國中數學/國中數學七年級/4-1 二元一次方程式

 3-3 一元一次方程式的應用問題 國中數學七年級
4-1 二元一次方程式
4-2 解二元一次聯立方程式 

生活當中,常常會發生兩個變數在變動的情形。舉例來說:

  • 全班有男生和女生。
  • 使用五元硬幣和十元硬幣購買商品。
  • 許多地方的收費標準會分為全票與半票。

這個時候,如果只有設一個未知數感覺又不太實際。所以在這一節,我們要介紹由兩個未知數所構成的二元一次式,並進一步地介紹二元一次方程式,在4-2 解二元一次聯立方程式進一步會去解兩個未知數的式子。

二元一次式

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以剛剛舉的例子為例:

  • 若班上有 位男學生和 位女學生,則全班有 位學生。
  • 小琪買早餐花了 枚五元硬幣和 枚十元硬幣,
    1.  枚五元硬幣的價值為 元。
    2.  枚十元硬幣的價值為 元。
    3. 所以小琪買早餐花了 元。
  • 動物園入園半票每張 元,全票每張 元,雨辰一家人到動物園玩,總共買了 張半票和 張全票,又
    1. 半票每張 元,買 張要 元。
    2. 全票每張 元,買 張要 元。
    3. 所以雨辰一家人的門票費為 元。

以上出現的式子   這種出現兩個未知數,而且未知數的次方都是 的式子我們稱作二元一次式。
這邊要注意一些不是二元一次式的情況:

不是二元一次式的情形
舉例
分母出現未知數  
未知數出現在絕對值內   
出現了等號  
未知數的次方不是   
未知數相乘  

二元一次式的名詞

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一元一次式類似,以下是二元一次式的常用名詞:

名稱
說明
 為例子
用加號連接的各部分
因為 ,所以   都稱作 的項。
 項與 
有出現一次未知數  的項。
因為 有出現未知數 ,所以  項為 ;因為 有出現未知數 ,所以  項為 
常數項
沒有出現任何未知數的項
因為 沒有出現未知數,所以 的常數項為 
係數
未知數前面的數字或是常數項
 中,未知數 前面的數字為 ,所以稱   項係數;在 中,未知數 前面的數字為    項係數。
單項式
只有單一一個項的式子
 只有一項,所以為單項式。
同類項
具有相同的未知數,而且次方數也相同兩個項
  的未知數不相同,所以它們不是同類項;  的未知數相同,次數也都是 ,所以它們是同類項。

小測

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1   項係數是多少?(單選)

 
 
 
 

2 哪一個選項的 項係數是 ?(單選)

 
 
 
 

3 哪一組為同類項?(單選)

  
  
  
  

二元一次式的運算

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二元一次式的運算如同一元一次式的運算相同,只是多了一個未知數而已。

  • 二元一次式的加減運算:利用同類項合併去括號規則
    1. 同類項合併:將相同未知數的係數相加(減)。如:  ,本質上為分配律
    2. 去括號規則:括號外為加號,則括號內的運算符號不用改變;括號外為減號,則括號內的運算符號加改減,減改加。如:  [註 1]
  • 二元一次式的係數積:利用分配律
    • 如:
      1.  
      2.  
  • 分數型的運算:通分
    • 如:
      •  

二元一次方程式

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當一個方程式可以整理成 ,其中 為任何數,則我們稱這樣的式子為二元一次方程式[註 2]
以下是一些例子:

  1.  是二元一次方程式,因為 可以改寫成 
  2.  是二元一次方程式,因為 可以改寫成 
  3.  不是二元一次方程式,因為 可以改寫成 只有出現一個未知數。

註解

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  1. 可以將 想成 
  2. 這是未知數為  的狀況。事實上,只要整理過後有出現兩個未知數的方程式都是二元一次方程式,但大部分以  為主。