$x$枚五元硬幣和$y$枚十元硬幣，
  1. $x$枚五元硬幣的價值為$5x$元。
  2. $y$枚十元硬幣的價值為$10y$元。
  3. 所以小琪買早餐花了$(5x+10y)$元。
• 動物園入園半票每張$x$元，全票每張$y$元，雨辰一家人到動物園玩，總共買了$2$張半票和$4$張全票，又
  1. 半票每張$x$元，買$2$張要$2x$元。
  2. 全票每張$y$元，買$4$張要$4y$元。
  3. 所以雨辰一家人的門票費為$(2x+4y)$元。

以上出現的式子$a+b$、$5x+10y$、$2x+4y$這種出現兩個未知數，而且未知數的次方都是$1$的式子我們稱作二元一次式。
這邊要注意一些不是二元一次式的情況：

不是二元一次式的情形	舉例
分母出現未知數	${\frac {1}{x}}+{\frac {4}{y}}$
未知數出現在絕對值內	$\left\vert x-y+3\right\vert$、$\left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert +3$
出現了等號	$x+3y=12$
未知數的次方不是$1$	$x^{2}+y^{2}-4$
未知數相乘	$xy-2$

二元一次式的名詞

跟一元一次式類似，以下是二元一次式的常用名詞：

名稱	說明	以$3x-4y+7$為例子
項	用加號連接的各部分	因為$3x-4y+7=3x+(-4y)+7$，所以$3x$、$-4y$與$7$都稱作$3x-4y+7$的項。
$x$項與$y$項	有出現一次未知數$x$或$y$的項。	因為$3x$有出現未知數$x$，所以$3x-4y+7$的$x$項為$3x$；因為$-4y$有出現未知數$y$，所以$3x-4y+7$的$y$項為$-4y$。
常數項	沒有出現任何未知數的項	因為$7$沒有出現未知數，所以$3x-4y+7$的常數項為$7$。
系數	未知數前面的數字或是常數項	在$3x$中，未知數$x$前面的數字為$3$，所以稱$3$為$3x-4y+7$的$x$項系數；在$-4y$中，未知數$y$前面的數字為$3$，$-4$為$3x-4y+7$的$y$項系數。
單項式	只有單一一個項的式子	$3x$只有一項，所以為單項式。
同類項	具有相同的未知數，而且次方數也相同的兩個項	$3x$與$3y$的未知數不相同，所以它們不是同類項；$3x$與$-{\frac {13x}{17}}$的未知數相同，次數也都是$1$，所以它們是同類項。

小測

答對得到的分數：
錯誤答案減少的分數：
忽略問題的系數：

1 $4y-7x+12$的$x$項系數是多少？(單選)

	$4$
	$7$
	$-7$
	$12$

2 哪一個選項的$y$項系數是$5$？(單選)

	$4x+5y-7$
	$5x-4y+6$
	$-x+7y+5$
	$3x-5y-2$

3 哪一組為同類項？(單選)

	$4x$與$4y$
	$7$與$5y$
	$-7y$與$12y$
	$3x+4y$與$4x+3y$

二元一次式的運算

二元一次式的運算如同一元一次式的運算相同，只是多了一個未知數而已。

• 二元一次式的加減運算：利用同類項合併與去括號規則。
  1. 同類項合併：將相同未知數的系數相加(減)。如：$5y+2y=(5+2)y=7y$；$5x-3x=(5-3)x=2x$，本質上為分配律。
  2. 去括號規則：括號外為加號，則括號內的運算符號不用改變；括號外為減號，則括號內的運算符號加改減，減改加。如：$-(5x+2y)=-5x{\color {red}-}2y$；$-(-5x-3y)=5x{\color {red}+}3y$。
• 二元一次式的系數積：利用分配律。
  • 如：
    1. $3(2x-4y+5)=3\times (2x)-3\times (4y)+3\times 5=6x-12y+15$；
    2. $-4(3x-2y-6)=(-4)\times (3x)-(-4)\times (2y)-(-4)\times 6=-12x-(-8y)-(-24)=12x+8y+24$。
• 分數型的運算：通分。
  • 如：
    • ${\frac {3x+2y-4}{3}}-{\frac {2x+5y-4}{2}}={\frac {6x+4y-8}{6}}-{\frac {6x+15y-12}{6}}={\frac {(6x+4y-8)-(6x+15y-12)}{6}}={\frac {-11y+4}{6}}$

二元一次方程式

當一個方程式可以整理成$ax+by+c=0$，其中$a,b,c$為任何數，則我們稱這樣的式子為二元一次方程式。
以下是一些例子：

1. $3x+4y=5$是二元一次方程式，因為$3x+4y=5$可以改寫成$3x+4y-5=0$。
2. $3x+4y=5x$是二元一次方程式，因為$3x+4y=5x$可以改寫成$3x+4y-5x=0\Longrightarrow -2x+4y=0$。
3. $3x+4y=5+4y$不是二元一次方程式，因為$3x+4y=5+4y$可以改寫成$3x+4y-5-4y=0\Longrightarrow 3x-5=0$只有出現一個未知數。